AMC 10 · 2008 · #6

학년 7 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

rateratio-proportionunit-conversion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 경기는 길이가 모두 같은 세 구간, 즉 수영, 자전거, 달리기로 이루어져 있다. 선수는 수영을 시속 3 km, 자전거를 시속 20 km, 달리기를 시속 10 km로 이동한다. 보기 중 경기 전체의 평균 속력에 가장 가까운 값은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 5$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 7$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

구간 길이가 주어지지 않았으므로 변수로 이름을 붙인다. 각 구간의 길이가 같기 때문에 그 길이는 전체 거리에도, 전체 시간에도 나타나서 결국 약분되어 사라진다. 거리 = 속력 x 시간이라는 단위 관계로 각 속력을 이동 시간으로 바꾸면, 경기 전체가 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값이 된다.

1STEP 1

구간 길이에 이름 붙이기

한 구간의 길이를 $d$ km라 하면 세 구간이 각각 $d$ 이므로 전체 거리는 $3d$ km이다.

total distance = d + d + d = 3d

2STEP 2

각 속력을 시간으로 바꾸기

시간은 거리를 속력으로 나눈 값이므로 각 구간은 $\frac{d}{3}$ , $\frac{d}{20}$ , $\frac{d}{10}$ 시간이 걸린다.

t_swim = d/3, t_bike = d/20, t_run = d/10

3STEP 3

세 시간을 더하기

공통분모 60으로 맞춰 더하면 전체 시간은 $\frac{29d}{60}$ 시간이다.

d/3 + d/20 + d/10 = (20d + 3d + 6d)/60 = 29d/60

4STEP 4

거리를 시간으로 나누기

$3d$ 를 $\frac{29d}{60}$ 으로 나누면 역수를 곱하는 셈이라 $d$ 가 약분되어 $\frac{180}{29}$ km/h가 남는다.

avg speed = 3d/29d/60 = 3d · 60/29d = 180/29

5STEP 5

가장 가까운 보기로 반올림하기

$\frac{180}{29} \approx <span class="hl-ask">6</span>.21$ 이므로 보기 3, 4, 5, 6, 7 중 가장 가까운 값은 6, 즉 (D)이다.

180/29 ≈ 6.21 → 6

정답

평균 속력 180/29 ≈ 6.21은 가장 느린 속력(3)과 가장 빠른 속력(20) 사이에 있으며, 어떤 평균이든 반드시 그래야 한다. 또한 20보다 느린 쪽에 훨씬 가까운데, 이는 수영이 매우 느려서 시간을 지배하며 평균을 낮은 쪽으로 끌어내린다는 직관과 맞는다. 보기 중 가장 가까운 값은 6이므로 (D)가 확인된다.

💡핵심 정리

평균 속력은 속력들의 평균이 아니라 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값이라서, 느린 수영이 경기 전체를 시속 6 km 쪽으로 끌어내린다.

구간 길이에 이름 붙이기
각 속력을 시간으로 바꾸기
세 시간을 더하기
거리를 시간으로 나누기
가장 가까운 보기로 반올림하기

구간 길이에 이름 붙이기

각 속력을 시간으로 바꾸기

세 시간을 더하기

거리를 시간으로 나누기

가장 가까운 보기로 반올림하기

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