AMC 10 · 2007 · #24
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 배수 규칙은 수의 모양을 좁혀 주는 필터이고, '가장 작은'이라는 말은 최소화 신호이다. 그래서 4의 배수 규칙으로 끝자리 후보를 하나만 남기고, 각 숫자의 개수를 변수로 놓아 9의 배수 규칙을 강제한 뒤, 자릿수를 가장 적게 하고 배열을 가장 작게 밀어붙인다.
4의 배수 조건이 끝자리를 정한다
4의 배수인지는 마지막 두 자리로 정해지는데, 44, 49, 94, 99 중 44만 4의 배수이다.
4로 나누어떨어지는지는 마지막 두 자리만 결정하므로, 가능한 끝자리 네 개만 시험하면 된다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities9의 배수 조건이 4를 아홉 개로 만든다
4가 a개, 9가 b개면 합은 4a + 9b이고, 9b는 이미 9의 배수라서 a가 9의 배수여야 한다.
9들은 나머지에 기여하지 않으므로, 4들만으로 9의 배수를 채워야 하고 그러려면 아홉 개가 필요하다.
두 숫자 가운데 하나는 나머지에 아무것도 보태지 않으므로, 나머지 숫자만으로 목표에 닿아야 한다.
▸ 왜?
각 자리의 값이 9의 배수보다 1 크므로, 수는 자릿수의 합과 같은 나머지를 남긴다.
▸ 왜?
그 자체가 9의 배수인 숫자는 나머지에 아무것도 더하지 않으므로, 셈에서 빠진다.
자릿수 최소: 4가 아홉 개, 9가 한 개
자릿수가 적을수록 작으니 최소인 4 아홉 개와 9 한 개, 즉 열 자리 수가 된다.
자릿수가 적은 수가 항상 더 작으므로, 먼저 자릿수를 최소화한다.
4.NBT.A.2Extreme Principle가장 작은 값이 되도록 배열하기
44로 끝나야 하니 9를 최대한 오른쪽으로 밀면 4444444944, 마지막 네 자리는 4944이다.
큰 숫자는 낮은 자릿값에 있을수록 손해가 적으므로, 하나뿐인 9를 규칙이 허락하는 만큼 오른쪽에 묻는다.
4.NBT.A.2Extreme Principle배수 규칙으로 수의 모양을 먼저 정한 다음, 자릿수를 최대한 적게 쓰고 큰 숫자는 오른쪽에 숨겨서 수를 작게 만들자.
- 4의 배수 조건이 끝자리를 정한다
- 9의 배수 조건이 4를 아홉 개로 만든다
- 자릿수 최소: 4가 아홉 개, 9가 한 개
- 가장 작은 값이 되도록 배열하기