AMC 10 · 2007 · #21

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theoremarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직각을 낀 두 변이 AB=3, BC=4이고 빗변이 AC=5인 직각삼각형 ABC가 있다. 정사각형 XYZW를 한 변 XY 전체가 빗변 AC 위에 놓이도록 두고, 나머지 두 꼭짓점은 직각을 낀 두 변에 닿게 한다: W는 AB 위에, Z는 BC 위에 놓인다. 이 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{2}$

(B)

$\frac{60}{37}$

(C)

$\frac{12}{7}$

(D)

$\frac{23}{13}$

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

정사각형이 빗변 위에 놓여 있으므로 필요한 길이는 다리가 아니라 그 빗변에 수직으로 잰 삼각형의 높이다. 그래서 일을 두 개의 작은 문제로 나눈다 (도구 #7): 먼저 B에서 AC로 내린 높이를 구하고, 그다음 정사각형이 그 높이를 얼마나 잡아먹는지 본다. 높이는 넓이에서 공짜로 나온다 (같은 삼각형 넓이를 두 가지 방법으로 쓴다). 두 번째 부분에서는 변을 s로 이름 붙인다 (도구 #4): 정사각형의 위쪽 변이 잘라내는 위쪽 작은 삼각형은 전체 삼각형을 축소한 닮은꼴이고, 축소 비율을 맞추면 s에 대한 방정식 하나가 나온다.

1STEP 1

빗변으로 내린 높이 구하기

넓이를 두 가지로 쓰면 $\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6=\frac{1}{2}\cdot5\cdot h$ 이므로, B에서 AC로 내린 높이는 $\frac{12}{5}$ 이다.

1/2 · 3 · 4 = 6 = 1/2 · 5 · h → h = 12/5

2STEP 2

위쪽 작은 삼각형을 전체와 맞추기

변을 s라 하자. 정사각형 위의 삼각형은 ABC의 축소판이라 밑변 s, 높이 $\frac{12}{5}-s$ . 따라서 $s:\frac{12}{5}-s=5:\frac{12}{5}$ .

s/(12/5-s) = 5/12/5

3STEP 3

변의 길이 풀기

십자로 곱하면 $\frac{12}{5}s=12-5s$ 이고, s 항을 모으면 $\frac{37}{5}s=12$ 이므로 $s=\frac{60}{37}$ . 보기 (B)이다.

12/5s = 12 - 5s → 37/5s = 12 → s = 60/37

정답

60/37

변은 빗변으로 내린 높이

\frac{12}{5}=2.4

보다 작아야 하는데,

\frac{60}{37}

≈ 1.62는 그보다 넉넉히 작다. 공식을 빠르게 확인하면, 높이가 h인 삼각형에서 밑변 b 위에 놓인 정사각형의 변은

\frac{bh}{b+h}

이다. 여기서

b=5

h=\frac{12}{5}

이므로

\frac{12}{5+\frac{12}{5}}

이고,

5+\frac{12}{5}=\frac{37}{5}

이므로 값은

\frac{60}{37}

으로 일치한다. 보기 (C)

\frac{12}{7}

은 같은 공식에 직각변 3과 4를 넣은 값, 즉 빗변이 아니라 직각변 위에 놓인 정사각형이다.

💡핵심 정리

정사각형이 비스듬한 변 위에 놓이면 삼각형의 높이를 그 변에서 곧게 바깥으로 재라. 그러면 위에 남는 삼각형이 작은 닮은꼴이 되어 방정식 하나를 건네준다.

빗변으로 내린 높이 구하기
위쪽 작은 삼각형을 전체와 맞추기
변의 길이 풀기

빗변으로 내린 높이 구하기

위쪽 작은 삼각형을 전체와 맞추기

변의 길이 풀기

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