AMC 10 · 2008 · #3

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

factorsdivisor-sumsystematic-enumeration systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

양의 정수 $n$ 에 대하여, $\langle n\rangle$ 을 $n$ 자기 자신을 제외한 $n$ 의 모든 양의 약수의 합이라 하자. 예를 들어 $\langle 4\rangle=1+2=3$ 이고 $\langle 12 \rangle =1+2+3+4+6=16$ 이다. $\langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 24$

(D)

$\ 32$

(E)

$\ 36$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 기호 \langle n\rangle 은 n의 양의 약수 중에서 n 자신을 뺀 나머지를 모두 더한 값을 뜻한다. 6에서 출발해 이 연산을 세 번 연달아 적용한 결과 \langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle 을 구한다.

주어진 것: \langle n\rangle 은 n의 양의 약수 중 n 자신을 제외한 모든 약수의 합이다.; 예: \langle 4\rangle = 1 + 2 = 3.; 예: \langle 12\rangle = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.; 출발하는 수는 6이다.

구하는 것: 연산을 세 번 적용한 값 \langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기

세 겹의 괄호는 서로 포개진 세 개의 \langle\ \rangle 연산이다. 가장 안쪽부터 계산하고 그 결과를 바로 다음 괄호에 넣는다. 각 \langle\ \rangle 은 그 자체로 작은 과제다. 진약수를 나열한 뒤 더하면 된다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

6의 약수를 나열하기

괄호 안쪽 \langle 6\rangle 부터 시작한다.
6을 나누어떨어지게 하는 양의 정수를 모두 찾으면 1, 2, 3, 6이다.
\langle\ \rangle 의 정의는 그 수 자신을 빼므로 6을 버리고 진약수 1, 2, 3만 남긴다.

6 = 1\times 6 = 2\times 3 \Rightarrow \text{약수 } 1,2,3,6;\ \text{진약수 } 1,2,3

💡 모든 약수는 곱해서 6이 되는 짝을 이루므로 3까지만 확인하면 전부 찾은 셈이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.C.6 단계 2

더해서 6의 값 구하기

진약수를 더해 가장 안쪽 연산을 끝낸다.
1 + 2 + 3 = 6이므로 \langle 6\rangle = 6이다.
6은 자기 자신으로 되돌아오며, 이런 수를 완전수라고 한다.

$$\langle 6\rangle = 1+2+3 = 6$$

💡 완전수는 자기 진약수의 합과 같으므로 \langle 6\rangle 은 다시 6으로 돌아온다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

연산을 한 번 더 적용하기

이제 식은 \langle\langle 6\rangle\rangle = \langle\,\langle 6\rangle\,\rangle 이다.
\langle 6\rangle 이 이미 6이므로 이 가운데 괄호는 다시 \langle 6\rangle 일 뿐이고, 그 값은 또 6이다.
값은 변하지 않는다.

$$\langle\langle 6\rangle\rangle = \langle 6\rangle = 6$$

💡 어떤 수가 자기 자신으로 대응되면, 규칙을 반복해도 같은 수가 계속 나온다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

연산을 세 번째로 적용하기

가장 바깥 괄호도 같은 일을 한 번 더 한다.
\langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle = \langle 6\rangle = 6이다.
완전수에는 연산을 몇 번 적용해도 값이 그대로이므로 최종 결과는 6이고, 이는 보기 (A)이다.

$$\langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle = \langle 6\rangle = 6$$

💡 6은 \langle\ \rangle 의 고정점이므로 괄호를 아무리 깊게 포개도 여전히 6이 나온다.

[1] #2 4.OA.B.4 괄호 안쪽 \langle 6\rangle 부터 시작한다. 6을 나누어떨어지게 하는 양의 정수를 모두 찾으면 1, 2, 3, 6이다. \langl

[2] #7 1.OA.C.6 진약수를 더해 가장 안쪽 연산을 끝낸다. 1 + 2 + 3 = 6이므로 \langle 6\rangle = 6이다. 6은 자기 자신으로 되돌아오며

[3] #5 4.OA.C.5 이제 식은 \langle\langle 6\rangle\rangle = \langle\,\langle 6\rangle\,\rangle 이다. \l

[4] #5 4.OA.C.5 가장 바깥 괄호도 같은 일을 한 번 더 한다. \langle\langle\langle 6\rangle\rangle\rangle = \langle

검토

합리성 확인: 결과 6은 출발한 수와 같은데, 이는 6이 완전수(1+2+3=6)라는 핵심 사실과 맞아떨어진다. 각 \langle\ \rangle 이 6을 6으로 보내므로 세 겹 중첩도 반드시 6이 된다. 보기 (A)는 6이고, 더 큰 보기 12, 24, 32, 36은 값이 커져야 나오는데 고정점에서는 그런 일이 생길 수 없다.

대안 접근: 완전수라는 지름길을 알아채지 못했다면 세 괄호를 기계적으로 계산해도 된다. \langle 6\rangle = 1+2+3 = 6, 다시 \langle 6\rangle = 6, 세 번째로 \langle 6\rangle = 6. 하나하나 계산하는 방법도 똑같이 6에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하며 소수인지 합성수인지 판별하기 (6의 모든 양의 약수를 나열해 진약수를 찾기)
1.OA.C.6 20 이내에서 여러 전략으로 덧셈과 뺄셈하기 (진약수 1 + 2 + 3을 더해 \langle 6\rangle 을 계산하기)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수나 도형의 패턴 만들기 (\langle 6\rangle = 6이 반복됨을 알아채어 이후 괄호가 값을 바꾸지 않음을 확인하기)

⭐ 6의 진약수를 더하면 다시 6이 되므로, 약수의 합을 몇 번 취하든 항상 6에 도달한다.