AMC 10 · 2007 · #25

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

gcddivisibility-rulescasework casework ↑ 선수 지식: gcd

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$a$ 와 $b$ 가 $1$ 보다 큰 공약수를 갖지 않으면서 다음

$\frac{a}{b} + \frac{14b}{9a}$

이 정수가 되는 양의 정수 순서쌍 $(a,b)$ 는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$보다 큰 공약수를 갖지 않는 양의 정수 쌍 $(a,b)$ 중에서 식 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ 의 값이 정수가 되는 쌍이 몇 개인지 센다.

주어진 것: $a$와 $b$는 양의 정수이다; $a$와 $b$는 $1$보다 큰 공약수를 갖지 않는다 (서로소이다); $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ 의 값이 정수여야 한다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $12$, (E) 무수히 많다

구하는 것: 식의 값을 정수로 만드는 서로소인 쌍 $(a,b)$의 개수

이해

문제 재정리: $1$보다 큰 공약수를 갖지 않는 양의 정수 쌍 $(a,b)$ 중에서 식 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ 의 값이 정수가 되는 쌍이 몇 개인지 센다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

두 개의 분수를 따로 두면 판단하기 어렵다. 먼저 하나의 분수 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ 로 합치면 "정수이다"라는 조건은 그저 분모가 분자를 나눈다는 뜻이 된다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 이 한 개의 나눗셈 조건을 작은 조각으로 나눈다: $a$는 무엇을 나눠야 하는가, $b$는 무엇을 나눠야 하는가, 그리고 공통인수 $3$은 어떻게 작동하는가. 서로소 조건 덕분에 각 조각이 짧은 약수 목록으로 바뀌어 $a$와 $b$가 가질 수 있는 값이 몇 개로 줄어든다. 그다음 Tool #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 후보들을 확인하고, Tool #3 (가능성 지우기)로 실패하는 경우를 버리면 정확한 개수가 남는다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

하나의 분수로 합치기

두 분수를 공통분모 $9ab$ 위로 올린다.
첫 번째는 $\dfrac{9a^2}{9ab}$ 가 되고 두 번째는 $\dfrac{14b^2}{9ab}$ 가 되어, 둘을 합치면 하나의 분수가 된다.
이제 전체 질문은 이 하나의 분수가 언제 정수가 되느냐이다.
그것은 분모 $9ab$ 가 분자 $9a^2+14b^2$ 를 나누어떨어지게 할 때 정확히 성립한다.

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}=\dfrac{9a^2}{9ab}+\dfrac{14b^2}{9ab}=\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$$

💡 하나의 분수는 정수 여부를 쉽게 판별할 수 있다: 분모가 분자를 나누기만 하면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

a가 나눠야 하는 것

분모에 있는 인수 $a$ 만 본다.
분모가 분자를 나누려면 $a$가 $9a^2+14b^2$ 를 나눠야 한다.
그런데 $a$는 이미 $9a^2$ 을 나누므로, 남은 부분 $14b^2$ 도 나눠야 한다.
하지만 $a$와 $b$는 $1$보다 큰 공약수가 없으므로 $a$는 $b^2$ 과도 공통인수가 없다.
따라서 $a$는 반드시 $14$ 를 나눠야 하고, $14$ 의 양의 약수는 $1, 2, 7, 14$ 이다.

$$a \mid 9a^2+14b^2 \;\Rightarrow\; a \mid 14b^2 \;\Rightarrow\; a \mid 14 \;\Rightarrow\; a \in \{1,2,7,14\}$$

💡 서로소인 두 수는 아무것도 공유하지 않으므로, 분모의 인수는 $b$ 안에 숨을 수 없고 $14$ 안에 있어야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 3

b가 나눠야 하는 것

분모에 있는 인수 $b$ 에 대해 똑같이 한다.
분모가 분자를 나누려면 $b$가 $9a^2+14b^2$ 를 나눠야 한다.
$b$는 $14b^2$ 을 나누므로 나머지 $9a^2$ 도 나눠야 한다.
다시, $b$는 $a$ 와 공통인수가 없으니 $a^2$ 과도 없고, 따라서 $b$는 $9$ 를 나눠야 한다.
$9$ 의 양의 약수는 $1, 3, 9$ 이다.

