AMC 10 · 2007 · #15
학년 8 geometry-2d사각형 ABCD의 각들이 ∠A=2∠B=3∠C=4∠D를 만족한다. ∠A의 크기를 가장 가까운 정수로 반올림하면 몇 도인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사각형 $ABCD$에서 네 각이 $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D$의 관계로 연결되어 있다. 즉 $\angle A$는 $\angle B$의 2배, $\angle C$의 3배, $\angle D$의 4배이다. $\angle A$를 도 단위로 구하고, 가장 가까운 정수로 반올림하시오.
주어진 것: $ABCD$는 사각형이므로 네 내각의 합은 $360^\circ$이다; $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D$로, 네 각을 모두 $\angle A$에 묶는 하나의 사슬이다; 선택지: (A) 125, (B) 144, (C) 153, (D) 173, (E) 180
구하는 것: $\angle A$의 크기(도), 가장 가까운 정수로 반올림한 값
이해
문제 재정리: 사각형 $ABCD$에서 네 각이 $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D$의 관계로 연결되어 있다. 즉 $\angle A$는 $\angle B$의 2배, $\angle C$의 3배, $\angle D$의 4배이다. $\angle A$를 도 단위로 구하고, 가장 가까운 정수로 반올림하시오.
주어진 것: $ABCD$는 사각형이므로 네 내각의 합은 $360^\circ$이다; $\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D$로, 네 각을 모두 $\angle A$에 묶는 하나의 사슬이다; 선택지: (A) 125, (B) 144, (C) 153, (D) 173, (E) 180
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
$\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D$ 사슬이 모든 각을 $\angle A$에 묶으므로, $\angle A=x$로 이름 붙이면(도구 #4) 네 각을 하나의 미지수로 나타낼 수 있다. 사각형 내각의 합이 $360^\circ$라는 사실이 이 그림을 하나의 방정식으로 바꾼다(도구 #13). 방정식을 풀면 소수가 나오고, 반올림하여 다섯 선택지 중 하나에 맞춘다(도구 #3).
실행 — 정답: D
7.EE.B.4 단계 1 $\angle A$를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기
- $\angle A=x$라 하자.
- 사슬에서 $\angle A=2\angle B$이므로 $\angle B=\dfrac{x}{2}$이다.
- $\angle A=3\angle C$이므로 $\angle C=\dfrac{x}{3}$이고, $\angle A=4\angle D$이므로 $\angle D=\dfrac{x}{4}$이다.
- 이제 네 각 모두 하나의 미지수 $x$로 표현된다.
💡 하나의 등호 사슬이 모든 각을 하나의 미지수에 묶어 주므로, 사실 구할 수는 하나뿐이다.
8.G.A.5 단계 2 사각형 내각의 합 이용하기
- 임의의 사각형의 내각의 합은 $360^\circ$이다(대각선으로 두 삼각형으로 나누면 각 삼각형의 합이 $180^\circ$).
- 네 식을 더해 합을 $360$과 같게 놓는다.
💡 합이 $360^\circ$로 고정되어 있어, 네 개의 미지 각이 풀 수 있는 하나의 방정식이 된다.
5.NF.A.1 단계 3 분수 합치기
- 분모를 $12$로 통일한다: $x=\dfrac{12x}{12}$, $\dfrac{x}{2}=\dfrac{6x}{12}$, $\dfrac{x}{3}=\dfrac{4x}{12}$, $\dfrac{x}{4}=\dfrac{3x}{12}$.
- 분자를 더하면 $12+6+4+3=25$이므로 $\dfrac{25x}{12}=360$이 된다.
💡 공통분모를 쓰면 네 조각이 $x$에 대한 하나의 깔끔한 분수로 합쳐진다.
5.NBT.A.4 단계 4 풀고 반올림하기
- 양변에 $12$를 곱하고 $25$로 나눈다: $x=\dfrac{360\cdot 12}{25}=\dfrac{4320}{25}=172.8$.
- 가장 가까운 정수로 반올림하면 $\angle A\approx 173^\circ$이고, 이는 선택지 $\textbf{(D)}$이다.
💡 $\tfrac{25}{12}$ 계수를 되돌리면 $x$가 분리되고, $0.8$은 다음 정수로 올림된다.
7.EE.B.4 $\angle A=x$라 하자. 사슬에서 $\angle A=2\angle B$이므로 $\angle B=\dfrac{x}{2}$이다. $\angl 8.G.A.5 임의의 사각형의 내각의 합은 $360^\circ$이다(대각선으로 두 삼각형으로 나누면 각 삼각형의 합이 $180^\circ$). 네 식을 더해 5.NF.A.1 분모를 $12$로 통일한다: $x=\dfrac{12x}{12}$, $\dfrac{x}{2}=\dfrac{6x}{12}$, $\dfrac{x}{3 5.NBT.A.4 양변에 $12$를 곱하고 $25$로 나눈다: $x=\dfrac{360\cdot 12}{25}=\dfrac{4320}{25}=172.8$. 가장 검토
합리성 확인: $x=172.8$에서 나머지 각을 복원하면 $\angle B=86.4$, $\angle C=57.6$, $\angle D=43.2$이다. 합은 $172.8+86.4+57.6+43.2=360$으로 정확히 맞아 유효한 사각형임을 확인한다. $\angle A$는 평균이 $90^\circ$인 네 각 중 가장 크므로 $90^\circ$보다 훨씬 크되 $360^\circ$보다는 작아야 한다. $173^\circ$가 이에 맞고, 더 작은 125, 144, 153을 넘어서면서 퇴화되는 $180^\circ$ 아래에 머문다.
대안 접근: 대신 $\angle D$를 기준으로 풀 수도 있다. $\angle A=4\angle D$, $\angle B=2\angle D$, $\angle C=\tfrac{4}{3}\angle D$로 쓰고 합을 $360$으로 놓으면 $\left(4+2+\tfrac43+1\right)\angle D=\tfrac{25}{3}\angle D=360$이므로 $\angle D=43.2$, $\angle A=4\angle D=172.8\approx 173^\circ$로 같은 결과가 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.EE.B.4Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($\angle A=x$로 놓고 $\angle B,\angle C,\angle D$를 $\tfrac{x}{2},\tfrac{x}{3},\tfrac{x}{4}$로 나타내기.)8.G.A.5Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (사각형 내각의 합이 $360^\circ$라는 사실로 방정식 세우기.)5.NF.A.1Add and subtract fractions with unlike denominators (공통분모로 $x+\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}+\tfrac{x}{4}$를 $\tfrac{25x}{12}$로 합치기.)5.NBT.A.4Round decimals to any place ($172.8$을 가장 가까운 정수로 반올림하여 $173$ 얻기.)
⭐ 각들이 등호 사슬로 이어져 있으면 가장 큰 각에 이름을 붙이고 나머지를 그 각의 분수로 쓴 뒤, 고정된 $360^\circ$ 합이 풀도록 두면 된다.
⭐ 각들이 등호 사슬로 이어져 있으면 가장 큰 각에 이름을 붙이고 나머지를 그 각의 분수로 쓴 뒤, 고정된 $360^\circ$ 합이 풀도록 두면 된다.
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