AMC 10 · 2007 · #21

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theoremarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직각삼각형 $\triangle ABC$ 에서 $AB=3, BC=4, AC=5$ 이다. 정사각형 $XYZW$ 가 $\triangle ABC$ 에 내접하는데, $X$ 와 $Y$ 는 $\overline{AC}$ 위에, $W$ 는 $\overline{AB}$ 위에, $Z$ 는 $\overline{BC}$ 위에 있다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{2}$

(B)

$\frac{60}{37}$

(C)

$\frac{12}{7}$

(D)

$\frac{23}{13}$

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 변 $AB=3$, $BC=4$이고 빗변 $AC=5$인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 정사각형 $XYZW$를 한 변 $XY$ 전체가 빗변 $AC$ 위에 놓이도록 두고, 반대쪽 두 꼭짓점은 두 다리에 닿게 한다: $W$는 $AB$ 위에, $Z$는 $BC$ 위에 놓인다. 이 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.

주어진 것: $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$인 직각삼각형 (직각은 빗변 $AC$의 맞은편인 $B$에 있다); 정사각형 $XYZW$의 한 변 $XY$가 빗변 $AC$ 위에 놓여 있다; 나머지 두 꼭짓점은 다리 위에 놓인다: $W$는 $AB$ 위, $Z$는 $BC$ 위; 선택지: (A) $\frac{3}{2}$, (B) $\frac{60}{37}$, (C) $\frac{12}{7}$, (D) $\frac{23}{13}$, (E) $2$

구하는 것: 내접한 정사각형의 한 변의 길이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #1 그림 그리기

정사각형이 빗변 위에 놓여 있으므로 필요한 길이는 다리가 아니라 그 빗변에 수직으로 잰 삼각형의 높이다. 그래서 일을 두 개의 작은 문제로 나눈다 (도구 #7): 먼저 $B$에서 $AC$로 내린 높이를 구하고, 그다음 정사각형이 그 높이를 얼마나 잡아먹는지 본다. 높이는 넓이에서 공짜로 나온다 (같은 삼각형 넓이를 두 가지 방법으로 쓴다). 두 번째 부분에서는 변을 $s$로 이름 붙인다 (도구 #4): 정사각형의 위쪽 변이 잘라내는 위쪽 작은 삼각형은 전체 삼각형을 축소한 닮은꼴이고, 축소 비율을 맞추면 $s$에 대한 방정식 하나가 나온다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

빗변으로 내린 높이 구하기

정사각형이 $AC$ 위에 놓이므로 중요한 방향은 $AC$에서 곧게 바깥으로 나가는 방향이다.
그 거리는 직각 꼭짓점 $B$에서 빗변으로 내린 높이다.
이것을 넓이에서 구한다.
두 다리를 밑변과 높이로 쓰면 직각삼각형의 넓이는 $\frac12\cdot 3\cdot 4 = 6$이다.
같은 넓이를 빗변을 밑변으로, 그 높이 $h$를 써서 나타내면 $\frac12\cdot AC\cdot h = \frac12\cdot 5\cdot h$이다.
둘을 같다고 놓으면 $\frac12\cdot 5\cdot h = 6$이므로 $h = \frac{12}{5}$이다.

$$\tfrac12\cdot 3\cdot 4 = 6 = \tfrac12\cdot 5\cdot h \;\Rightarrow\; h = \tfrac{12}{5}$$

💡 한 삼각형의 넓이는 하나뿐이므로, 빗변에서 재도 같은 $6$이 나와야 한다 — 그것이 빗변으로 내린 높이를 정해 준다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 2

위쪽 작은 삼각형을 전체와 맞추기

정사각형의 변 $WZ$는 빗변과 평행하고 그 위로 정사각형 한 변만큼 올라가 있다.
정사각형 위쪽에는 꼭짓점 $B$를 공유하고 삼각형 $ABC$와 각이 같은 더 작은 삼각형이 있으므로, 이는 축소된 닮은꼴이다.
정사각형의 변을 $s$라 하자.
전체 삼각형은 밑변 $AC=5$, 높이 $h=\frac{12}{5}$이다.
위쪽 작은 삼각형은 높이가 $\frac{12}{5}-s$ (전체 높이에서 정사각형만큼 뺀 것)이고 밑변은 정확히 정사각형의 위쪽 변, 즉 길이 $s$이다.
닮은 삼각형은 밑변 대 높이 비가 같으므로 $\frac{s}{\frac{12}{5}-s} = \frac{5}{\frac{12}{5}}$이다.

