AMC 10 · 2008 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
대각선이 사다리꼴을 네 삼각형으로 나누므로, 전체 넓이를 한 번에 구하려 하지 말고 삼각형 하나하나의 넓이를 구해서 더한다. 평행한 두 밑변 덕분에 위·아래 삼각형이 닮음이 되고, 이로부터 K가 각 대각선을 나누는 비가 정해진다. 그 3:4 비를 알면 주어진 넓이 24로부터 나머지 삼각형 넓이가 간단한 배율로 모두 따라 나온다.
대각선이 나뉘는 비 구하기
AB와 DC가 평행하여 삼각형 KAB와 KCD가 닮음이므로 K는 두 대각선을 모두 3:4로 나눈다.
평행한 밑변이 양 끝 삼각형을 같은 모양으로 만들므로, 짧은 밑변 대 긴 밑변의 비가 곧 대응하는 모든 부분의 비이다.
밑변이 평행하면 양 끝의 두 삼각형이 같은 모양이 되므로, 하나의 비가 대응하는 모든 길이를 다스린다.
▸ 왜?
평행한 두 직선을 가로지르는 직선은 양쪽과 같은 각을 이루므로, 두 삼각형의 각이 똑같아진다.
▸ 왜?
각이 똑같은 삼각형은 대응하는 모든 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
삼각형 DKC로 늘리기
AKD와 DKC는 D에서 AC에 내린 높이가 같아 넓이의 비가 AK:KC = 3:4이므로 DKC = 32이다.
높이가 같으면 넓이는 밑변만 따라가므로, 밑변이 길어진 배수만큼 넓이도 커진다.
7.RP.A.2Identify Subproblems나머지 두 삼각형 구하기
같은 방법으로 BK:KD = 3:4를 쓰면 24는 AKB = 18로, 32는 BKC = 24로 줄어든다.
높이가 같다는 같은 규칙이 한 번의 곱셈으로 알고 있는 삼각형을 이웃 삼각형으로 바꿔 준다.
5.NF.B.4Identify Subproblems네 조각 더하기
네 조각이 사다리꼴을 덮으므로 18 + 24 + 32 + 24 = 98이 ABCD의 넓이이고, 보기 (D)이다.
도형을 잴 수 있는 삼각형으로 쪼갠 뒤 다시 더하면 전체 넓이가 복원된다.
6.G.A.1Identify Subproblems대각선은 사다리꼴을 네 삼각형으로 자르고, 평행한 밑변의 비를 쓰면 아는 넓이 하나를 나머지로 키운 다음 더하기만 하면 된다.
- 대각선이 나뉘는 비 구하기
- 삼각형 DKC로 늘리기
- 나머지 두 삼각형 구하기
- 네 조각 더하기
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