AMC 10 · 2008 · #10

학년 6 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-trianglessimilar-figurespattern-recognition pattern-recognitionphysical-representation ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

넓이가 $16$ 인 정사각형 $S_1$ 의 각 변을 이등분하고, 그 이등분점들을 꼭짓점으로 하여 더 작은 정사각형 $S_2$ 를 만든다. $S_2$ 에 대해 같은 과정을 반복하여 더욱 작은 정사각형 $S_3$ 을 만든다. $S_3$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{2}$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 2$

(D)

$\ 3$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $S_1$의 넓이가 $16$이다. 각 변의 중점을 찍고 그 네 점을 이으면 더 작은 정사각형 $S_2$가 된다. $S_2$에 똑같은 중점 작도를 다시 하면 더욱 작은 정사각형 $S_3$가 된다. $S_3$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: $S_1$은 넓이가 $16$인 정사각형이다; $S_2$의 꼭짓점은 $S_1$의 각 변의 중점이다; $S_3$는 $S_2$에 똑같은 중점 작도를 하여 만든다; 보기: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 세 번째 정사각형 $S_3$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 한 가지 동작을 반복한다. 중점을 잇고, 더 작은 정사각형을 얻고, 다시 반복한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이렇게 말한다. 한 단계가 넓이에 무슨 일을 하는지 알아내면 그 규칙이 모든 단계에 적용된다. 규칙을 찾기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 중점과 기울어진 안쪽 정사각형을 눈에 보이게 하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 정사각형을 안쪽 정사각형과 네 모서리 삼각형으로 나누어 넓이를 쉽게 따라간다. 한 단계만 이해하면 패턴이 새 계산 없이 $S_3$를 넘겨준다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 1

정사각형을 그리고 중점 찍기

$S_1$을 그린다.
넓이가 $16$이고 $4 \times 4 = 16$이므로 한 변의 길이는 $4$이다.
변을 이등분하면 길이 $2$짜리 두 조각으로 나뉜다.
각 변의 중점을 찍으면 이 네 중점이 $S_2$의 꼭짓점이 된다.

$$S_1 \text{의 한 변} = 4, \quad \text{반쪽 변} = 2$$

💡 $4\times4=16$이므로 넓이 $16$은 한 변 $4$에서 나오고, 이등분한 변은 길이 $2$짜리 둘일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

네 모서리 삼각형 잘라내기

안쪽 정사각형 $S_2$는 $S_1$의 각 모서리에서 직각삼각형 하나를 잘라낸다.
어느 모서리에서든 두 자름선은 그 모서리에서 만나는 두 변의 중점으로 이어지므로, 각 삼각형은 길이 $2$짜리 두 직각변을 가지고 직각은 모서리에 있다.
그 넓이는 $\tfrac{1}{2}\times 2 \times 2 = 2$이다.
이런 모서리가 넷이므로 삼각형이 없애는 넓이는 모두 $4 \times 2 = 8$이다.

$$\text{삼각형 하나} = \tfrac{1}{2}(2)(2) = 2, \quad \text{네 삼각형} = 8$$

💡 큰 정사각형을 안쪽 정사각형과 똑같은 네 모서리 삼각형으로 쪼개면 넓이가 단순한 셈이 된다.

#5 패턴 찾기 6.G.A.1 단계 3

한 단계가 넓이를 절반으로 만든다는 것 보기

$S_2$의 넓이는 모서리를 없애고 남은 것, 즉 $16 - 8 = 8$이다.
이것은 정확히 $16$의 절반이다.
네 모서리 삼각형이 언제나 정사각형의 절반을 가져가므로, 어떤 정사각형이든 중점을 이으면 넓이가 절반인 정사각형이 남는다.

$$[S_2] = 16 - 8 = 8 = \tfrac{1}{2}\,[S_1]$$

💡 잘려 나간 모서리들과 안쪽 정사각형의 넓이 합이 같아지므로 각각이 절반이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

절반 패턴을 다시 적용해 S3 구하기

$S_1$에서 $S_2$로 가는 단계는 $S_2$에서 $S_3$를 만드는 것과 똑같은 작도이므로 넓이를 다시 절반으로 만든다.
넓이는 $16,\ 8,\ 4$ 패턴을 따른다.
$S_1 = 16$, $S_2 = 8$, 그리고 $S_3 = \tfrac{1}{2}\times 8 = 4$이다.
따라서 $S_3$의 넓이는 (E)이다.

$$[S_3] = \tfrac{1}{2}\,[S_2] = \tfrac{1}{2}\times 8 = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 같은 작도, 같은 효과. 절반으로 만들고, 다시 절반으로 만든다.

[1] #1 4.MD.A.3 $S_1$을 그린다. 넓이가 $16$이고 $4 \times 4 = 16$이므로 한 변의 길이는 $4$이다. 변을 이등분하면 길이 $2$짜리 두

[2] #7 6.G.A.1 안쪽 정사각형 $S_2$는 $S_1$의 각 모서리에서 직각삼각형 하나를 잘라낸다. 어느 모서리에서든 두 자름선은 그 모서리에서 만나는 두 변의

[3] #5 6.G.A.1 $S_2$의 넓이는 모서리를 없애고 남은 것, 즉 $16 - 8 = 8$이다. 이것은 정확히 $16$의 절반이다. 네 모서리 삼각형이 언제나 정

[4] #5 4.OA.C.5 $S_1$에서 $S_2$로 가는 단계는 $S_2$에서 $S_3$를 만드는 것과 똑같은 작도이므로 넓이를 다시 절반으로 만든다. 넓이는 $16,\

검토

합리성 확인: 똑같은 절반 만들기를 두 번 하면 $16 \times \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = 4$가 되어 (E)와 일치한다. 답은 $S_2$의 넓이 $8$보다 작으면서도 여전히 진짜 정사각형이어야 하는데 $4$가 맞다. $\tfrac{1}{2}$이나 $1$ 같은 작은 값은 $16$을 두 번보다 훨씬 여러 번 절반 내야 나오므로 너무 작다.

대안 접근: 변의 길이를 비로 따라가는 방법도 있다. 안쪽 정사각형의 한 변은 두 중점을 잇는 선분과 같아 이전 변의 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$배이므로, 넓이 비는 한 단계마다 $\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \tfrac{1}{2}$이다. 두 단계면 $16 \times \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = 4$로 같은 보기 (E)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.3 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 실생활 문제에 적용하기 (넓이 $16$을 한 변 $4$로 읽고($4\times4=16$), 각 변을 길이 $2$짜리 반쪽 둘로 나누는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 ($S_1$을 안쪽 정사각형과 네 모서리 직각삼각형으로 쪼개고 각 삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2}(2)(2)=2$로 구하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (똑같은 작도가 매번 넓이를 절반으로 만든다는 것을 알아채어 패턴 $16,\ 8,\ 4$와 $S_3$의 값을 얻는 데 사용.)

⭐ 정사각형의 중점들을 이으면 넓이는 언제나 정확히 절반이 남으므로, 넓이는 $16$, 그다음 $8$, 그다음 $4$로 간다.