AMC 10 · 2007 · #24

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-sumdigit-constraints extremal-construction ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$n$ 을 다음 조건을 만족하는 가장 작은 양의 정수라 하자: $4$ 와 $9$ 로 모두 나누어떨어지고, 십진법 표현이 $4$ 와 $9$ 로만 이루어지며, $4$ 와 $9$ 가 각각 적어도 하나씩 들어 있다. $n?$ 의 마지막 네 자리는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4444

(B)

4494

(C)

4944

(D)

9444

(E)

9944

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각 자리 숫자가 4와 9로만 이루어지고(4도 최소 한 개, 9도 최소 한 개 포함), 4와 9로 모두 나누어떨어지는 가장 작은 양의 정수를 만든 뒤, 그 수의 마지막 네 자리를 구한다.

주어진 것: 수의 모든 자리 숫자는 4 또는 9이다.; 수에는 4가 최소 한 개, 9가 최소 한 개 들어 있다.; 수는 4로도 나누어떨어지고 9로도 나누어떨어진다.

구하는 것: 조건을 만족하는 가장 작은 수.; 그 수의 마지막 네 자리, 그리고 대응하는 보기.

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #3 가능성 지우기, #4 변수 도입하기

두 배수 규칙은 수의 모양을 좁혀 주는 필터이고, '가장 작은'이라는 말은 최소화 신호이다. 그래서 4의 배수 규칙으로 끝자리 후보를 하나만 남기고, 각 숫자의 개수를 변수로 놓아 9의 배수 규칙을 강제한 뒤, 자릿수를 가장 적게 하고 배열을 가장 작게 밀어붙인다.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

4의 배수 조건이 끝자리를 정한다

어떤 수가 4로 나누어떨어지는 것은 마지막 두 자리가 이루는 수가 4의 배수일 때뿐이다.
4와 9만 쓸 수 있으므로 가능한 끝자리는 44, 49, 94, 99이다.
각각 확인하면 44 = 4 x 11은 되지만 49, 94, 99는 4의 배수가 아니다.
따라서 수는 44로 끝나야 한다.

44 = 4 \times 11,\quad 49,\ 94,\ 99 \ \text{는 } 4 \text{의 배수 아님}

💡 4로 나누어떨어지는지는 마지막 두 자리만 결정하므로, 가능한 끝자리 네 개만 시험하면 된다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.4 단계 2

9의 배수 조건이 4를 아홉 개로 만든다

어떤 수가 9로 나누어떨어지는 것은 자리 숫자의 합이 9의 배수일 때이다.
수에 숫자 4가 a개, 숫자 9가 b개 있다고 하자.
자리 숫자의 합은 4a + 9b이다.
9b는 이미 9의 배수이므로, 전체 합이 9의 배수가 되려면 4a가 9의 배수여야 한다.
4와 9는 공약수가 없으므로, 4a가 9의 배수가 되려면 a 자체가 9의 배수여야 한다.
그래서 4의 개수는 9, 18, 27, ...
이어야 한다.

\text{자리 숫자의 합} = 4a + 9b,\quad 9 \mid 4a \iff 9 \mid a

💡 9들은 나머지에 기여하지 않으므로, 4들만으로 9의 배수를 채워야 하고 그러려면 아홉 개가 필요하다.

#14 극단의 원리 4.NBT.A.2 단계 3

자릿수 최소: 4가 아홉 개, 9가 한 개

수를 가장 작게 만들려면 먼저 자릿수를 가장 적게 만든다.
4의 개수는 최소 9개여야 하고 9도 최소 한 개 있어야 하므로, 가장 짧은 수는 4가 정확히 아홉 개, 9가 한 개인 열 자리 수이다.
자릿수가 더 적은 유효한 수는 존재할 수 없다.

a = 9,\ b = 1 \Rightarrow 10 \text{ 자리}

💡 자릿수가 적은 수가 항상 더 작으므로, 먼저 자릿수를 최소화한다.

#14 극단의 원리 4.NBT.A.2 단계 4

가장 작은 값이 되도록 배열하기

4가 아홉 개, 9가 한 개인 열 자리 수에서 값을 가장 작게 하려면, 4의 배수 조건 때문에 44로 끝나는 것을 지키면서 큰 숫자를 최대한 오른쪽에 둔다.
앞쪽에는 4를 채우고, 하나뿐인 9를 마지막 두 개의 4가 아닌 가장 오른쪽 자리로 밀면 4444444944가 된다.
마지막 네 자리는 4944이고, 이는 보기 (C)이다.

n = 4444444944,\quad \text{마지막 네 자리} = 4944

💡 큰 숫자는 낮은 자릿값에 있을수록 손해가 적으므로, 하나뿐인 9를 규칙이 허락하는 만큼 오른쪽에 묻는다.

[1] #3 4.OA.B.4 어떤 수가 4로 나누어떨어지는 것은 마지막 두 자리가 이루는 수가 4의 배수일 때뿐이다. 4와 9만 쓸 수 있으므로 가능한 끝자리는 44, 49

[2] #4 6.NS.B.4 어떤 수가 9로 나누어떨어지는 것은 자리 숫자의 합이 9의 배수일 때이다. 수에 숫자 4가 a개, 숫자 9가 b개 있다고 하자. 자리 숫자의 합

[3] #14 4.NBT.A.2 수를 가장 작게 만들려면 먼저 자릿수를 가장 적게 만든다. 4의 개수는 최소 9개여야 하고 9도 최소 한 개 있어야 하므로, 가장 짧은 수는 4

[4] #14 4.NBT.A.2 4가 아홉 개, 9가 한 개인 열 자리 수에서 값을 가장 작게 하려면, 4의 배수 조건 때문에 44로 끝나는 것을 지키면서 큰 숫자를 최대한 오

검토

합리성 확인: 답 4444444944를 직접 확인한다. 마지막 두 자리가 44 = 4 x 11이므로 4로 나누어떨어지고, 자리 숫자의 합은 4가 아홉 개에 9가 하나로 36 + 9 = 45 = 9 x 5이므로 9로도 나누어떨어진다. 두 숫자를 모두 쓰고 자릿수가 열 개로 가능한 최소이다. 마지막 네 자리 4944는 (C)와 일치한다. 보기 (B) 4494는 94로 끝나 4의 배수가 아니므로 끝자리가 될 수 없다 — 배수 필터가 실제로 작동하는지 빠르게 점검한 셈이다.

대안 접근: 수를 직접 만드는 대신 보기를 걸러낼 수도 있다. 끝자리가 4의 배수인 것만 살아남으므로 (B) 4494는 바로 탈락한다. 남은 것 중에서 가장 작은 수는 앞자리를 작게 하고 싶으므로 마지막 네 자리 묶음이 9444나 9944가 아니라 4944여야 하고, 4444이려면 반드시 있어야 할 하나의 9가 더 왼쪽으로 밀려 수가 더 길어지므로 (C)만 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하며, 소수인지 합성수인지 판별하기 (마지막 두 자리가 4의 배수인지 확인하여 4로 나누어떨어지는지 판정하기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (4와 9가 공약수를 갖지 않으므로 4a가 9의 배수가 되려면 a가 9의 배수여야 함을 인식하기.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 (후보 수들을 비교하여 자릿수가 가장 적고 값이 가장 작은 수를 찾기.)

⭐ 배수 규칙으로 수의 모양을 먼저 정한 다음, 자릿수를 최대한 적게 쓰고 큰 숫자는 오른쪽에 숨겨서 수를 작게 만들자.