AMC 10 · 2008 · #4
학년 6 rate-ratio바나나 10개의 32가 오렌지 8개와 같은 가치를 지닌다고 하자. 바나나 5개의 21와 같은 가치를 지니는 오렌지는 몇 개인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 바나나와 오렌지는 각각 정해진 값어치를 가진다. 바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$이 오렌지 $8$개와 같은 값어치라고 한다. 이 교환 비율을 이용해, 바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$과 같은 값어치가 되는 오렌지가 몇 개인지 구한다.
주어진 것: 바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$은 오렌지 $8$개와 같은 값어치이다; 모든 바나나의 값어치는 서로 같고, 모든 오렌지의 값어치도 서로 같다; 선택지: (A) $2$, (B) $\frac{5}{2}$, (C) $3$, (D) $\frac{7}{2}$, (E) $4$
구하는 것: 바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$과 같은 값어치가 되는 오렌지의 개수
이해
문제 재정리: 바나나와 오렌지는 각각 정해진 값어치를 가진다. 바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$이 오렌지 $8$개와 같은 값어치라고 한다. 이 교환 비율을 이용해, 바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$과 같은 값어치가 되는 오렌지가 몇 개인지 구한다.
주어진 것: 바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$은 오렌지 $8$개와 같은 값어치이다; 모든 바나나의 값어치는 서로 같고, 모든 오렌지의 값어치도 서로 같다; 선택지: (A) $2$, (B) $\frac{5}{2}$, (C) $3$, (D) $\frac{7}{2}$, (E) $4$
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기
이 문제 전체는 결국 하나의 교환 비율, 즉 바나나 한 개당 오렌지 몇 개인가로 요약된다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 바로 그 비율에 집중하라고 말한다. 바나나 한 개의 값어치를 오렌지로 알아내면, 바나나에 관한 모든 질문이 곱셈 한 번으로 바뀐다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 복잡한 "바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$"을 먼저 바나나 한 개의 값어치로 줄이는 이유이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 바나나 한 개를 $b$개의 오렌지로 두어 균형식을 정확히 세우는 뒷받침이 된다.
실행 — 정답: C
5.NF.B.4 단계 1 주어진 바나나 양을 간단히 하기
- 먼저 말로 된 표현을 바나나 개수로 바꾼다.
- "바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$"은 $\tfrac{2}{3}\times 10=\tfrac{20}{3}$개를 뜻한다.
- 그러므로 주어진 사실은 간단히, 바나나 $\tfrac{20}{3}$개가 오렌지 $8$개와 같은 값어치라는 것이다.
💡 "$10$의 $\tfrac{2}{3}$"은 그냥 곱셈이므로, 그 표현을 하나의 수로 바꿔 놓는다.
6.RP.A.2 단계 2 바나나 한 개의 값어치를 오렌지로 구하기
- 바나나 $\tfrac{20}{3}$개가 오렌지 $8$개와 같다면, 바나나 한 개의 값어치는 그 $8$개를 $\tfrac{20}{3}$개의 바나나에 고르게 나눈 것이다: $8\div\tfrac{20}{3}=8\times\tfrac{3}{20}=\tfrac{24}{20}=\tfrac{6}{5}$.
- 즉 바나나 한 개는 오렌지 $\tfrac{6}{5}$개의 값어치이다.
- 이 하나의 비율이 문제 전체를 이끈다.
💡 전체 오렌지 값어치를 바나나 개수만큼 고르게 나누면 바나나 한 개의 값어치가 보인다.
5.NF.B.4 단계 3 구하려는 바나나 양을 간단히 하기
- 이제 문제가 묻는 쪽을 처리한다.
- "바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$"은 $\tfrac{1}{2}\times 5=\tfrac{5}{2}$개를 뜻한다.
- 그러므로 바나나 $\tfrac{5}{2}$개의 오렌지 값어치를 구하면 된다.
💡 앞에서 한 것과 같은 방법으로, 표현을 깔끔한 바나나 개수 하나로 바꾼다.
6.RP.A.3 단계 4 비율로 곱해 답 구하기
- 바나나 한 개는 오렌지 $\tfrac{6}{5}$개의 값어치이므로, 바나나 $\tfrac{5}{2}$개는 $\tfrac{5}{2}\times\tfrac{6}{5}$개의 오렌지 값어치이다.
- $5$끼리 약분되어 $\tfrac{6}{2}=3$이 남는다.
- 그러므로 바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$은 오렌지 $3$개의 값어치이고, 이는 선택지 (C)이다.
💡 바나나 한 개당 오렌지 개수를 알면, 어떤 바나나 개수든 곱셈 한 번으로 오렌지로 바뀐다.
5.NF.B.4 먼저 말로 된 표현을 바나나 개수로 바꾼다. "바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$"은 $\tfrac{2}{3}\times 10=\tf 6.RP.A.2 바나나 $\tfrac{20}{3}$개가 오렌지 $8$개와 같다면, 바나나 한 개의 값어치는 그 $8$개를 $\tfrac{20}{3}$개의 바나나 5.NF.B.4 이제 문제가 묻는 쪽을 처리한다. "바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$"은 $\tfrac{1}{2}\times 5=\tfrac{5}{2 6.RP.A.3 바나나 한 개는 오렌지 $\tfrac{6}{5}$개의 값어치이므로, 바나나 $\tfrac{5}{2}$개는 $\tfrac{5}{2}\times\t 검토
합리성 확인: 분수 실수를 피하기 위해 자연수 배율로 확인해 본다. 주어진 사실은 바나나 $\tfrac{20}{3}$개 $=$ 오렌지 $8$개이므로, 양변에 $3$을 곱하면 바나나 $20$개 $=$ 오렌지 $24$개, 따라서 바나나 $5$개 $=$ 오렌지 $6$개이다. 그 절반인 바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$은 오렌지 $3$개이고 (C)와 일치한다. 값 $3$은 선택지 $2$부터 $4$ 사이의 한가운데에 자연스럽게 놓이며, $\tfrac{5}{2}$ 같은 더 작은 값을 고르는 것은 대개 $\tfrac{2}{3}$으로 나누는 것을 빠뜨린 경우이다.
대안 접근: 변수를 도입해 보자. 바나나 한 개를 오렌지 $b$개의 값어치로 두면, 주어진 사실은 $\tfrac{20}{3}b=8$이므로 $b=\tfrac{6}{5}$이다. 구하는 값은 $\tfrac{5}{2}b=\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{6}{5}=3$이 되어, 균형식에서 곧바로 (C)가 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.B.4분수에 자연수 또는 분수를 곱하기 ("바나나 $10$개의 $\tfrac{2}{3}$"을 $\tfrac{20}{3}$으로, "바나나 $5$개의 $\tfrac{1}{2}$"을 $\tfrac{5}{2}$로 바꾸는 데 사용.)6.RP.A.2단위비율의 개념을 이해하고 비율 언어 사용하기 (문제 전체를 이끄는 단위비율로서, 바나나 한 개의 값어치인 오렌지 $\tfrac{6}{5}$개를 구하는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 (바나나당 오렌지 비율을 바나나 $\tfrac{5}{2}$개로 확대해 오렌지 $3$개를 얻는 데 사용.)
⭐ 먼저 바나나 한 개가 오렌지로 얼마인지 알아내면, 그 뒤로는 어떤 바나나 더미든 곱셈 한 번으로 오렌지가 된다.
⭐ 먼저 바나나 한 개가 오렌지로 얼마인지 알아내면, 그 뒤로는 어떤 바나나 더미든 곱셈 한 번으로 오렌지가 된다.
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