AMC 10 · 2007 · #9

학년 4 rate-ratio

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Calendar Day Lookup

triangular-numbersmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 암호는 메시지의 각 글자를 알파벳에서 오른쪽에 있는 글자로 바꾸는데, 같은 글자가 다시 나올 때마다 더 많이 민다. 어떤 글자가 처음 나올 때는 오른쪽으로 1칸, 두 번째는 1+2칸, 세 번째는 1+2+3칸씩 밀리며 이런 식으로 이어진다. 이때 A는 Z의 오른쪽 한 칸으로 본다. 예를 들어 "banana"는 "cbodqg"가 된다. 메시지 "Lee's sis is a Mississippi miss, Chriss!"에서 마지막 s를 대신하는 글자는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

규칙은 깔끔한 패턴을 만든다. n번째 s는 오른쪽으로 1+2+...+n칸 밀리는데, 이것은 삼각수다. 그리고 알파벳이 26글자마다 한 바퀴 돌기 때문에, 이동 칸수를 26으로 나눈 나머지만이 중요하다. 그래서 s의 개수를 세고, 삼각수 패턴으로 마지막 s의 누적 이동 칸수를 구한 뒤, 26글자 고리에 맞춰 감아 넣는 것이 계획이다.

1STEP 1

오직 s만 중요하다

이동 칸수는 같은 글자가 앞서 몇 번 나왔는지로만 정해지므로, 메시지에서 s만 남기고 나머지 글자는 모두 지운다.

2STEP 2

s의 개수 세기

단어마다 s를 센다: 1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12개, 마지막 s는 12번째 등장이다.

1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12

3STEP 3

12번째 s의 이동 칸수 구하기

12번째 등장은 1+2+3+...+12칸 밀린다. 삼각수이므로 12 곱하기 13 나누기 2, 즉 78칸이다.

1 + 2 + 3 + … + 12 = (12 · 13)/2 = 78

4STEP 4

26글자 알파벳을 한 바퀴 감기

알파벳은 26글자마다 제자리로 돌아오고 78 = 3 × 26이므로 나머지는 0, 마지막 s는 그대로다. 답은 (D)이다.

78 = 3 × 26 → 78 mod 26 = 0

정답

이동 칸수가 0이면 글자는 제자리에 머물고, s는 보기 중 하나이므로 결과가 들어맞는다. 주어진 예시로도 확인된다: "banana"의 세 번째 a는 1+2+3=6칸 밀려 g가 되는데, 이는 "cbodqg"와 정확히 일치한다. 마지막 s를 78칸에 이르게 한 것과 똑같은 삼각수 규칙이 올바르게 쓰인 것이다.

💡핵심 정리

글자마다 자기 등장 횟수만 세고, 알파벳은 26칸마다 한 바퀴 돌기 때문에 26의 배수만큼 밀리면 글자가 그대로다.

오직 s만 중요하다
s의 개수 세기
12번째 s의 이동 칸수 구하기
26글자 알파벳을 한 바퀴 감기

오직 s만 중요하다

s의 개수 세기

12번째 s의 이동 칸수 구하기

26글자 알파벳을 한 바퀴 감기

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