AMC 10 · 2007 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationformula-substitutionorder-of-operations formula-substitution ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

임의의 두 수 a, b에 대해 새로운 연산 ★을 a ★ b = (a+b)b로 정의한다: 두 수를 더한 뒤 그 합에 두 번째 수 b를 곱한다. 이 규칙을 사용하여 (3 ★ 5) - (5 ★ 3)의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-16

(B)

-8

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 두 개의 별도 ★ 계산의 차이이므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)에 따라 3 ★ 5를 따로 계산하고, 5 ★ 3을 따로 계산한 뒤 빼면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 규칙 a ★ b = (a+b)b 를 계속 보이게 하여 첫 번째와 두 번째 입력이 올바른 자리에 들어가게 한다 — 여기서의 함정은 ★ 이 보통의 곱셈처럼 교환법칙을 따른다고 착각하는 것이다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 그 함정을 이용한다: 선택지 (C) 0은 바로 3 ★ 5 = 5 ★ 3 이라고 잘못 믿을 때 나오는 값이다.

1STEP 1

규칙과 두 자리를 읽기

규칙은 두 입력을 받아 a+b를 만든 뒤, 그 합에 두 번째 입력 b만 곱한다.

a ★ b = (a+b) · b

2STEP 2

첫 번째 항 계산하기

a=3, b=5를 넣으면 안쪽 합은 8, 바깥 곱수는 5이므로 3 ★ 5 = 8·5 = 40이다.

3 ★ 5 = (3+5) · 5 = 8 · 5 = 40

3STEP 3

두 번째 항 계산하기

a=5, b=3이면 합은 그대로 8이지만 곱수가 3으로 작아져 5 ★ 3 = 8·3 = 24이다.

5 ★ 3 = (5+3) · 3 = 8 · 3 = 24

4STEP 4

두 결과를 빼기

빼면 40 - 24 = 16, 즉 (E)이다. 두 항이 같아야만 0인데 바깥 곱수가 달라졌다.

(3 ★ 5) - (5 ★ 3) = 40 - 24 = 16 → (E)

정답

두 항 모두 같은 합 3+5=5+3=8을 공유하므로, 차이는 8 · 5 - 8 · 3 = 8(5-3) = 8 · 2 = 16이 되어 단계별 결과와 일치한다. 첫 번째 항이 더 큰 바깥 곱수(3 대신 5)를 쓰므로 차이는 반드시 양수이고, 이로써 음수 선택지 (A) -16과 (B) -8은 즉시 제거된다. 이 정도 크기의 수에서 차이 16은 작고 타당하며, 공유된 합 8 덕분에 깔끔하게 8의 배수가 되는 답이 자연스럽다.

💡핵심 정리

새로 만든 기호는 하나의 계산법일 뿐이다: 각 수가 어느 자리에 들어가는지 읽어라, 입력을 바꾸면 결과가 달라질 수 있으니까.

규칙과 두 자리를 읽기
첫 번째 항 계산하기
두 번째 항 계산하기
두 결과를 빼기

규칙과 두 자리를 읽기

첫 번째 항 계산하기

두 번째 항 계산하기

두 결과를 빼기

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