AMC 10 · 2007 · #19

학년 7 geometry-2d
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
probability-basicmodular-arithmeticcasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
숫자 1, 2, 3, 6, 7, 9가 적힌 회전판을 두 번 돌린다. 각 숫자가 나올 확률은 같다. 첫 번째 결과를 4로 나눈 나머지가 열(1, 2, 3)을 정하고, 두 번째 결과를 5로 나눈 나머지가 행(1, 2, 3, 4)을 정한다. 판은 3열 4행이고 체스판 무늬로 색칠되어 있으며, 색칠된 칸은 (열, 행) = (1,1), (3,1), (2,2), (1,3), (3,3), (2,4)이다. 이렇게 정해진 칸이 색칠된 칸일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{3}$
(B)
$\frac{4}{9}$
(C)
$\frac{1}{2}$
(D)
$\frac{5}{9}$
(E)
$\frac{2}{3}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기) — 열과 행은 각각 나머지이므로, 먼저 각 회전판 숫자가 어떤 나머지를 주는지 나열한다. 이렇게 하면 막연한 회전판이 각 열과 각 행이 나올 확률을 보여주는 깔끔한 표로 바뀐다. 도구 #1 (그림 그리기) — 색칠된 여섯 칸을 판에서 그대로 (열, 행) 쌍으로 읽어, 어떤 결과가 성공인지 정확히 파악한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 두 회전이 독립이므로 한 칸의 확률은 (그 열의 확률) 곱하기 (그 행의 확률)이다. 이것을 색칠된 여섯 칸에 대해 모두 더한다.

1STEP 1

열 나머지 나열 (÷4)

각 숫자를 4로 나눈 나머지는 1,1,2,2,3,3이다. 열마다 두 개씩이라 각 열의 확률은 1/3이다.

P(열 1)=P(열 2)=P(열 3)=2/6=1/3
2STEP 2

행 나머지 나열 (÷5)

5로 나누면 행 1, 2는 두 숫자씩, 행 3, 4는 한 숫자씩이라 확률이 1/3, 1/3, 1/6, 1/6이다.

P(행 1)=P(행 2)=2/6=1/3, P(행 3)=P(행 4)=1/6
3STEP 3

색칠된 칸 읽기

색칠 칸 (1,1),(3,1),(2,2)는 행 1, 2에, (1,3),(3,3),(2,4)는 행 3, 4에 있다 — 세 칸씩.

색칠: (1,1),(3,1),(2,2) | (1,3),(3,3),(2,4)
4STEP 4

확률 높은 행의 확률

회전이 독립이라 곱하면 된다. 행 1, 2의 색칠 칸은 각각 1/3·1/3=1/9, 세 칸이면 1/3이다.

3×(1/3·1/3)=3·1/9=1/3
5STEP 5

확률 낮은 행의 확률, 그리고 합

나머지 세 칸은 각각 1/3·1/6=1/18이라 합이 1/6이다. 전체는 1/3+1/6=1/2, 선택지 (C)이다.

1/3+3·1/18=1/3+1/6=2/6+1/6=1/2 → (C)
정답
1/2
답 1/2은 그럴듯하다. 판은 완전한 체스판 무늬라 열두 칸 중 정확히 절반이 색칠되어 있고, 간단한 대칭 논증으로 가중치가 이 균형을 깨지 않음을 확인할 수 있다. 모든 열이 나올 확률이 같으므로 어떤 한 행 안에서 색칠된 칸과 색칠되지 않은 칸은 같은 총 가중치로 뽑힌다. 이 체스판은 각 행의 세 칸이 색칠/비색칠로 고르게 나뉘므로 어떤 행도 균형을 기울일 수 없고, 행 확률이 고르지 않아도 판 전체는 이분의 일로 유지된다. 그래서 (A) 1/3이나 (E) 2/3 같은 치우친 선택지는 배제되고, 정확한 합이 (C)에 놓인다.
💡핵심 정리

회전판 숫자를 나머지로 분류해 각 열과 행이 나올 확률을 파악하고, 색칠된 칸마다 열 확률과 행 확률을 곱해 더하면 — 체스판의 균형 덕분에 정확히 1/2이 된다.

  • 열 나머지 나열 (÷4)
  • 행 나머지 나열 (÷5)
  • 색칠된 칸 읽기
  • 확률 높은 행의 확률
  • 확률 낮은 행의 확률, 그리고 합

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