AMC 10 · 2008 · #16

학년 8 geometry-2d

area-circlestangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 $A$ 와 $B$ 는 중심이 $O$ 인 원 위에 있고, $\angle AOB = 60^\circ$ 이다. 두 번째 원은 첫 번째 원에 내접하며 $\overline{OA}$ 와 $\overline{OB}$ 에 모두 접한다. 작은 원의 넓이와 큰 원의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{16}$

(B)

$\ \frac{1}{9}$

(C)

$\ \frac{1}{8}$

(D)

$\ \frac{1}{6}$

(E)

$\ \frac{1}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 점 A와 B는 중심이 O인 원 위에 있고, 각 AOB는 60도입니다. 두 번째 작은 원은 큰 원 안쪽에 있으면서 큰 원에 안에서 접하고, 반직선 OA와 OB에도 모두 접합니다. 작은 원의 넓이와 큰 원의 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: A와 B는 중심이 O인 원 위에 있고, 그 반지름을 R이라 합니다.; 각 AOB는 60도입니다.; 작은 원은 선분 OA와 OB에 모두 접합니다.; 작은 원은 큰 원에 안에서 접합니다.

구하는 것: 작은 원의 넓이와 큰 원의 넓이의 비.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 한 원이 두 반직선에 어떻게 붙어 있고 또 다른 원 안에 어떻게 들어 있는지를 다루므로, 깔끔한 그림이 핵심입니다. 그림을 그리면 두 가지 사실이 드러납니다. 두 반직선에 모두 접하려면 작은 원의 중심이 60도 각을 이등분하는 선 위에 있어야 하고, 큰 원에 안에서 접한다는 것은 두 중심 사이의 거리를 통해 두 반지름을 이어 줍니다. 두 반지름에 이름을 붙이고, 직각삼각형을 만들어 둘을 관계 짓고, 반지름의 제곱을 비교해 넓이의 비를 얻습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

작은 원의 중심을 이등분선 위에 놓기

중심이 O인 큰 원과, 60도 각을 이루는 두 반직선 OA, OB를 그립니다.
두 반직선에 모두 접하는 원은 두 반직선에서 같은 거리에 있어야 하므로, 그 중심 P는 각을 반으로 나누는 선 위에 있습니다.
이 이등분선은 60도를 똑같은 30도 두 개로 나누므로, OP와 각 반직선 사이의 각은 30도입니다.

$$\angle AOP = \angle BOP = 30^\circ$$

💡 각의 두 변에 딱 붙는 원은 그 각의 한가운데 선 위에 중심이 있어야 합니다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 2

직각삼각형으로 두 반지름 관계 짓기

작은 반지름을 r, 큰 반지름을 R이라 합시다.
P에서 반직선 OA로 수선을 내려 만나는 점을 T라 하면, 반지름은 접선과 직각으로 만나므로 PT는 r이고 각 PTO는 90도입니다.
이제 삼각형 OTP는 O에서 30도, T에서 직각이므로 30-60-90 삼각형입니다.
이 삼각형에서 30도 각과 마주 보는 변은 가장 긴 변의 정확히 절반이므로, PT는 OP의 절반입니다.
PT가 r이므로 거리 OP는 2r입니다.

$$PT = r,\ \angle POT = 30^\circ \Rightarrow OP = 2r$$

💡 30-60-90 삼각형에서 가장 짧은 변은 언제나 빗변의 절반입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 3

안에서 접하는 성질로 두 반지름 잇기

작은 원은 큰 원에 안쪽에서 접합니다.
한 원이 다른 원 안에 있으면서 접할 때, 두 중심 사이의 거리는 큰 반지름에서 작은 반지름을 뺀 값과 같습니다.
여기서 큰 원의 중심은 O, 작은 원의 중심은 P이므로 OP는 R 빼기 r입니다.
그런데 앞 단계에서 OP는 2r이기도 합니다.
둘을 같다고 놓으면 2r = R 빼기 r이 되고, 양변에 r을 더하면 3r = R이므로 r은 R의 삼분의 일입니다.

$$OP = R - r = 2r \Rightarrow 3r = R \Rightarrow r = \tfrac{R}{3}$$

💡 다른 원 안에 들어가 접하는 원은 두 중심이 반지름의 차이만큼 떨어져 있습니다.

