AMC 10 · 2008 · #10

학년 6 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-trianglessimilar-figurespattern-recognition pattern-recognitionphysical-representation ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정사각형 S₁의 넓이가 16이다. 각 변의 중점을 찍고 그 네 점을 이으면 더 작은 정사각형 S₂가 된다. S₂에 똑같은 중점 작도를 다시 하면 더욱 작은 정사각형 S₃가 된다. S₃의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{2}$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 2$

(D)

$\ 3$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

이 문제는 한 가지 동작을 반복한다. 중점을 잇고, 더 작은 정사각형을 얻고, 다시 반복한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이렇게 말한다. 한 단계가 넓이에 무슨 일을 하는지 알아내면 그 규칙이 모든 단계에 적용된다. 규칙을 찾기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 중점과 기울어진 안쪽 정사각형을 눈에 보이게 하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 정사각형을 안쪽 정사각형과 네 모서리 삼각형으로 나누어 넓이를 쉽게 따라간다. 한 단계만 이해하면 패턴이 새 계산 없이 S₃를 넘겨준다.

1STEP 1

정사각형을 그리고 중점 찍기

넓이 16이므로 S₁의 한 변은 4이고 반쪽 변은 2, 네 중점이 S₂의 꼭짓점이다.

S₁ 의 한 변 = 4, 반쪽 변 = 2

2STEP 2

네 모서리 삼각형 잘라내기

각 모서리에서 직각변 2짜리 직각삼각형이 잘려 넓이는 2, 네 개면 모두 8이 사라진다.

삼각형 하나 = 1/2(2)(2) = 2, 네 삼각형 = 8

3STEP 3

한 단계가 넓이를 절반으로 만든다는 것 보기

S₂의 넓이는 16 - 8 = 8, 곧 16의 절반이다. 중점을 이으면 언제나 넓이의 절반이 남는다.

[S₂] = 16 - 8 = 8 = 1/2 [S₁]

4STEP 4

절반 패턴을 다시 적용해 S3 구하기

같은 작도라 다시 절반이 된다. 넓이는 16, 8, 4로 이어져 S₃는 4, 곧 (E)이다.

[S₃] = 1/2 [S₂] = 1/2 × 8 = 4 → (E)

정답

똑같은 절반 만들기를 두 번 하면 16 × 1/2 × 1/2 = 4가 되어 (E)와 일치한다. 답은 S₂의 넓이 8보다 작으면서도 여전히 진짜 정사각형이어야 하는데 4가 맞다. 1/2이나 1 같은 작은 값은 16을 두 번보다 훨씬 여러 번 절반 내야 나오므로 너무 작다.

💡핵심 정리

정사각형의 중점들을 이으면 넓이는 언제나 정확히 절반이 남으므로, 넓이는 16, 그다음 8, 그다음 4로 간다.

정사각형을 그리고 중점 찍기
네 모서리 삼각형 잘라내기
한 단계가 넓이를 절반으로 만든다는 것 보기
절반 패턴을 다시 적용해 S3 구하기

정사각형을 그리고 중점 찍기

네 모서리 삼각형 잘라내기

한 단계가 넓이를 절반으로 만든다는 것 보기

절반 패턴을 다시 적용해 S3 구하기

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