AMC 10 · 2007 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicmodular-arithmeticcasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에 나온 바퀴를 두 번 돌려서, 지시침 맞은편에 무작위로 정해지는 숫자를 기록한다. 첫 번째 숫자는 $4$ 로 나누고, 두 번째 숫자는 $5$ 로 나눈다. 첫 번째 나머지는 그림에 나온 체커보드의 열(column)을 정하고, 두 번째 나머지는 행(row)을 정한다. 이 숫자 쌍이 색칠된 칸을 가리킬 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{4}{9}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{5}{9}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 6, 7, 9$가 적힌 회전판을 두 번 돌린다. 각 숫자가 나올 확률은 같다. 첫 번째 결과를 $4$로 나눈 나머지가 열($1$, $2$, $3$)을 정하고, 두 번째 결과를 $5$로 나눈 나머지가 행($1$, $2$, $3$, $4$)을 정한다. 이렇게 정해진 열과 행의 칸이 색칠된 칸일 확률을 구하여라.

주어진 것: 회전판에는 나올 확률이 같은 여섯 숫자 $1, 2, 3, 6, 7, 9$가 있다; 첫 번째 결과 $\div 4$: 나머지가 열 번호($1, 2, 3$)이다; 두 번째 결과 $\div 5$: 나머지가 행 번호($1, 2, 3, 4$)이다; 판은 $3$열 $4$행이며 체스판 무늬로 색칠되어 있다. 색칠된 칸은 $(\text{열},\text{행}) = (1,1),(3,1),(2,2),(1,3),(3,3),(2,4)$이다; 선택지: (A) $\frac{1}{3}$, (B) $\frac{4}{9}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $\frac{5}{9}$, (E) $\frac{2}{3}$

구하는 것: 정해진 칸이 색칠된 칸일 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기) — 열과 행은 각각 나머지이므로, 먼저 각 회전판 숫자가 어떤 나머지를 주는지 나열한다. 이렇게 하면 막연한 회전판이 각 열과 각 행이 나올 확률을 보여주는 깔끔한 표로 바뀐다. 도구 #1 (그림 그리기) — 색칠된 여섯 칸을 판에서 그대로 (열, 행) 쌍으로 읽어, 어떤 결과가 성공인지 정확히 파악한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 두 회전이 독립이므로 한 칸의 확률은 (그 열의 확률) 곱하기 (그 행의 확률)이다. 이것을 색칠된 여섯 칸에 대해 모두 더한다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.6 단계 1

열 나머지 나열 (÷4)

각 회전판 숫자를 $4$로 나눈 나머지를 적으면 그것이 열이다.
$1\to1$, $2\to2$, $3\to3$, $6\to2$, $9\to1$, $7\to3$.
그래서 나머지 $1$은 $\{1,9\}$에서, 나머지 $2$는 $\{2,6\}$에서, 나머지 $3$은 $\{3,7\}$에서 나오며 각각 두 개씩이다.
따라서 모든 열이 나올 확률은 같다.

$$P(\text{열 }1)=P(\text{열 }2)=P(\text{열 }3)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$$

💡 여섯 숫자를 $4$로 나눈 나머지로 분류하면 각 열이 정확히 두 숫자에서 나와 열끼리 균형이 맞는다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.6 단계 2

행 나머지 나열 (÷5)

이제 각 회전판 숫자를 $5$로 나눈 나머지를 적으면 그것이 행이다.
$1\to1$, $6\to1$; $2\to2$, $7\to2$; $3\to3$; $9\to4$.
그래서 행 $1$은 $\{1,6\}$에서, 행 $2$는 $\{2,7\}$에서 나와 각각 두 개씩이지만, 행 $3$은 $\{3\}$에서만, 행 $4$는 $\{9\}$에서만 나와 각각 하나씩이다.
행들이 나올 확률은 같지 않다.

$$P(\text{행 }1)=P(\text{행 }2)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3},\quad P(\text{행 }3)=P(\text{행 }4)=\tfrac{1}{6}$$

💡 $5$로 나눈 나머지는 여섯 숫자를 고르지 않게 나누므로 위쪽 두 행은 아래쪽 두 행의 절반만큼만 나온다.