$$\dfrac{s}{\tfrac{12}{5}-s} = \dfrac{5}{\tfrac{12}{5}}$$

💡 정사각형의 위쪽 변은 같은 삼각형의 축소판을 얹어 놓은 것이고, 축소판은 밑변 대 높이 비율을 그대로 유지한다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

변의 길이 풀기

비례식을 십자로 곱하면 $s\cdot\frac{12}{5} = 5\left(\frac{12}{5}-s\right)$이다.
오른쪽은 $12 - 5s$이므로 $\frac{12}{5}s = 12 - 5s$이다.
양변에 $5s$를 더해 $s$ 항을 한쪽으로 모으면 $\frac{12}{5}s + 5s = 12$이다.
$5s = \frac{25}{5}s$이므로 왼쪽은 $\frac{12+25}{5}s = \frac{37}{5}s$이다.
따라서 $\frac{37}{5}s = 12$이고, 양변에 $\frac{5}{37}$을 곱하면 $s = \frac{60}{37}$이다.
이것이 선택지 (B)이다.

$$\tfrac{12}{5}s = 12 - 5s \;\Rightarrow\; \tfrac{37}{5}s = 12 \;\Rightarrow\; s = \tfrac{60}{37}$$

💡 비례식 하나가 일차방정식 하나가 되고, $s$ 항을 모으면 변의 길이만 남는다.

[1] #7 6.G.A.1 정사각형이 $AC$ 위에 놓이므로 중요한 방향은 $AC$에서 곧게 바깥으로 나가는 방향이다. 그 거리는 직각 꼭짓점 $B$에서 빗변으로 내린 높

[2] #4 8.G.A.4 정사각형의 변 $WZ$는 빗변과 평행하고 그 위로 정사각형 한 변만큼 올라가 있다. 정사각형 위쪽에는 꼭짓점 $B$를 공유하고 삼각형 $ABC$

[3] #4 8.EE.C.7 비례식을 십자로 곱하면 $s\cdot\frac{12}{5} = 5\left(\frac{12}{5}-s\right)$이다. 오른쪽은 $12 - 5

검토

합리성 확인: 변은 빗변으로 내린 높이 $\frac{12}{5}=2.4$보다 작아야 하는데, $\frac{60}{37}\approx 1.62$는 그보다 넉넉히 작다. 공식을 빠르게 확인하면, 밑변 $b$ 위에 높이 $h$인 삼각형에 놓인 정사각형의 변은 $\frac{bh}{b+h}$이다. 여기서는 $\frac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}} = \frac{12}{\frac{37}{5}} = \frac{60}{37}$로 일치한다. 값도 $1.5$와 $2$ 사이에 몰려 있는 선택지들 안에 알맞게 들어간다.

대안 접근: 높이를 건너뛰고 좌표를 쓴다. $B=(0,0)$, $A=(3,0)$, $C=(0,4)$로 놓으면 빗변 $AC$의 길이는 $5$이다. $B$에서 직선 $AC$까지의 거리는 $\frac{2\cdot\text{넓이}}{AC}=\frac{12}{5}$로 같은 $h$이다. $AC$ 위에 한 변을 얹은 변의 길이 $s$인 정사각형은 높이 $h-s$인 닮은 꼭대기 삼각형을 남기고, 비를 같다고 놓으면 $s=\frac{bh}{b+h}=\frac{60}{37}$이 곧바로 나와 답을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 도형을 합치거나 나누어 삼각형과 다각형의 넓이 구하기 (삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 써서 빗변으로 내린 높이 $h=\frac{12}{5}$를 구하는 데 사용.)
8.G.A.4 이차원 도형의 닮음 이해하고 활용하기 (정사각형 위쪽의 작은 삼각형을 전체 삼각형의 축소 닮은꼴로 알아보고 밑변 대 높이 비를 같다고 놓는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (닮은 삼각형 비례식을 $\frac{37}{5}s=12$로 바꾸고 $s=\frac{60}{37}$을 푸는 데 사용.)

⭐ 정사각형이 비스듬한 변 위에 놓이면 삼각형의 높이를 그 변에서 곧게 바깥으로 재라. 그러면 위에 남는 삼각형이 작은 닮은꼴이 되어 방정식 하나를 건네준다.