AMC 10 · 2008 · #16

학년 8 geometry-2d

area-circlestangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 A와 B는 중심이 O인 원 위에 있고, 각 AOB는 60도입니다. 두 번째 작은 원은 큰 원 안쪽에서 큰 원에 접하고, 반직선 OA와 OB에도 모두 접합니다. 작은 원의 넓이와 큰 원의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{16}$

(B)

$\ \frac{1}{9}$

(C)

$\ \frac{1}{8}$

(D)

$\ \frac{1}{6}$

(E)

$\ \frac{1}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 한 원이 두 반직선에 어떻게 붙어 있고 또 다른 원 안에 어떻게 들어 있는지를 다루므로, 깔끔한 그림이 핵심입니다. 그림을 그리면 두 가지 사실이 드러납니다. 두 반직선에 모두 접하려면 작은 원의 중심이 60도 각을 이등분하는 선 위에 있어야 하고, 큰 원에 안에서 접한다는 것은 두 중심 사이의 거리를 통해 두 반지름을 이어 줍니다. 두 반지름에 이름을 붙이고, 직각삼각형을 만들어 둘을 관계 짓고, 반지름의 제곱을 비교해 넓이의 비를 얻습니다.

1STEP 1

작은 원의 중심을 이등분선 위에 놓기

두 반직선에 모두 접하는 원의 중심 P는 각의 이등분선 위에 있으므로, OP는 각 반직선과 30도를 이룹니다.

∠ AOP = ∠ BOP = 30°

2STEP 2

직각삼각형으로 두 반지름 관계 짓기

P에서 OA에 수선 PT를 내리면 PT는 r이고 O의 각은 30도이므로, OTP는 30-60-90 삼각형이고 OP는 2r입니다.

PT = r, ∠ POT = 30° → OP = 2r

3STEP 3

안에서 접하는 성질로 두 반지름 잇기

안에서 접하므로 OP는 R 빼기 r이고, OP는 2r이기도 하므로 3r은 R, 즉 반지름의 비는 1 대 3입니다.

OP = R - r = 2r → 3r = R → r = R/3

4STEP 4

넓이 비교하기

파이는 약분되므로 넓이의 비는 반지름의 비의 제곱, 곧 $\frac{1}{9}$ 이고 선택지 (B)입니다.

(π r²)/(π R²) = (r/R)² = (1/3)² = 1/9

정답

1/9

작은 반지름이 큰 반지름의 삼분의 일로 나왔는데, 그림으로 보면 타당합니다. 작은 원은 분명히 큰 원의 절반보다 훨씬 작지만 아주 작지도 않습니다. 삼분의 일을 제곱하면 구분의 일로, 넓이의 몫으로 적절합니다. 접함을 빠르게 확인하면, r = R/3일 때 중심은 OP = 2R/3에 있고 2R/3 + R/3 = R로 큰 원의 바깥 가장자리에 정확히 닿아 안에서 접함이 맞습니다. 따라서 (B) 9분의 1이 일관됩니다.

💡핵심 정리

각의 두 변에 접하면 원은 가운데 선 위에 놓이고, 반지름이 삼분의 일임을 알면 넓이는 반지름의 제곱을 따르므로 구분의 일입니다.

작은 원의 중심을 이등분선 위에 놓기
직각삼각형으로 두 반지름 관계 짓기
안에서 접하는 성질로 두 반지름 잇기
넓이 비교하기

작은 원의 중심을 이등분선 위에 놓기

직각삼각형으로 두 반지름 관계 짓기

안에서 접하는 성질로 두 반지름 잇기

넓이 비교하기

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