AMC 10 · 2007 · #7
학년 7 arithmetic작년에 Mr. Jon Q. Public은 유산을 상속받았다. 그는 유산에 대해 연방세로 20%를 냈고, 남은 금액에 대해 주세로 10%를 냈다. 두 세금을 합쳐 총 \textdollar10500를 냈다. 그의 유산은 몇 달러였는가?
(A) 30000(B) 32500(C) 35000(D) 37500(E) 40000
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 사람이 상속받은 금액의 $20\%$를 연방세로 내고, 그다음 남은 금액의 $10\%$를 주세로 냅니다. 두 세금을 합치면 $\textdollar 10500$입니다. 전체 상속 금액이 몇 달러였는지 구하세요.
주어진 것: 연방세는 전체 상속액의 $20\%$; 주세는 연방세를 낸 뒤 남은 금액의 $10\%$; 두 세금의 합은 $\textdollar 10500$; 선택지: (A) $30000$, (B) $32500$, (C) $35000$, (D) $37500$, (E) $40000$
구하는 것: 전체 상속 금액(달러)
이해
문제 재정리: 한 사람이 상속받은 금액의 $20\%$를 연방세로 내고, 그다음 남은 금액의 $10\%$를 주세로 냅니다. 두 세금을 합치면 $\textdollar 10500$입니다. 전체 상속 금액이 몇 달러였는지 구하세요.
주어진 것: 연방세는 전체 상속액의 $20\%$; 주세는 연방세를 낸 뒤 남은 금액의 $10\%$; 두 세금의 합은 $\textdollar 10500$; 선택지: (A) $30000$, (B) $32500$, (C) $35000$, (D) $37500$, (E) $40000$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
모르는 것은 상속액 하나뿐이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 $x$라 부르면 모든 세금을 $x$의 일부로 나타낼 수 있습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "그것의 $20\%$"와 "남은 것의 $10\%$"라는 말을 식으로 바꾸어, 두 세금을 $x$에 대한 하나의 방정식으로 더합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검을 줍니다: 총 세금은 상속액의 $\tfrac14$보다 조금 많으므로 $x$는 $10500$의 네 배보다 조금 작아야 하고, 이는 이미 큰 선택지들을 가리킵니다.
실행 — 정답: D
6.EE.B.6 단계 1 상속액에 이름 붙이기
- 전체 상속액을 달러 단위로 $x$라 합시다.
- 문제의 모든 세금은 어떤 금액의 백분율이며, 글자 $x$가 생기면 그 금액들을 각각 $x$의 일부로 쓸 수 있습니다.
💡 모르는 것에 이름을 붙이면 말로 된 문제가 계산할 수 있는 것으로 바뀝니다.
7.RP.A.3 단계 2 연방세와 남은 금액
- 연방세는 상속액의 $20\%$, 즉 $0.20x$입니다.
- 이것을 내면 나머지 $80\%$가 남으므로 손에 남은 금액은 $0.80x$입니다.
- 이 남은 금액이 다음 세금의 기준이 됩니다.
💡 $20\%$를 떼면 항상 $80\%$가 남으므로 나머지 돈은 시작값의 $0.80$입니다.
7.RP.A.3 단계 3 남은 금액에 매기는 주세
- 주세는 원래 금액이 아니라 남은 금액의 $10\%$입니다.
- 그래서 $0.80x$의 $10\%$, 즉 $0.10 \times 0.80x = 0.08x$입니다.
- 기준을 주의 깊게 봅시다: $10\%$는 $0.80x$에 대해 재는 것이라 $0.10x$가 아니라 $0.08x$가 됩니다.
💡 백분율은 무엇에 대한 백분율인지 알아야 뜻이 생깁니다 — 여기서는 남은 $80\%$에 대한 것입니다.
6.EE.B.6 단계 4 세금을 더해 하나의 방정식으로
- 두 세금을 합치면 $\textdollar 10500$입니다.
- 식을 더하면 $0.20x + 0.08x = 0.28x$이므로 $0.28x = 10500$이 됩니다.
- 이것은 미지수가 하나인 방정식입니다.
💡 같은 사람에게 매긴 두 세금은 그냥 쌓이므로 $x$에 대한 두 분수가 서로 더해집니다.
6.EE.B.7 단계 5 상속액 구하기
- 양변을 $0.28$로 나누어 곱셈을 되돌립니다: $x = 10500 \div 0.28 = 37500$.
- 따라서 상속액은 $\textdollar 37500$이고, 이것은 선택지 (D)입니다.
💡 $x$의 알려진 일부가 $10500$이면, 그 분수를 나눗셈으로 되돌려 전체를 되찾습니다.
6.EE.B.6 전체 상속액을 달러 단위로 $x$라 합시다. 문제의 모든 세금은 어떤 금액의 백분율이며, 글자 $x$가 생기면 그 금액들을 각각 $x$의 일부로 7.RP.A.3 연방세는 상속액의 $20\%$, 즉 $0.20x$입니다. 이것을 내면 나머지 $80\%$가 남으므로 손에 남은 금액은 $0.80x$입니다. 이 7.RP.A.3 주세는 원래 금액이 아니라 남은 금액의 $10\%$입니다. 그래서 $0.80x$의 $10\%$, 즉 $0.10 \times 0.80x = 0.0 6.EE.B.6 두 세금을 합치면 $\textdollar 10500$입니다. 식을 더하면 $0.20x + 0.08x = 0.28x$이므로 $0.28x = 105 6.EE.B.7 양변을 $0.28$로 나누어 곱셈을 되돌립니다: $x = 10500 \div 0.28 = 37500$. 따라서 상속액은 $\textdollar 검토
합리성 확인: $x = 37500$으로 세금을 앞으로 계산해 확인합니다: 연방세는 $0.20 \times 37500 = 7500$이고 $30000$이 남습니다; 주세는 $0.10 \times 30000 = 3000$입니다. 두 세금은 $7500 + 3000 = 10500$으로 주어진 합과 정확히 같습니다. 크기도 타당합니다: 총 세금은 상속액의 $0.28$로 4분의 1보다 조금 많으므로 상속액은 $4 \times 10500 = 42000$보다 조금 작아야 하고, $37500$이 여기에 맞습니다.
대안 접근: 내는 세금 대신 남기는 돈을 따라갑니다. 연방세 뒤에 $80\%$를 남기고, 그다음 주세 뒤에 그것의 $90\%$를 남기므로 상속액의 $0.80 \times 0.90 = 0.72$를 남깁니다. 즉 상속액의 $1 - 0.72 = 0.28$을 세금으로 내며, 같은 방정식 $0.28x = 10500$과 같은 답 $x = 37500$을 얻습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.6Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (상속액을 $x$라 이름 붙이고 세금을 합친 식 $0.28x$를 쓰는 데 사용.)7.RP.A.3Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ($x$의 $20\%$를 취하고 남은 금액 $0.80x$를 구한 뒤, 그 남은 금액의 $10\%$를 취해 $0.08x$를 얻는 데 사용.)6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (양변을 $0.28$로 나누어 $0.28x = 10500$을 풀어 $x = 37500$을 얻는 데 사용.)
⭐ 한 백분율을 떼고 남은 것에서 또 다른 백분율을 뗄 때는, 각 세금을 같은 미지수의 일부로 쓰고 그 조각들을 더한 뒤 하나의 방정식을 푸세요.
⭐ 한 백분율을 떼고 남은 것에서 또 다른 백분율을 뗄 때는, 각 세금을 같은 미지수의 일부로 쓰고 그 조각들을 더한 뒤 하나의 방정식을 푸세요.
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