AMC 10 · 2008 · #7
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
지수 (2008, 2007, ...)는 겁을 주려고 있을 뿐이다. 네 거듭제곱이 서로 가까이 붙어 있으니, 가장 작은 것에 a = 3²⁰⁰⁵ 라는 이름을 붙이고 나머지 거듭제곱을 모두 a의 작은 배수로 다시 쓴다. 그러면 거대한 식이 손으로 나눌 수 있는 두 자리 수 분수로 무너진다.
가장 작은 거듭제곱에 이름 붙이기
네 거듭제곱 중 가장 작은 것을 a = 3²⁰⁰⁵으로 놓으면 모든 항이 이 덩어리의 작은 배수가 된다.
무서운 부분에 이름 하나를 붙이면 네 개의 괴물 거듭제곱이 다루기 쉬운 문자 하나가 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable각 거듭제곱 다시 쓰기
밑이 같으니 3²⁰⁰⁶=3a, 3²⁰⁰⁷=9a, 3²⁰⁰⁸=27a이고, 제곱하면 729a², 9a², 81a², a²이다.
지수를 더하는 법칙 덕분에 거듭제곱을 작은 인수와 공통 덩어리의 곱으로 쪼갤 수 있다.
지수를 더하면 각 거듭제곱이 작은 인수와 공통된 덩어리의 곱으로 갈린다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 지수가 크다는 것은 그 덩어리를 몇 번 더 썼다는 뜻이다.
▸ 왜?
그 공통된 덩어리는 이제 합 전체에서 한꺼번에 밖으로 끌어낼 수 있다.
분자와 분모 정리하기
동류항끼리 따로 빼면 분자는 720a², 분모는 80a²이 된다.
같은 a²을 가진 동류항은 보통 수처럼 빼면 된다.
6.EE.A.3Identify Subproblems약분하고 나누기
분자와 분모의 a²이 약분되고 720을 80으로 나누면 9, 즉 (E)이다.
분자와 분모의 같은 인수는 약분되어 사라지고, 작은 몫만 남는다.
6.EE.A.3Introduce A Variable지수가 엄청나게 커 보일 때는 가장 작은 거듭제곱에 별명을 붙여라. 그러면 괴물 같은 수들이 머릿속으로 나눌 수 있는 분수로 줄어든다.
- 가장 작은 거듭제곱에 이름 붙이기
- 각 거듭제곱 다시 쓰기
- 분자와 분모 정리하기
- 약분하고 나누기