$$b \mid 9a^2+14b^2 \;\Rightarrow\; b \mid 9a^2 \;\Rightarrow\; b \mid 9 \;\Rightarrow\; b \in \{1,3,9\}$$

💡 같은 서로소 원리가 $b$를 그 아래 있는 $9$의 약수로 못 박는다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

짧은 후보 목록으로 좁히기

그러므로 $a \in \{1,2,7,14\}$ 와 $b \in \{1,3,9\}$ 만 가능하다.
약수라는 것은 필요조건이지만 아직 충분하지는 않다: 전체 분모 $9ab$ 가 분자를 나눠야 하고, $9$ 와 $b$ 는 인수 $3$ 을 공유할 수 있다.
그래서 $b$ 의 값이 모든 것을 결정한다.
$1,2,7,14$ 중 어느 것도 $3$ 의 배수가 아니라는 점을 기억하며 세 가지 $b$ 를 하나씩 확인한다.

$$a \in \{1,2,7,14\}, \qquad b \in \{1,3,9\}$$

💡 후보가 몇 개뿐이므로 짧고 체계적인 확인으로 결판이 난다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

각 b 값 확인하기

경우 $b=1$: 분자는 $9a^2+14$, 분모는 $9a$ 이다.
$9a$ 가 $9a^2$ 을 나누므로 남은 $14$ 도 나눠야 하는데, $9a$ 는 $9$ 의 배수이고 $14$ 는 그렇지 않아 결코 성립하지 않는다.
경우 $b=9$: 분수는 $\dfrac{9a^2+1134}{81a}$ 가 되고, 이것이 정수이려면 $9a$ 가 $a^2+126$ 을 나눠야 한다.
하지만 $126$ 은 $9$ 의 배수인 반면, $a$ 가 $3$ 의 배수가 아니므로 $a^2$ 은 $9$ 로 나눈 나머지가 $1$, $4$, $7$ 중 하나여서 $a^2+126$ 은 결코 $9$ 의 배수가 되지 않는다 — 해가 없다.
경우 $b=3$: 분수는 $\dfrac{9a^2+126}{27a}=\dfrac{a^2+14}{3a}$ 가 되고, $3a$ 가 $a^2+14$ 를 나눠야 한다.
여기서 $a$ 는 $a^2+14$ 를 나누고($a \mid 14$ 이므로), $3$ 도 $a^2+14$ 를 나눈다($a^2$ 의 나머지가 $1$ 이라 $a^2+14$ 는 $15$ 처럼 작동하며 $3$ 의 배수이므로).
그래서 모든 $b=3$ 경우가 성립한다.

$$b=1:\ 9a \mid 14\ (\text{불가});\quad b=9:\ 9 \nmid a^2+126;\quad b=3:\ \dfrac{a^2+14}{3a}\ (\text{항상 성립})$$

💡 공통인수 $3$ 은 $b$ 가 정확히 $3$ 일 때만 맞아떨어진다; 너무 작아도($b=1$) 너무 커도($b=9$) 어긋난다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 6

살아남은 쌍 세기

오직 $b=3$ 만 살아남고, 허용된 모든 $a$ 가 그것과 함께 성립하여 쌍 $(1,3), (2,3), (7,3), (14,3)$ 을 준다 — $1,2,7,14$ 중 어느 것도 인수 $3$ 을 공유하지 않으므로 각 쌍은 서로소이다.
각 경우의 값을 확인하면 정수임이 드러난다: $\frac{1+14}{3}=5$, $\frac{4+14}{6}=3$, $\frac{49+14}{21}=3$, $\frac{196+14}{42}=5$.
총 $4$ 개의 쌍이므로 답은 $\textbf{(A)}\ 4$ 이다.

$$(1,3),(2,3),(7,3),(14,3) \;\Rightarrow\; 4 \text{ 쌍} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $b$ 의 좋은 값 하나, $a$ 의 좋은 값 넷: 곱하면 정직하게 네 쌍이다.

