AMC 10 · 2007 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationformula-substitutionorder-of-operations formula-substitution ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

연산 $\star$ 을 $a \star b = (a+b)b.$ 로 정의한다. $(3 \star 5) - (5 \star 3)?$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-16

(B)

-8

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 새로운 연산 $\star$ 을 $a \star b = (a+b)b$ 로 정의한다. 이 규칙을 사용하여 $(3 \star 5) - (5 \star 3)$ 의 값을 구하라.

주어진 것: 연산은 $a \star b = (a+b)b$ 로 정의된다 — 두 수를 더한 뒤, 그 합에 두 번째 수를 곱한다; 구해야 하는 식은 $(3 \star 5) - (5 \star 3)$ 이다; 선택지: (A) $-16$, (B) $-8$, (C) $0$, (D) $8$, (E) $16$

구하는 것: $(3 \star 5) - (5 \star 3)$ 이 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 새로운 연산 $\star$ 을 $a \star b = (a+b)b$ 로 정의한다. 이 규칙을 사용하여 $(3 \star 5) - (5 \star 3)$ 의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

이 식은 두 개의 별도 $\star$ 계산의 차이이므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)에 따라 $3 \star 5$ 를 따로 계산하고, $5 \star 3$ 을 따로 계산한 뒤 빼면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 규칙 $a \star b = (a+b)b$ 를 계속 보이게 하여 첫 번째와 두 번째 입력이 올바른 자리에 들어가게 한다 — 여기서의 함정은 $\star$ 이 보통의 곱셈처럼 교환법칙을 따른다고 착각하는 것이다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 그 함정을 이용한다: 선택지 (C) $0$ 은 바로 $3 \star 5 = 5 \star 3$ 이라고 잘못 믿을 때 나오는 값이다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

규칙과 두 자리를 읽기

정의 $a \star b = (a+b)b$ 는 두 입력을 받는다.
첫 번째 입력은 $a$, 두 번째는 $b$ 이다.
둘을 더해 $a+b$ 를 얻은 뒤, 그 합에 두 번째 입력 $b$ 를 곱한다.
합 $a+b$ 는 대칭이지만 바깥의 곱하는 수는 $b$ 하나뿐이므로, 어떤 수가 $b$ 자리에 오는지가 답을 바꾼다.

$$a \star b = (a+b)\cdot b$$

💡 새 기호는 하나의 계산 지시일 뿐이니, 수를 넣기 전에 각 자리에 이름을 붙여라.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 2

첫 번째 항 계산하기

$3 \star 5$ 에서는 $a=3$, $b=5$ 를 넣는다.
안쪽의 합은 $3+5=8$ 이고, 바깥의 곱하는 수는 두 번째 입력 $b=5$ 이다.
따라서 $3 \star 5 = 8\cdot 5 = 40$ 이다.

$$3 \star 5 = (3+5)\cdot 5 = 8\cdot 5 = 40$$

💡 괄호를 먼저 끝내고, 그다음 두 번째 수를 곱한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 3

두 번째 항 계산하기

$5 \star 3$ 에서는 $a=5$, $b=3$ 을 넣는다.
안쪽의 합은 다시 $5+3=8$ 이지만, 이번에는 바깥의 곱하는 수가 두 번째 입력 $b=3$ 이다.
따라서 $5 \star 3 = 8\cdot 3 = 24$ 이다.
합은 $8$ 로 그대로지만, 더 작은 곱수 때문에 이 항은 첫 번째 항보다 작아진다.

$$5 \star 3 = (5+3)\cdot 3 = 8\cdot 3 = 24$$

💡 입력을 바꾸면 합은 그대로지만 바깥의 곱수가 다른 수로 넘어간다.

#3 가능성 지우기 5.OA.A.1 단계 4

두 결과를 빼기

이제 빼면 $(3 \star 5) - (5 \star 3) = 40 - 24 = 16$ 이다.
이것이 선택지 (E)이다.
답은 $0$ 이 아니다: 두 항이 같아야만 $0$ 이 되는데, 바깥의 곱수가 $5$ 에서 $3$ 으로 바뀌었으므로 여기서 $\star$ 은 교환법칙을 따르지 않는다.
이로써 함정 선택지 (C)가 제거된다.

$$(3 \star 5) - (5 \star 3) = 40 - 24 = 16 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 항의 차이는 전적으로 서로 다른 두 번째 곱수에서 나온다.

[1] #4 6.EE.A.2 정의 $a \star b = (a+b)b$ 는 두 입력을 받는다. 첫 번째 입력은 $a$, 두 번째는 $b$ 이다. 둘을 더해 $a+b$ 를 얻

[2] #7 5.OA.A.1 $3 \star 5$ 에서는 $a=3$, $b=5$ 를 넣는다. 안쪽의 합은 $3+5=8$ 이고, 바깥의 곱하는 수는 두 번째 입력 $b=5$

[3] #7 5.NBT.B.5 $5 \star 3$ 에서는 $a=5$, $b=3$ 을 넣는다. 안쪽의 합은 다시 $5+3=8$ 이지만, 이번에는 바깥의 곱하는 수가 두 번째

[4] #3 5.OA.A.1 이제 빼면 $(3 \star 5) - (5 \star 3) = 40 - 24 = 16$ 이다. 이것이 선택지 (E)이다. 답은 $0$ 이 아니다

검토

합리성 확인: 두 항 모두 같은 합 $3+5=5+3=8$ 을 공유하므로, 차이는 $8\cdot 5 - 8\cdot 3 = 8(5-3) = 8\cdot 2 = 16$ 이 되어 단계별 결과와 일치한다. 첫 번째 항이 더 큰 바깥 곱수($3$ 대신 $5$)를 쓰므로 차이는 반드시 양수이고, 이로써 음수 선택지 (A) $-16$ 과 (B) $-8$ 은 즉시 제거된다. 이 정도 크기의 수에서 차이 $16$ 은 작고 타당하며, 공유된 합 $8$ 덕분에 깔끔하게 $8$ 의 배수가 되는 답이 자연스럽다.

대안 접근: 각 항을 따로 계산하지 않아도 된다. 공통의 합 $8$ 을 묶어내면 된다: $3 \star 5 = 8\cdot 5$, $5 \star 3 = 8\cdot 3$ 이므로 차이는 $8\cdot 5 - 8\cdot 3 = 8(5-3) = 16$ 이다. 양쪽 모두 $a+b$ 가 같다는 것을 알아채면 문제 전체가 곱셈 하나로 줄어든다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의 $a \star b = (a+b)b$ 를 읽고, 대입하기 전에 어떤 입력이 $a$ 이고 어떤 입력이 $b$ 인지 확인하기.)
5.OA.A.1 Use parentheses, brackets, or braces in numerical expressions and evaluate ($(3+5)\cdot 5$ 를 계산하고 두 결과를 $40-24$ 로 올바른 순서에 따라 결합하기.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (곱 $8\cdot 5 = 40$ 과 $8\cdot 3 = 24$ 를 계산하기.)

⭐ 새로 만든 기호는 하나의 계산법일 뿐이다: 각 수가 어느 자리에 들어가는지 읽어라, 입력을 바꾸면 결과가 달라질 수 있으니까.