AMC 10 · 2007 · #9

학년 4 rate-ratio

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Calendar Day Lookup

triangular-numbersmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 암호 코드가 다음과 같이 설계되어 있다. 주어진 메시지에서 어떤 글자가 처음 나타날 때는 알파벳에서 오른쪽으로 $1$ 칸 떨어진 글자로 바뀐다(글자 $A$ 는 글자 $Z$ 의 오른쪽으로 한 칸 떨어진 것으로 본다). 같은 글자가 두 번째로 나타날 때는 오른쪽으로 $1+2$ 칸 떨어진 글자로, 세 번째로 나타날 때는 오른쪽으로 $1+2+3$ 칸 떨어진 글자로 바뀌며, 이런 식으로 계속된다. 예를 들어 이 코드로 "banana"라는 단어는 "cbodqg"가 된다. 다음 메시지에서 마지막 글자 $s$ 를 대체하는 글자는 무엇인가?
$\text{"Lee's sis is a Mississippi miss, Chriss!"?}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 글자가 다시 나타날 때마다 알파벳에서 오른쪽으로 점점 더 많이 밀려난다. 처음 나올 때는 1칸, 두 번째는 1+2칸, 세 번째는 1+2+3칸씩 밀리며, Z를 지나면 다시 A로 돌아온다. "Lee's sis is a Mississippi miss, Chriss!"라는 문장에서 맨 마지막 s를 대신하는 글자가 무엇인지 구하는 문제다.

주어진 것: 어떤 글자가 n번째로 나타나면 오른쪽으로 1+2+...+n칸 떨어진 글자로 바뀐다.; 알파벳은 26글자가 도는 고리다: A는 Z 바로 오른쪽에 있다.; 문장은 "Lee's sis is a Mississippi miss, Chriss!"이다.; 예시: "banana"는 "cbodqg"가 된다 (두 번째 n은 1+2=3칸 밀려 q, 세 번째 a는 1+2+3=6칸 밀려 g).

구하는 것: 문장에서 마지막 s를 대신하는 글자

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

규칙은 깔끔한 패턴을 만든다. n번째 s는 오른쪽으로 1+2+...+n칸 밀리는데, 이것은 삼각수다. 그리고 알파벳이 26글자마다 한 바퀴 돌기 때문에, 이동 칸수를 26으로 나눈 나머지만이 중요하다. 그래서 s의 개수를 세고, 삼각수 패턴으로 마지막 s의 누적 이동 칸수를 구한 뒤, 26글자 고리에 맞춰 감아 넣는 것이 계획이다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 1

오직 s만 중요하다

어떤 글자의 이동 칸수는 그 같은 글자가 그 앞에 몇 번 나왔는지로만 완전히 정해진다.
그러므로 마지막 s를 대신하는 글자는 오직 다른 s들에만 달려 있고, l이나 i, m, p 같은 다른 글자와는 상관이 없다.
그러니 문장을 s만 남기고 나머지는 모두 지워버린다.

💡 글자마다 자기만의 계수기를 따로 돌리므로, s들은 다른 글자를 신경 쓰지 않는다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.B.2 단계 2

s의 개수 세기

문장을 훑으며 s를 하나하나 센다(대문자든 소문자든 같은 글자다): Lee's에 1개, sis에 2개(누적 3), is에 1개(누적 4), Mississippi에 4개(누적 8), miss에 2개(누적 10), Chriss에 2개(누적 12).
그래서 s는 모두 12개이고, 우리가 찾는 것은 12번째 s다.

$$1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12$$

💡 왼쪽에서 오른쪽으로 훑으며 누적 개수를 하나만 유지하면 빠뜨리거나 두 번 세지 않는다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

12번째 s의 이동 칸수 구하기

한 글자가 12번째로 나타나면 오른쪽으로 1+2+3+...+12칸 움직인다.
이 누적 합은 삼각수로, 항의 개수에 그보다 1 큰 수를 곱해 2로 나눈 값과 같다.
12개 항이면 12 곱하기 13 나누기 2, 즉 78이다.
그래서 마지막 s는 오른쪽으로 78칸 밀린다.

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78$$

💡 맨 앞과 맨 뒤 항을 짝지으면(1+12, 2+11, ...) 점점 커지는 합을 쉽게 더할 수 있다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 4

26글자 알파벳을 한 바퀴 감기

알파벳은 26글자이고 Z 다음에 다시 A로 돌아오므로, 딱 26칸을 밀면 출발한 글자에 그대로 도착한다.
그래서 78을 26으로 나눈 나머지만이 중요하다.
78은 정확히 26의 3배이므로 나머지는 0이고, 글자가 전혀 움직이지 않는다는 뜻이다.
12번째 s는 s 자신으로 바뀌므로 답은 (D)이다.

$$78 = 3 \times 26 \;\Rightarrow\; 78 \bmod 26 = 0$$

💡 26글자를 한 바퀴 돌 때마다 제자리로 돌아오므로, 나머지 부분만이 글자를 바꾼다.

[1] #16 4.OA.A.3 어떤 글자의 이동 칸수는 그 같은 글자가 그 앞에 몇 번 나왔는지로만 완전히 정해진다. 그러므로 마지막 s를 대신하는 글자는 오직 다른 s들에만

[2] #2 2.OA.B.2 문장을 훑으며 s를 하나하나 센다(대문자든 소문자든 같은 글자다): Lee's에 1개, sis에 2개(누적 3), is에 1개(누적 4), Mi

[3] #5 4.OA.C.5 한 글자가 12번째로 나타나면 오른쪽으로 1+2+3+...+12칸 움직인다. 이 누적 합은 삼각수로, 항의 개수에 그보다 1 큰 수를 곱해 2로

[4] #5 4.NBT.B.6 알파벳은 26글자이고 Z 다음에 다시 A로 돌아오므로, 딱 26칸을 밀면 출발한 글자에 그대로 도착한다. 그래서 78을 26으로 나눈 나머지만이

검토

합리성 확인: 이동 칸수가 0이면 글자는 제자리에 머물고, s는 보기 중 하나이므로 결과가 들어맞는다. 주어진 예시로도 확인된다: "banana"의 세 번째 a는 1+2+3=6칸 밀려 g가 되는데, 이는 "cbodqg"와 정확히 일치한다. 마지막 s를 78칸에 이르게 한 것과 똑같은 삼각수 규칙이 올바르게 쓰인 것이다.

대안 접근: 공식 대신 각 s의 누적 이동 칸수를 순서대로 적어도 된다: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78. 12번째 값은 78이고, 26을 두 번 빼면(78, 52, 26, 0) 0으로 줄어들어 s가 그대로임을 다시 확인할 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (암호 규칙을 해석하고, 마지막 s의 대체 글자가 오직 앞선 s들에만 달려 있음을 알아내는 데 사용.)
2.OA.B.2 Fluently add and subtract within 20 using mental strategies (문장을 훑어 s가 모두 12번 나타남을 세는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (이동 칸수 1+2+...+n을 삼각수로 인식하고 12번째에 대해 78로 계산하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (78을 26으로 나눈 나머지를 구해 이동을 알파벳 고리에 감아 넣고 나머지 0을 찾는 데 사용.)

⭐ 글자마다 자기 등장 횟수만 세고, 알파벳은 26칸마다 한 바퀴 돌기 때문에 26의 배수만큼 밀리면 글자가 그대로다.