AMC 10 · 2008 · #20

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사다리꼴 $ABCD$ 는 밑변이 $\overline{AB}$ 와 $\overline{CD}$ 이고 두 대각선이 $K$ 에서 만난다. $AB = 9$ , $DC = 12$ 이고 $\triangle AKD$ 의 넓이가 $24$ 라고 하자. 사다리꼴 $ABCD$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 92$

(B)

$\ 94$

(C)

$\ 96$

(D)

$\ 98$

(E)

$\ 100$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 ABCD의 평행한 두 밑변은 AB = 9와 DC = 12이다. 두 대각선이 K에서 만나며 사다리꼴을 네 개의 삼각형으로 나눈다. 그중 삼각형 AKD의 넓이가 24일 때, 사다리꼴 전체의 넓이를 구하라.

주어진 것: ABCD는 AB와 DC가 평행한 사다리꼴이다.; AB = 9, DC = 12이다.; 대각선 AC와 BD가 K에서 만난다.; 삼각형 AKD의 넓이는 24이다.

구하는 것: 사다리꼴 ABCD 전체의 넓이.

이해

주어진 것: ABCD는 AB와 DC가 평행한 사다리꼴이다.; AB = 9, DC = 12이다.; 대각선 AC와 BD가 K에서 만난다.; 삼각형 AKD의 넓이는 24이다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

대각선이 사다리꼴을 네 삼각형으로 나누므로, 전체 넓이를 한 번에 구하려 하지 말고 삼각형 하나하나의 넓이를 구해서 더한다. 평행한 두 밑변 덕분에 위·아래 삼각형이 닮음이 되고, 이로부터 K가 각 대각선을 나누는 비가 정해진다. 그 3:4 비를 알면 주어진 넓이 24로부터 나머지 삼각형 넓이가 간단한 배율로 모두 따라 나온다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 1

대각선이 나뉘는 비 구하기

AB가 DC와 평행하므로 위쪽 삼각형 KAB와 아래쪽 삼각형 KCD는 대응하는 각이 모두 같아(평행선에 대한 엇각과 K에서의 맞꼭지각) 닮음이다.
두 삼각형의 크기는 평행한 변 9와 12의 비, 즉 3 대 4로 커진다.
바로 그 3:4 비로 K가 각 대각선을 나눈다: AK:KC = 3:4, BK:KD = 3:4.

$$\triangle KAB \sim \triangle KCD \;\Rightarrow\; \frac{AK}{KC}=\frac{BK}{KD}=\frac{AB}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

💡 평행한 밑변이 양 끝 삼각형을 같은 모양으로 만들므로, 짧은 밑변 대 긴 밑변의 비가 곧 대응하는 모든 부분의 비이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 2

삼각형 DKC로 늘리기

삼각형 AKD와 DKC를 보자.
두 삼각형은 꼭짓점 D를 공유하고, 밑변 AK와 KC가 같은 직선 AC 위에 있으므로 D에서 그 직선에 내린 높이가 서로 같다.
높이가 같은 삼각형끼리는 넓이의 비가 밑변의 비와 같으므로 넓이(AKD):넓이(DKC) = AK:KC = 3:4이다.
넓이(AKD) = 24이므로 넓이(DKC)는 24의 4/3배인 32이다.

$$\frac{[AKD]}{[DKC]}=\frac{AK}{KC}=\frac{3}{4}\;\Rightarrow\;[DKC]=24\cdot\frac{4}{3}=32$$

💡 높이가 같으면 넓이는 밑변만 따라가므로, 밑변이 길어진 배수만큼 넓이도 커진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 3

나머지 두 삼각형 구하기

이제 BK:KD = 3:4를 이용한다.
삼각형 AKB와 AKD는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변 BK와 KD가 직선 BD 위에 있으므로 넓이의 비가 3:4이고, 넓이(AKB) = 24의 3/4배 = 18이다.
같은 방법으로 삼각형 BKC와 DKC는 꼭짓점 C를 공유하고 밑변이 BK와 KD이므로 넓이(BKC) = 32의 3/4배 = 24이다.