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 4

넓이 비교하기

원의 넓이는 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로, 두 원을 비교하면 파이는 약분되고 반지름의 제곱만 남습니다.
넓이의 비는 r 제곱 나누기 R 제곱, 곧 r 나누기 R의 제곱입니다.
r 나누기 R이 삼분의 일이므로 비는 삼분의 일의 제곱, 즉 구분의 일입니다.
이는 선택지 (B)와 일치합니다.

$$\dfrac{\pi r^2}{\pi R^2} = \left(\dfrac{r}{R}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$$

💡 원의 넓이는 반지름의 제곱에 따라 커지므로, 반지름이 삼분의 일이면 넓이는 구분의 일입니다.

[1] #1 8.G.A.5 중심이 O인 큰 원과, 60도 각을 이루는 두 반직선 OA, OB를 그립니다. 두 반직선에 모두 접하는 원은 두 반직선에서 같은 거리에 있어야

[2] #4 8.G.A.5 작은 반지름을 r, 큰 반지름을 R이라 합시다. P에서 반직선 OA로 수선을 내려 만나는 점을 T라 하면, 반지름은 접선과 직각으로 만나므로 P

[3] #7 8.EE.C.7 작은 원은 큰 원에 안쪽에서 접합니다. 한 원이 다른 원 안에 있으면서 접할 때, 두 중심 사이의 거리는 큰 반지름에서 작은 반지름을 뺀 값과

[4] #4 7.G.B.4 원의 넓이는 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로, 두 원을 비교하면 파이는 약분되고 반지름의 제곱만 남습니다. 넓이의 비는 r 제곱 나누기 R 제곱

검토

합리성 확인: 작은 반지름이 큰 반지름의 삼분의 일로 나왔는데, 그림으로 보면 타당합니다. 작은 원은 분명히 큰 원의 절반보다 훨씬 작지만 아주 작지도 않습니다. 삼분의 일을 제곱하면 구분의 일로, 넓이의 몫으로 적절합니다. 접함을 빠르게 확인하면, r = R/3일 때 중심은 OP = 2R/3에 있고 2R/3 + R/3 = R로 큰 원의 바깥 가장자리에 정확히 닿아 안에서 접함이 맞습니다. 따라서 (B) 9분의 1이 일관됩니다.

대안 접근: 30-60-90 지름길 대신, 두 원이 만나는 점에서 접선을 그으면 그 접선은 두 중심을 잇는 선에 수직이고, 두 반직선과 만나 세 각이 모두 60도인 삼각형을 만들므로 정삼각형이 됩니다. 작은 원은 이 삼각형의 내접원이고, 그 중심은 삼각형의 무게중심이기도 합니다. 무게중심은 각 중선을 2 대 1로 나누므로, 다시 큰 반지름이 작은 반지름의 세 배가 되어 똑같이 9분의 1이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 각에 관한 사실과 삼각형 닮음의 AA 기준을 비형식적 논증으로 확립하기 (작은 원의 중심이 30도 이등분선 위에 있음을 논증하고, 삼각형 OTP가 30-60-90 삼각형이어서 짧은 변이 빗변의 절반임을 이용해 OP = 2r을 얻는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (2r = R - r을 풀어 작은 반지름이 큰 반지름의 삼분의 일임을 찾는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 사용하기 (원의 넓이가 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로 반지름의 비를 제곱해 넓이의 비로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 각의 두 변에 접하면 원은 가운데 선 위에 놓이고, 반지름이 삼분의 일임을 알면 넓이는 반지름의 제곱을 따르므로 구분의 일입니다.