AMC 10 · 2008 · #3

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

factorsdivisor-sumsystematic-enumeration systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: factors

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문제

기호 ⟨ n⟩ 은 n의 양의 약수 중에서 n 자신을 뺀 나머지를 모두 더한 값을 뜻한다. 6에서 출발해 이 연산을 세 번 연달아 적용한 결과 ⟨⟨⟨ 6⟩⟩⟩ 을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 24$

(D)

$\ 32$

(E)

$\ 36$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 겹의 괄호는 서로 포개진 세 개의 ⟨ ⟩ 연산이다. 가장 안쪽부터 계산하고 그 결과를 바로 다음 괄호에 넣는다. 각 ⟨ ⟩ 은 그 자체로 작은 과제다. 진약수를 나열한 뒤 더하면 된다.

1STEP 1

6의 약수를 나열하기

괄호 안쪽 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 6 자신을 빼면 진약수 1, 2, 3만 남는다.

6 = 1 × 6 = 2 × 3 → 약수 1,2,3,6; 진약수 1,2,3

2STEP 2

더해서 6의 값 구하기

진약수를 더하면 1 + 2 + 3 = 6이므로 ⟨ 6⟩ = 6이다. 이렇게 자기 자신으로 돌아오는 수를 완전수라고 한다.

⟨ 6⟩ = 1+2+3 = 6

3STEP 3

연산을 한 번 더 적용하기

⟨ 6⟩ 이 6이므로 가운데 괄호는 다시 ⟨ 6⟩ 일 뿐이고, ⟨⟨ 6⟩⟩ = 6으로 값은 그대로다.

⟨⟨ 6⟩⟩ = ⟨ 6⟩ = 6

4STEP 4

연산을 세 번째로 적용하기

가장 바깥 괄호도 똑같으므로 ⟨⟨⟨ 6⟩⟩⟩ = ⟨ 6⟩ = 6이고, 몇 겹을 포개도 답은 보기 (A)다.

⟨⟨⟨ 6⟩⟩⟩ = ⟨ 6⟩ = 6

정답

결과 6은 출발한 수와 같은데, 이는 6이 완전수(1+2+3=6)라는 핵심 사실과 맞아떨어진다. 각 ⟨ ⟩ 이 6을 6으로 보내므로 세 겹 중첩도 반드시 6이 된다. 보기 (A)는 6이고, 더 큰 보기 12, 24, 32, 36은 값이 커져야 나오는데 고정점에서는 그런 일이 생길 수 없다.

💡핵심 정리

6의 진약수를 더하면 다시 6이 되므로, 약수의 합을 몇 번 취하든 항상 6에 도달한다.

6의 약수를 나열하기
더해서 6의 값 구하기
연산을 한 번 더 적용하기
연산을 세 번째로 적용하기

6의 약수를 나열하기

더해서 6의 값 구하기

연산을 한 번 더 적용하기

연산을 세 번째로 적용하기

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