AMC 10 · 2008 · #6

학년 7 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

rateratio-proportionunit-conversion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 철인 3종 경기 선수가 수영, 자전거, 달리기 구간의 길이가 모두 같은 대회에 참가한다. 이 선수는 수영을 시속 3킬로미터로, 자전거를 시속 20킬로미터로, 달리기를 시속 10킬로미터로 한다. 경기 전체에 대한 이 선수의 평균 속력(시속 킬로미터)에 가장 가까운 값은 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 5$

(D)

$\ 6$

(E)

$\ 7$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 경기는 길이가 모두 같은 세 구간, 즉 수영, 자전거, 달리기로 이루어져 있다. 선수는 수영을 시속 3 km, 자전거를 시속 20 km, 달리기를 시속 10 km로 이동한다. 경기 전체의 평균 속력에 가장 가까운 보기를 고르는 문제다.

주어진 것: 수영, 자전거, 달리기 구간의 길이는 모두 같다.; 수영 속력은 시속 3 km이다.; 자전거 속력은 시속 20 km이다.; 달리기 속력은 시속 10 km이다.

구하는 것: 경기 전체의 평균 속력(시속 km).

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

구간 길이가 주어지지 않았으므로 변수로 이름을 붙인다. 각 구간의 길이가 같기 때문에 그 길이는 전체 거리에도, 전체 시간에도 나타나서 결국 약분되어 사라진다. 거리 = 속력 x 시간이라는 단위 관계로 각 속력을 이동 시간으로 바꾸면, 경기 전체가 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값이 된다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.RP.A.2 단계 1

구간 길이에 이름 붙이기

한 구간의 길이를 $d$ km라 하자.
그러면 수영, 자전거, 달리기가 각각 $d$ km를 이동하므로 전체 거리는 $3d$ km이다.
$d$의 정확한 값은 나중에 약분되어 사라지므로 중요하지 않다.

$$\text{total distance} = d + d + d = 3d$$

💡 모르는 길이에 이름을 붙여 두면 끝까지 끌고 가다가 약분되는 것을 볼 수 있다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.A.1 단계 2

각 속력을 시간으로 바꾸기

속력은 거리를 시간으로 나눈 값이므로, 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이다.
길이 $d$인 구간에서 수영은 $d/3$ 시간, 자전거는 $d/20$ 시간, 달리기는 $d/10$ 시간이 걸린다.

$$t_{\text{swim}} = \frac{d}{3}, \quad t_{\text{bike}} = \frac{d}{20}, \quad t_{\text{run}} = \frac{d}{10}$$

💡 느린 구간일수록 시간을 많이 잡아먹으므로, 시간에서는 수영이 크게 작용한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

세 시간을 더하기

전체 시간은 세 구간 시간의 합이다.
공통분모 $60$을 쓰면 $\frac{d}{3} = \frac{20d}{60}$, $\frac{d}{20} = \frac{3d}{60}$, $\frac{d}{10} = \frac{6d}{60}$이다.
더하면 $\frac{29d}{60}$ 시간이 된다.

$$\frac{d}{3} + \frac{d}{20} + \frac{d}{10} = \frac{20d + 3d + 6d}{60} = \frac{29d}{60}$$

💡 전체 시간을 세 조각으로 나눈 뒤 공통분모를 쓰면 깔끔하게 더해진다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.1 단계 4

거리를 시간으로 나누기

평균 속력은 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값, 즉 $3d$를 $\frac{29d}{60}$으로 나눈 값이다.
분수로 나누는 것은 역수를 곱하는 것이고, 이때 $d$가 약분되어 $\frac{180}{29}$ km/h가 남는다.

$$\text{avg speed} = \frac{3d}{\frac{29d}{60}} = 3d \cdot \frac{60}{29d} = \frac{180}{29}$$

💡 길이가 어디서나 같기 때문에 약분되어 사라지고, 답은 애초에 길이에 달려 있지 않았다.

#3 가능성 지우기 6.NS.A.1 단계 5

가장 가까운 보기로 반올림하기

$\frac{180}{29} \approx 6.21$ km/h를 계산한다.
보기 $3, 4, 5, 6, 7$ 중에서 가장 가까운 값은 $6$이므로 답은 (D)이다.

$$\frac{180}{29} \approx 6.21 \;\Rightarrow\; 6$$

💡 정확한 분수를 구했으면 보기 중 그것에 가장 가까운 수를 고른다.

[1] #4 6.RP.A.2 한 구간의 길이를 $d$ km라 하자. 그러면 수영, 자전거, 달리기가 각각 $d$ km를 이동하므로 전체 거리는 $3d$ km이다. $d$의

[2] #8 6.NS.A.1 속력은 거리를 시간으로 나눈 값이므로, 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이다. 길이 $d$인 구간에서 수영은 $d/3$ 시간, 자전거는 $d/20

[3] #7 5.NF.A.1 전체 시간은 세 구간 시간의 합이다. 공통분모 $60$을 쓰면 $\frac{d}{3} = \frac{20d}{60}$, $\frac{d}{20}

[4] #4 7.RP.A.1 평균 속력은 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값, 즉 $3d$를 $\frac{29d}{60}$으로 나눈 값이다. 분수로 나누는 것은 역수를 곱하

[5] #3 6.NS.A.1 $\frac{180}{29} \approx 6.21$ km/h를 계산한다. 보기 $3, 4, 5, 6, 7$ 중에서 가장 가까운 값은 $6$이므

검토

합리성 확인: 평균 속력 $\frac{180}{29} \approx 6.21$은 가장 느린 속력(3)과 가장 빠른 속력(20) 사이에 있으며, 어떤 평균이든 반드시 그래야 한다. 또한 20보다 느린 쪽에 훨씬 가까운데, 이는 수영이 매우 느려서 시간을 지배하며 평균을 낮은 쪽으로 끌어내린다는 직관과 맞는다. 보기 중 가장 가까운 값은 6이므로 (D)가 확인된다.

대안 접근: 세 구간의 길이가 같으므로 평균 속력은 세 속력의 조화평균과 같다: $\frac{3}{\frac{1}{3} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10}} = \frac{3}{\frac{29}{60}} = \frac{180}{29} \approx 6.21$. $d$를 직접 도입하지 않고도 같은 답을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.2 Understand the concept of a unit rate and use rate language (각 속력을 시속 km로 읽고 평균 속력을 하나의 비율로 다루기.)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems (거리를 속력으로 나누어 각 이동 시간을 구하고 180/29를 계산하기.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (공통분모 60을 써서 세 구간 시간을 더하기.)
7.RP.A.1 Compute unit rates associated with ratios of fractions (전체 거리 3d를 복잡한 분수 29d/60으로 나누어 평균 속력 구하기.)

⭐ 평균 속력은 속력들의 평균이 아니라 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 값이라서, 느린 수영이 경기 전체를 시속 6 km 쪽으로 끌어내린다.