AMC 10 · 2008 · #7

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsdifference-of-squaresfraction-arithmetic convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 분수

$\frac{\left(3^{2008}\right)^2-\left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2-\left(3^{2005}\right)^2}$
를 간단히 하면 다음 중 무엇이 되는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ \frac{9}{4}$

(C)

$\ 3$

(D)

$\ \frac{9}{2}$

(E)

$\ 9$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 분수의 분자와 분모가 모두 두 제곱수의 차이고, 그 항들은 전부 3의 거듭제곱으로 이루어져 있다. 이 분수를 하나의 값으로 간단히 하라.

주어진 것: 분자: $\left(3^{2008}\right)^2-\left(3^{2006}\right)^2$; 분모: $\left(3^{2007}\right)^2-\left(3^{2005}\right)^2$; 모든 항이 3의 거듭제곱이며, 답은 다섯 선택지 중 하나여야 한다.

구하는 것: 분수 전체를 간단히 한 하나의 값.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

지수 (2008, 2007, ...)는 겁을 주려고 있을 뿐이다. 네 거듭제곱이 서로 가까이 붙어 있으니, 가장 작은 것에 $a = 3^{2005}$ 라는 이름을 붙이고 나머지 거듭제곱을 모두 $a$의 작은 배수로 다시 쓴다. 그러면 거대한 식이 손으로 나눌 수 있는 두 자리 수 분수로 무너진다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

가장 작은 거듭제곱에 이름 붙이기

네 거듭제곱 중 가장 작은 것을 $a = 3^{2005}$ 로 놓자.
분수의 모든 항이 3의 거듭제곱이므로, 각 항을 거대한 지수 대신 이 하나의 덩어리로 나타낼 수 있다.

$$a = 3^{2005}$$

💡 무서운 부분에 이름 하나를 붙이면 네 개의 괴물 거듭제곱이 다루기 쉬운 문자 하나가 된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 2

각 거듭제곱 다시 쓰기

같은 밑의 거듭제곱은 지수를 더하므로 $3^{2006}=3^1\cdot a=3a$, $3^{2007}=3^2\cdot a=9a$, $3^{2008}=3^3\cdot a=27a$ 이다.
이제 각각 제곱한다: $\left(3^{2008}\right)^2=(27a)^2=729a^2$, $\left(3^{2006}\right)^2=(3a)^2=9a^2$, $\left(3^{2007}\right)^2=(9a)^2=81a^2$, $\left(3^{2005}\right)^2=a^2$.

$$\left(3^{2008}\right)^2=729a^2,\quad \left(3^{2006}\right)^2=9a^2,\quad \left(3^{2007}\right)^2=81a^2,\quad \left(3^{2005}\right)^2=a^2$$

💡 지수를 더하는 법칙 덕분에 거듭제곱을 작은 인수와 공통 덩어리의 곱으로 쪼갤 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 3

분자와 분모 정리하기

분자와 분모를 따로 다룬다.
분자: $729a^2-9a^2=720a^2$.
분모: $81a^2-a^2=80a^2$.
이제 각각 하나의 항에 $a^2$을 곱한 꼴이다.

$$\frac{729a^2-9a^2}{81a^2-a^2}=\frac{720a^2}{80a^2}$$

💡 같은 $a^2$을 가진 동류항은 보통 수처럼 빼면 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 4

약분하고 나누기

$a^2$ 인수가 분자와 분모에 모두 있으므로 약분되어 $\frac{720}{80}=9$ 만 남는다.
따라서 분수는 9로 간단해지고, 이는 답 (E)이다.

$$\frac{720a^2}{80a^2}=\frac{720}{80}=9$$

💡 분자와 분모의 같은 인수는 약분되어 사라지고, 작은 몫만 남는다.

[1] #4 6.EE.B.6 네 거듭제곱 중 가장 작은 것을 $a = 3^{2005}$ 로 놓자. 분수의 모든 항이 3의 거듭제곱이므로, 각 항을 거대한 지수 대신 이 하나

[2] #4 8.EE.A.1 같은 밑의 거듭제곱은 지수를 더하므로 $3^{2006}=3^1\cdot a=3a$, $3^{2007}=3^2\cdot a=9a$, $3^{200

[3] #7 6.EE.A.3 분자와 분모를 따로 다룬다. 분자: $729a^2-9a^2=720a^2$. 분모: $81a^2-a^2=80a^2$. 이제 각각 하나의 항에 $a

[4] #4 6.EE.A.3 $a^2$ 인수가 분자와 분모에 모두 있으므로 약분되어 $\frac{720}{80}=9$ 만 남는다. 따라서 분수는 9로 간단해지고, 이는 답

검토

합리성 확인: 분자의 거듭제곱은 분모의 대응하는 거듭제곱보다 지수가 각각 2씩 크므로, 분수 전체는 $3^2=9$ 배만큼 커져야 한다. 깔끔한 결과 9는 정확히 선택지 (E)에 해당하고, 9가 실제 선택지에 있으므로 빠뜨린 것이 없다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 공통 거듭제곱을 바로 인수분해할 수도 있다. $\left(3^{n}\right)^2=3^{2n}$ 를 쓰면 분자는 $3^{4016}-3^{4012}=3^{4012}(3^4-1)$, 분모는 $3^{4014}-3^{4010}=3^{4010}(3^4-1)$ 이다. $(3^4-1)=80$ 인수가 약분되어 $\frac{3^{4012}}{3^{4010}}=3^2=9$ 가 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (가장 작은 거듭제곱을 $a=3^{2005}$ 로 이름 붙여 거대한 지수를 문자 하나로 바꾸는 데 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents (각 거듭제곱을 작은 인수와 $a$의 곱으로 쪼개고 지수 법칙으로 제곱하는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (같은 $a^2$ 동류항을 빼고 공통 $a^2$ 인수를 약분해 720/80에 이르는 데 사용.)

⭐ 지수가 엄청나게 커 보일 때는 가장 작은 거듭제곱에 별명을 붙여라. 그러면 괴물 같은 수들이 머릿속으로 나눌 수 있는 분수로 줄어든다.