AMC 10 · 2007 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic work-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$2007 \text{ AMC }10$ 은 정답 하나당 $6$ 점, 오답 하나당 $0$ 점, 답하지 않고 남긴 문제 하나당 $1.5$ 점을 준다. $25$ 문제를 살펴본 후, Sarah는 처음 $22$ 문제를 풀어 보고 마지막 $3$ 문제만 답하지 않고 남기기로 했다. $100$ 점 이상을 받으려면 처음 $22$ 문제 중 몇 문제를 맞혀야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 25문제짜리 시험에서 정답은 6점, 오답은 0점, 답을 쓰지 않은 문제는 1.5점을 받는다. Sarah는 앞의 22문제를 풀고 마지막 3문제는 비워 둔다. 총점이 100점 이상이 되려면, 푼 22문제 중 최소한 몇 문제를 맞혀야 하는지 구하는 문제다.

주어진 것: 정답은 6점이다.; 오답은 0점이다.; 답을 쓰지 않은 문제는 1.5점이다.; Sarah는 앞의 22문제를 풀고 마지막 3문제는 비워 둔다.

구하는 것: 총점이 100점 이상이 되게 하는, 푼 22문제 중 정답의 최소 개수

이해

주어진 것: 정답은 6점이다.; 오답은 0점이다.; 답을 쓰지 않은 문제는 1.5점이다.; Sarah는 앞의 22문제를 풀고 마지막 3문제는 비워 둔다.

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

목표 점수는 100점으로 고정되어 있고 구하는 것은 그에 도달하는 정답 개수이므로, 100에서 시작해 거꾸로 벗겨 나가는 것이 가장 깔끔하다. 먼저 비워 둔 3문제로 이미 보장된 점수를 빼내고, 남은 점수를 6점짜리 정답 몇 개가 채워야 하는지 본다. 정답을 반쪽만 맞힐 수는 없으므로, 마지막 단계는 자연수로 올림하는 것이다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 1

보장된 점수 확보하기

답을 쓰지 않은 3문제는 무슨 일이 있어도 각각 1.5점을 받으므로 고정된 점수를 준다.
곱해서 구하면, 3 곱하기 1.5는 4.5점이다.
Sarah는 이미 4.5점을 확보한 채로 시작한다.

$$3 \times 1.5 = 4.5$$

💡 빈칸은 이미 정해졌으니 그 점수를 은행에 넣어 둔 돈처럼 여긴다.

#11 거꾸로 풀기 5.NBT.B.7 단계 2

목표에서 거꾸로 빼기

목표는 100점 이상이고, 그중 4.5점은 이미 빈칸으로 채워졌다.
빼서 정답이 채워야 할 점수를 구하면, 100 빼기 4.5는 95.5이다.
그러므로 정답만으로 최소 95.5점을 가져와야 한다.

$$100 - 4.5 = 95.5$$

💡 보장된 점수를 목표에서 덜어내면, 남는 것이 정답이 해야 할 몫이다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.B.3 단계 3

나누어 정답 개수 세기

정답 하나는 6점이므로 필요한 점수를 6으로 나눈다: 95.5 나누기 6은 약 15.9이다.
이것이 정확히 95.5점에 닿는 데 필요한 정답 개수다.

$$95.5 \div 6 = 15.91\overline{6}$$

💡 필요한 점수를 6점씩 묶어 나누면 그 묶음에 정답이 몇 개 드는지 알 수 있다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

자연수로 올림하기

Sarah가 15.9문제를 맞힐 수는 없고, 정답 15개는 부족하다: 15 곱하기 6 더하기 4.5는 94.5로 100보다 낮다.
다음 자연수인 16은 된다: 16 곱하기 6 더하기 4.5는 100.5로 100을 넘는다.
그러므로 100점 이상에 닿는 가장 작은 자연수는 16이고, 답은 (D)이다.

$$15 \cdot 6 + 4.5 = 94.5 < 100 \qquad 16 \cdot 6 + 4.5 = 100.5 \ge 100$$

💡 낱개로 세는 것의 소수 결과가 부족하면, 목표에 닿기 위해 항상 올림한다.

[1] #8 5.NBT.B.7 답을 쓰지 않은 3문제는 무슨 일이 있어도 각각 1.5점을 받으므로 고정된 점수를 준다. 곱해서 구하면, 3 곱하기 1.5는 4.5점이다. Sa

[2] #11 5.NBT.B.7 목표는 100점 이상이고, 그중 4.5점은 이미 빈칸으로 채워졌다. 빼서 정답이 채워야 할 점수를 구하면, 100 빼기 4.5는 95.5이다.

[3] #8 6.NS.B.3 정답 하나는 6점이므로 필요한 점수를 6으로 나눈다: 95.5 나누기 6은 약 15.9이다. 이것이 정확히 95.5점에 닿는 데 필요한 정답 개

[4] #3 4.OA.A.3 Sarah가 15.9문제를 맞힐 수는 없고, 정답 15개는 부족하다: 15 곱하기 6 더하기 4.5는 94.5로 100보다 낮다. 다음 자연수인

검토

합리성 확인: 경계를 직접 확인한다. 정답 16개일 때: 정답 16개는 6점씩 96점, 빈칸 4.5점을 더하면 100.5로 100 이상이다. 정답 15개일 때: 90 더하기 4.5는 94.5로 미치지 못한다. 그러므로 16이 정확한 전환점이고 (D)와 맞는다. 둘 사이의 차이는 정답 하나인 6점이라, 94.5가 100.5로 껑충 뛰고 그 사이에서 성립하는 값이 따로 없는 것이다.

대안 접근: 하나의 부등식으로 세워도 된다. 정답 개수를 c라 하면 6c + 4.5 \ge 100. 양변에서 4.5를 빼면 6c \ge 95.5, 다시 6으로 나누면 c \ge 15.9\overline{1}. c는 자연수여야 하므로 가장 작은 값은 16이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths (보장된 점수 3 x 1.5 = 4.5를 구하고, 100 - 4.5 = 95.5로 빼는 데 사용.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals (아직 필요한 95.5점을 정답당 6점으로 나누어 약 15.9를 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multistep word problems, interpreting remainders in context (정답 개수의 소수 결과를 100점 이상에 닿도록 다음 자연수로 올림해야 함을 파악하는 데 사용.)

⭐ 보장된 점수를 확보하고, 목표에서 그만큼 빼고, 정답 하나의 점수로 나눈 뒤, 문제를 반쪽만 맞힐 수는 없으니 올림하라.