AMC 10 · 2007 · #23

학년 8 geometry-3d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-figuressurface-areaquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-figures
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정사각형을 밑면으로 하는 각뿔을 밑면과 평행하고 밑면에서 2만큼 떨어진 평면으로 자른다. 윗부분으로 잘려 나온 작은 각뿔의 전체 겉넓이가 원래 각뿔의 전체 겉넓이의 정확히 절반이다. 원래 각뿔의 높이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
$2+\sqrt{2}$
(C)
$1+2\sqrt{2}$
(D)
4
(E)
$4+2\sqrt{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

밑면과 평행한 평면은 전체 각뿔을 축소한 복사본인 윗쪽 각뿔을 잘라내므로, 두 입체는 닮음이다. 이 닮음을 알아차리는 것이 핵심이다. 닮음이 겉넓이와 높이를 연결해 준다. 그다음 높이를 변수로 이름 붙이면 겉넓이 조건이 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀐다.

1STEP 1

닮은 두 각뿔을 본다

밑면과 평행하게 자르면 윗부분은 원래 각뿔을 축소한 복사본이므로 두 각뿔은 닮음이다.

small pyramid ∼ original pyramid
2STEP 2

겉넓이는 높이의 제곱으로 커진다

닮은 입체에서 겉넓이는 높이 비 kk의 제곱으로 변하고, 여기서 넓이 비는 12\frac{1}{2}이다.

((small height)/(original height))² = 1/2
3STEP 3

높이에 이름을 붙여 방정식을 세운다

원래 높이를 hh라 하자. 자른 면이 밑면에서 2만큼 위에 있으므로 위쪽 각뿔의 높이는 h−2h-2이다.

((h-2)/h)² = 1/2
4STEP 4

제곱근을 취한다

h−2h-2와 hh는 모두 양의 길이이므로 양의 근만 남기면 높이 비는 12\frac{1}{\sqrt{2}}이다.

(h-2)/h = 1/√(2)
5STEP 5

높이를 구한다

hh 항을 모으고 분모를 유리화하면 h=4+22h = 4+2\sqrt{2}이고, 이는 선택지 (E)이다.

h - 2 = h/√(2) → h(1 - 1/√(2)) = 2 → h = 2√(2)/(√(2)-1) = 2√(2)(√(2)+1) = 4 + 2√(2)
정답
4+2√(2)
높이 4 + 2√(2) ≈ 6.83이므로 작은 각뿔의 높이는 약 4.83이다. 두 높이의 비는 약 0.707이고, 이는 1/√(2)이며, 제곱하면 정확히 0.5이다. 윗부분의 넓이가 실제로 원래의 절반이 되어 답이 맞다.
💡핵심 정리

한 입체가 다른 입체를 축소한 복사본이면 넓이는 높이 비율의 제곱으로 줄어들므로, 넓이가 절반인 복사본의 높이는 원래의 1 나누기 루트 2배이다.

  • 닮은 두 각뿔을 본다
  • 겉넓이는 높이의 제곱으로 커진다
  • 높이에 이름을 붙여 방정식을 세운다
  • 제곱근을 취한다
  • 높이를 구한다

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