AMC 10 · 2007 · #23

학년 8 geometry-3d

similar-figuressurface-areaquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-figures

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

밑면이 정사각형인 각뿔을, 밑면에 평행하고 밑면으로부터 $2$ 만큼 떨어진 평면으로 자른다. 위쪽에서 잘려 나온 작은 각뿔의 겉넓이가 원래 각뿔의 겉넓이의 절반이다. 원래 각뿔의 높이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2+\sqrt{2}$

(C)

$1+2\sqrt{2}$

(D)

(E)

$4+2\sqrt{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형을 밑면으로 하는 각뿔을 밑면과 평행하고 밑면에서 2만큼 떨어진 평면으로 자른다. 윗부분으로 잘려 나온 작은 각뿔의 전체 겉넓이가 원래 각뿔의 전체 겉넓이의 정확히 절반이다. 원래 각뿔의 높이를 구하여라.

주어진 것: 원래 입체는 정사각형을 밑면으로 하는 각뿔이다.; 자르는 평면은 밑면과 평행하며 밑면에서 2만큼 위에 있다.; 윗부분으로 잘려 나온 작은 각뿔의 겉넓이는 원래 각뿔 겉넓이의 절반이다.

구하는 것: 원래 각뿔의 높이(고도).

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

밑면과 평행한 평면은 전체 각뿔을 축소한 복사본인 윗쪽 각뿔을 잘라내므로, 두 입체는 닮음이다. 이 닮음을 알아차리는 것이 핵심이다. 닮음이 겉넓이와 높이를 연결해 준다. 그다음 높이를 변수로 이름 붙이면 겉넓이 조건이 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀐다.

실행 — 정답: E

#17 공간 상상하기 8.G.A.4 단계 1

닮은 두 각뿔을 본다

밑면과 평행하게 자르면 윗부분은 원래 각뿔을 축소한 복사본이 된다.
작은 각뿔의 모든 길이는 큰 각뿔의 대응하는 길이의 같은 비율이므로, 두 각뿔은 닮음이다.

$$\text{small pyramid} \sim \text{original pyramid}$$

💡 밑면과 평행하게 자르면 도형 전체가 균일하게 줄어들어 같은 모양을 유지한다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.4 단계 2

겉넓이는 높이의 제곱으로 커진다

닮은 입체에서는 모든 겉넓이가 길이 비율의 제곱으로 변한다.
작은 각뿔의 높이가 원래 높이의 비율 k라면, 겉넓이는 원래 겉넓이의 k^2배가 된다.
문제에서 그 넓이의 비율은 1/2이다.

$$\left(\frac{\text{small height}}{\text{original height}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

💡 넓이는 2차원 측도이므로 비율의 제곱으로 커진다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 3

높이에 이름을 붙여 방정식을 세운다

원래 각뿔의 높이를 h라 하자.
자른 면이 밑면에서 2만큼 위에 있으므로 위쪽 작은 각뿔의 높이는 h - 2이다.
이 두 높이를 넓이 비율에 대입한다.

$$\left(\frac{h-2}{h}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

💡 작은 각뿔은 윗부분만 남기므로, 그 높이는 전체 높이에서 밑면 근처 2만큼을 뺀 값이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

제곱근을 취한다

양변에 양의 제곱근을 취한다.
h - 2와 h는 모두 양의 길이이므로 비율이 양수이고, 따라서 양의 근만 남긴다.

$$\frac{h-2}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

💡 양변에 제곱근을 취해 제곱을 풀며, 길이는 양수이므로 양의 부호만 살아남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

높이를 구한다

전개해서 h 항을 모으고 나눈다.
분모를 유리화하면 답이 선택지 형태가 된다: h = 4 + 2\sqrt{2}.
이것은 선택지 (E)와 일치한다.

$$h - 2 = \frac{h}{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; h\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \;\Rightarrow\; h = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 4 + 2\sqrt{2}$$

💡 제곱근이 사라지고 나면 h에 대한 평범한 일차방정식이다.

[1] #17 8.G.A.4 밑면과 평행하게 자르면 윗부분은 원래 각뿔을 축소한 복사본이 된다. 작은 각뿔의 모든 길이는 큰 각뿔의 대응하는 길이의 같은 비율이므로, 두 각

[2] #17 8.G.A.4 닮은 입체에서는 모든 겉넓이가 길이 비율의 제곱으로 변한다. 작은 각뿔의 높이가 원래 높이의 비율 k라면, 겉넓이는 원래 겉넓이의 k^2배가 된

[3] #4 6.RP.A.3 원래 각뿔의 높이를 h라 하자. 자른 면이 밑면에서 2만큼 위에 있으므로 위쪽 작은 각뿔의 높이는 h - 2이다. 이 두 높이를 넓이 비율에 대

[4] #4 8.EE.A.2 양변에 양의 제곱근을 취한다. h - 2와 h는 모두 양의 길이이므로 비율이 양수이고, 따라서 양의 근만 남긴다.

[5] #4 8.EE.C.7 전개해서 h 항을 모으고 나눈다. 분모를 유리화하면 답이 선택지 형태가 된다: h = 4 + 2\sqrt{2}. 이것은 선택지 (E)와 일치한다

검토

합리성 확인: 높이 4 + 2\sqrt{2} \approx 6.83이므로 작은 각뿔의 높이는 약 4.83이다. 두 높이의 비는 약 0.707이고, 이는 1/\sqrt{2}이며, 제곱하면 정확히 0.5이다. 윗부분의 넓이가 실제로 원래의 절반이 되어 답이 맞다.

대안 접근: 가능성 지우기: 자름이 성립하려면 높이는 2보다 커야 하고, 비율 (h-2)/h는 1/\sqrt{2} \approx 0.707이어야 한다. 선택지를 대입해 보면 4 + 2\sqrt{2}만이 (h-2)/h를 0.707에 가깝게 만든다. 더 작은 선택지들은 그 비율을 너무 작게 만든다. 그래서 전체 대수 계산 없이도 (E)가 강제된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.4 닮음과 닮은 도형이 공통 배율로 확대·축소됨을 이해하기 (위쪽 각뿔이 원래 각뿔과 닮음이며 겉넓이가 높이 비율의 제곱으로 변함을 인식하기.)
6.RP.A.3 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 (작은 각뿔 넓이 대 원래 넓이의 비를 1/2로 놓기.)
8.EE.A.2 제곱근 기호를 사용하고 제곱근을 계산하기 (넓이 방정식의 양변에 제곱근을 취해 1/\sqrt{2}을 얻기.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (h(1 - 1/\sqrt{2}) = 2를 풀고 유리화하여 h = 4 + 2\sqrt{2}을 얻기.)

⭐ 한 입체가 다른 입체를 축소한 복사본이면 넓이는 높이 비율의 제곱으로 줄어들므로, 넓이가 절반인 복사본의 높이는 원래의 1 나누기 루트 2배이다.