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 3

색칠된 칸 읽기

색칠된 칸을 판에서 (열, 행) 쌍으로 읽는다.
행 $1$에 $(1,1),(3,1)$; 행 $2$에 $(2,2)$; 행 $3$에 $(1,3),(3,3)$; 행 $4$에 $(2,4)$ — 체스판 무늬를 이루는 색칠된 여섯 칸이다.
행 확률을 다시 쓸 수 있도록 행별로 묶으면, 확률이 높은 행 $1$, $2$에 색칠된 칸 세 개가 있고, 확률이 낮은 행 $3$, $4$에 나머지 세 개가 있다.

$$\text{색칠: }(1,1),(3,1),(2,2)\;|\;(1,3),(3,3),(2,4)$$

💡 성공 칸을 행별로 묶으면 각 칸을 그것이 의존하는 행 확률과 짝지을 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

확률 높은 행의 확률

두 회전이 독립이므로 각 칸의 확률은 그 열의 확률 곱하기 그 행의 확률이다.
모든 열은 $\frac{1}{3}$이다.
행 $1$, $2$에 있는 색칠된 세 칸은 행 확률이 $\frac{1}{3}$이므로 각 칸의 확률은 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$이다.

$$3\times\left(\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{3}$$

💡 독립인 회전은 곱하고, 같은 세기의 세 칸을 더하면 삼분의 일이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

확률 낮은 행의 확률, 그리고 합

행 $3$, $4$에 있는 색칠된 세 칸은 열 확률은 여전히 $\frac{1}{3}$이지만 행 확률은 $\frac{1}{6}$뿐이므로 각 칸의 확률은 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$이다.
두 묶음을 더하면 색칠된 칸에 놓일 전체 확률이 나온다.
그 값은 $\frac{1}{2}$이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$\tfrac{1}{3}+3\cdot\tfrac{1}{18}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 확률이 약한 칸은 각각 절반만 기여하고, 두 묶음을 합치면 정확히 이분의 일이 된다.

[1] #2 4.NBT.B.6 각 회전판 숫자를 $4$로 나눈 나머지를 적으면 그것이 열이다. $1\to1$, $2\to2$, $3\to3$, $6\to2$, $9\to1$,

[2] #2 4.NBT.B.6 이제 각 회전판 숫자를 $5$로 나눈 나머지를 적으면 그것이 행이다. $1\to1$, $6\to1$; $2\to2$, $7\to2$; $3\to

[3] #1 7.SP.C.7 색칠된 칸을 판에서 (열, 행) 쌍으로 읽는다. 행 $1$에 $(1,1),(3,1)$; 행 $2$에 $(2,2)$; 행 $3$에 $(1,3),(

[4] #7 7.SP.C.8 두 회전이 독립이므로 각 칸의 확률은 그 열의 확률 곱하기 그 행의 확률이다. 모든 열은 $\frac{1}{3}$이다. 행 $1$, $2$에 있

[5] #7 7.SP.C.8 행 $3$, $4$에 있는 색칠된 세 칸은 열 확률은 여전히 $\frac{1}{3}$이지만 행 확률은 $\frac{1}{6}$뿐이므로 각 칸의

검토

합리성 확인: 답 $\frac{1}{2}$은 그럴듯하다. 판은 완전한 체스판 무늬라 열두 칸 중 정확히 절반이 색칠되어 있고, 간단한 대칭 논증으로 가중치가 이 균형을 깨지 않음을 확인할 수 있다. 모든 열이 나올 확률이 같으므로 어떤 한 행 안에서 색칠된 칸과 색칠되지 않은 칸은 같은 총 가중치로 뽑힌다. 이 체스판은 각 행의 세 칸이 색칠/비색칠로 고르게 나뉘므로 어떤 행도 균형을 기울일 수 없고, 행 확률이 고르지 않아도 판 전체는 이분의 일로 유지된다. 그래서 (A) $\frac{1}{3}$이나 (E) $\frac{2}{3}$ 같은 치우친 선택지는 배제되고, 정확한 합이 (C)에 놓인다.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기)로 접근한다. 여섯 곱을 더하는 대신, 각 행에서 색칠된 칸과 색칠되지 않은 칸이 같은 확률로 뽑힌다는 점에 주목한다 (열은 균일하고, 이 체스판의 각 행은 색칠/비색칠 칸이 열 분포에 대해 대칭이다). 따라서 색칠과 비색칠이 전체적으로 똑같이 나오므로 확률은 정확히 $\frac{1}{2}$일 수밖에 없다 — 계산이 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (각 회전판 숫자를 4와 5로 나누어 열과 행 나머지를 구함.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (나머지 개수를 각 열과 각 행의 확률로 바꿈.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (독립인 열 확률과 행 확률을 곱하고 색칠된 칸에 대해 모두 더함.)

⭐ 회전판 숫자를 나머지로 분류해 각 열과 행이 나올 확률을 파악하고, 색칠된 칸마다 열 확률과 행 확률을 곱해 더하면 — 체스판의 균형 덕분에 정확히 $\frac{1}{2}$이 된다.