$$[AKB]=24\cdot\frac{3}{4}=18,\qquad [BKC]=32\cdot\frac{3}{4}=24$$

💡 높이가 같다는 같은 규칙이 한 번의 곱셈으로 알고 있는 삼각형을 이웃 삼각형으로 바꿔 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

네 조각 더하기

네 삼각형이 사다리꼴 전체를 덮으므로 넓이를 모두 더한다: AKB는 18, BKC는 24, CKD는 32, DKA는 24이다.
합은 98이므로 사다리꼴 ABCD의 넓이는 98이고, 이는 보기 (D)이다.

$$[ABCD]=[AKB]+[BKC]+[CKD]+[DKA]=18+24+32+24=98$$

💡 도형을 잴 수 있는 삼각형으로 쪼갠 뒤 다시 더하면 전체 넓이가 복원된다.

[1] #7 8.G.A.5 AB가 DC와 평행하므로 위쪽 삼각형 KAB와 아래쪽 삼각형 KCD는 대응하는 각이 모두 같아(평행선에 대한 엇각과 K에서의 맞꼭지각) 닮음이다

[2] #7 7.RP.A.2 삼각형 AKD와 DKC를 보자. 두 삼각형은 꼭짓점 D를 공유하고, 밑변 AK와 KC가 같은 직선 AC 위에 있으므로 D에서 그 직선에 내린 높

[3] #7 5.NF.B.4 이제 BK:KD = 3:4를 이용한다. 삼각형 AKB와 AKD는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변 BK와 KD가 직선 BD 위에 있으므로 넓이의 비가

[4] #7 6.G.A.1 네 삼각형이 사다리꼴 전체를 덮으므로 넓이를 모두 더한다: AKB는 18, BKC는 24, CKD는 32, DKA는 24이다. 합은 98이므로

검토

합리성 확인: 양옆 삼각형 AKD와 BKC가 둘 다 24로 나왔는데, 이는 사다리꼴에서 기대되는 대칭(두 삼각형은 반드시 같아야 함)과 정확히 맞는다. 또 네 조각 18, 24, 32, 24는 닮음과도 들어맞는다: 위:아래 = 18:32 = 9:16 = (3/4)^2로, 변의 비의 제곱이 되어야 하는 성질을 만족한다. 합 98은 가장 작은 보기 92와 가장 큰 100 사이에 있어 크기도 타당하다.

대안 접근: 각이 자유롭게 정해지므로 사다리꼴을 좌표 위에 놓아도 된다: D=(0,0), C=(12,0), A=(0,h), B=(9,h)로 두고 대각선 AC와 BD의 교점을 구한 뒤, 넓이(AKD)=24로 높이 h를 구하고 사다리꼴 넓이 공식 (1/2)(9+12)h를 적용한다. 결과는 마찬가지로 98이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 각에 대한 사실과 삼각형의 닮음에 대한 각-각 판정을 비형식적 논증으로 확립하기 (평행한 밑변이 삼각형 KAB와 KCD를 닮음으로 만들어 K가 각 대각선을 밑변의 비 3:4로 나눔을 보이는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 표현하기 (높이를 공유하는 삼각형의 넓이가 밑변에 비례한다는 사실로 주어진 넓이 24를 배율로 늘리는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수 또는 자연수에 분수를 곱하기 (24에 4/3과 3/4를 곱해 나머지 삼각형 넓이 32, 18, 24를 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형을 삼각형으로 분해하여 넓이 구하기 (네 삼각형의 넓이를 더해 사다리꼴 전체 넓이를 복원하는 데 사용.)

⭐ 대각선은 사다리꼴을 네 삼각형으로 자르고, 평행한 밑변의 비를 쓰면 아는 넓이 하나를 나머지로 키운 다음 더하기만 하면 된다.