[1] #7 6.EE.A.2 두 분수를 공통분모 $9ab$ 위로 올린다. 첫 번째는 $\dfrac{9a^2}{9ab}$ 가 되고 두 번째는 $\dfrac{14b^2}{9ab

[2] #7 6.NS.B.4 분모에 있는 인수 $a$ 만 본다. 분모가 분자를 나누려면 $a$가 $9a^2+14b^2$ 를 나눠야 한다. 그런데 $a$는 이미 $9a^2$

[3] #7 6.NS.B.4 분모에 있는 인수 $b$ 에 대해 똑같이 한다. 분모가 분자를 나누려면 $b$가 $9a^2+14b^2$ 를 나눠야 한다. $b$는 $14b^2$

[4] #2 4.OA.B.4 그러므로 $a \in \{1,2,7,14\}$ 와 $b \in \{1,3,9\}$ 만 가능하다. 약수라는 것은 필요조건이지만 아직 충분하지는 않

[5] #3 4.OA.B.4 경우 $b=1$: 분자는 $9a^2+14$, 분모는 $9a$ 이다. $9a$ 가 $9a^2$ 을 나누므로 남은 $14$ 도 나눠야 하는데, $9

[6] #3 4.OA.B.4 오직 $b=3$ 만 살아남고, 허용된 모든 $a$ 가 그것과 함께 성립하여 쌍 $(1,3), (2,3), (7,3), (14,3)$ 을 준다 —

검토

합리성 확인: 네 쌍을 각각 다시 대입했더니 정수 $5, 3, 3, 5$ 가 나와 넷 모두 실제로 성립한다. 어떤 쌍도 중복해서 세지 않았고, $b$ 에 대한 경우 분석이 $b=1$ 과 $b=9$ 는 아무것도 주지 않음을 증명했으므로 빠뜨린 것도 없다 — 이는 (E) 무수히 많다와 더 큰 개수인 (B) $6$, (C) $9$, (D) $12$ 를 배제한다. 정확히 $4$ 개의 쌍이 남아 (A) 와 일치한다.

대안 접근: 식을 정수 $k$ 와 같다고 놓고 분모를 없애면 $a$ 에 대한 이차식 $9a^2 - 9k\,ab + 14b^2 = 0$ 을 얻는다. $a$ 가 정수가 되려면 판별식 $9b^2(9k^2-56)$ 이 완전제곱수여야 하므로 $9k^2-56$ 이 완전제곱수 $t^2$ 여야 한다. 그러면 $(3k-t)(3k+t)=56$ 이 되고, 이 인수분해가 $k=3$ 또는 $k=5$ 를 강제한다. 이를 다시 대입하고 서로소인 쌍만 남기면 정확히 $(1,3),(2,3),(7,3),(14,3)$ 이 나온다 — 같은 네 쌍이며, 개수가 유한하고 $4$ 임을 독립적으로 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (두 개의 문자 분수를 공통분모 $9ab$ 위로 합쳐 하나의 식 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ 로 만들기.)
6.NS.B.4 두 자연수의 최대공약수를 구하고 공약수에 대해 추론하기 ($\gcd(a,b)=1$ 을 이용해 $a \mid 14b^2$ 에서 $a \mid 14$ 로, $b \mid 9a^2$ 에서 $b \mid 9$ 로 넘어가 각 문자를 짧은 약수 목록으로 줄이기.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 찾고 어떤 자연수가 주어진 수의 배수인지 판정하기 ($14$ 와 $9$ 의 약수를 나열하고, 각 후보 $b$ 에 대해 전체 분모 $9ab$ 가 분자 $9a^2+14b^2$ 를 나누는지 확인하기.)

⭐ 분수를 하나로 붙인 뒤, 공약수가 없다는 규칙이 각 문자를 짧은 약수 목록으로 몰아넣게 하면, 그다음엔 확인할 경우가 몇 개밖에 남지 않는다.