AMC 10 · 2008 · #8

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

헤더는 서로 다른 두 상점에서 새 컴퓨터의 가격을 비교한다. 상점 $A$ 는 정가에서 $15\%$ 를 할인해 준 뒤 $90$의 환급을 제공하고, 상점 $B$는 같은 정가에서 환급 없이 $25\%$를 할인해 준다. 헤더는 상점 $B$ 대신 상점 $A$에서 컴퓨터를 사면$ 15$를 절약한다. 이 컴퓨터의 정가는 몇 달러인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 750$

(B)

$\ 900$

(C)

$\ 1000$

(D)

$\ 1050$

(E)

$\ 1500$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 컴퓨터에는 정가가 하나 있습니다. $A$ 매장은 정가에서 $15\%$ 를 깎은 뒤 $\$90$ 를 환급해 줍니다. $B$ 매장은 환급 없이 $25\%$ 를 깎아 줍니다. $A$ 매장에서 사면 $B$ 매장에서 사는 것보다 $\$15$ 더 쌉니다. 정가를 구하세요.

주어진 것: $A$ 매장 가격: 정가에서 $15\%$ 를 뺀 뒤 $\$90$ 환급; $B$ 매장 가격: 정가에서 $25\%$ 를 뺌; $A$ 매장이 $B$ 매장보다 $\$15$ 더 저렴함; 보기: (A) $750$, (B) $900$, (C) $1000$, (D) $1050$, (E) $1500$

구하는 것: 컴퓨터의 정가 (달러)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #8 단위 살펴보기

모르는 값은 정가 하나뿐이므로, 자연스러운 첫 수는 도구 #4입니다 — 그것을 $S$ 라 두고 두 매장 가격을 모두 $S$ 로 나타냅니다. "$15\%$ 할인"은 여전히 $85\%$ 를 낸다는 뜻이라 $A$ 매장은 $0.85S - 90$, "$25\%$ 할인"은 $75\%$ 를 낸다는 뜻이라 $B$ 매장은 $0.75S$ 입니다. 그다음 도구 #13 으로 "$A$ 매장이 $\$15$ 를 아낀다"는 문장을 하나의 식으로 바꾸고, 도구 #8 로 모든 항을 달러 단위로 유지해 정액 $\$90$ 환급과 퍼센트 할인을 안전하게 더하고 뺍니다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

정가에 이름 붙이기

정가를 달러 단위로 $S$ 라 둡니다.
나머지 모든 값은 $S$ 로부터 만들어집니다.

$$S = \text{정가 (달러)}$$

💡 우리가 구하려는 바로 그것이 미지수이니, 문자를 붙이고 나머지 문제가 그것을 설명하게 둡니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

퍼센트를 가격으로 바꾸기

$15\%$ 를 깎는다는 것은 나머지 $85\%$ 를 낸다는 뜻이라 $A$ 매장의 할인가는 $0.85S$ 이고, 여기서 $\$90$ 환급을 뺍니다. $25\%$ 를 깎으면 $75\%$ 를 내므로 $B$ 매장 가격은 $0.75S$ 입니다.

$\text{$A$ 매장} = 0.85S - 90, \qquad \text{$B$ 매장} = 0.75S$

💡 "몇 퍼센트 할인"은 "몇 퍼센트를 낸다"로 바꾸면 쉬워요: $100\% - 15\% = 85\%$, 그래서 $0.15$ 가 아니라 $0.85$ 를 곱합니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

절약 식 세우기

$A$ 매장을 골라 $\$15$ 를 아낀다는 것은 $B$ 매장이 $A$ 매장보다 $\$15$ 더 비싸다는 뜻입니다.
두 가격의 차를 $15$ 와 같다고 놓습니다.

$\text{$B$ 매장} - \text{$A$ 매장} = 15 \;\Rightarrow\; 0.75S - (0.85S - 90) = 15$

💡 "더 싼 매장에서 $\$15$ 를 아낀다"는 곧: 비싼 가격 빼기 싼 가격이 $15$.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

정가 구하기

괄호를 풀고(빼기가 두 항의 부호를 뒤집습니다), $S$ 항끼리 모으고, $S$ 를 남깁니다.
답은 $\$750$, 즉 보기 (A) 입니다.

$$0.75S - 0.85S + 90 = 15 \;\Rightarrow\; -0.10S + 90 = 15 \;\Rightarrow\; -0.10S = -75 \;\Rightarrow\; S = 750 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 가격을 나란히 놓으면 퍼센트 부분이 하나의 $-0.10S$ 로 합쳐지고, $\$90$ 이 식을 마무리로 이끕니다.

[1] #4 6.EE.B.6 정가를 달러 단위로 $S$ 라 둡니다. 나머지 모든 값은 $S$ 로부터 만들어집니다.

[2] #8 6.RP.A.3 $15\%$ 를 깎는다는 것은 나머지 $85\%$ 를 낸다는 뜻이라 $A$ 매장의 할인가는 $0.85S$ 이고, 여기서 $\$90$ 환급을 뺍니

[3] #13 7.EE.B.4 $A$ 매장을 골라 $\$15$ 를 아낀다는 것은 $B$ 매장이 $A$ 매장보다 $\$15$ 더 비싸다는 뜻입니다. 두 가격의 차를 $15$ 와

[4] #4 7.EE.B.4 괄호를 풀고(빼기가 두 항의 부호를 뒤집습니다), $S$ 항끼리 모으고, $S$ 를 남깁니다. 답은 $\$750$, 즉 보기 (A) 입니다.

검토

합리성 확인: $S = 750$ 을 다시 넣어 봅니다. $A$ 매장: $0.85 \cdot 750 - 90 = 637.50 - 90 = 547.50$. $B$ 매장: $0.75 \cdot 750 = 562.50$. 차는 $562.50 - 547.50 = 15$ 로 약속된 절약액과 정확히 같고, $A$ 매장이 실제로 더 쌉니다. 따라서 $\textbf{(A)}\ 750$ 이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)로 보기를 대입해 볼 수도 있어요. 두 할인은 $S$ 의 $10\%$ 만큼 차이 나고, $A$ 매장의 추가 $\$90$ 환급이 정확히 $\$15$ 만큼 더 싸게 만들어야 하므로 $S$ 의 $10\%$ 는 $\$90 - \$15 = \$75$ 여야 합니다. 그러면 곧바로 $S = 750$ 이 나오고, $S$ 의 $10\%$ 가 $75$ 인 보기는 이것뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 쓰기 (미지의 정가를 $S$ 로 두어 두 매장 가격을 모두 $S$ 로 표현하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 ("$15\%$ 할인"과 "$25\%$ 할인"을 내는 금액 $0.85S$ 와 $0.75S$ 로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식 세우기 ("$\$15$ 를 아낀다"는 단서로 $0.75S - (0.85S - 90) = 15$ 를 세우고 $S = 750$ 으로 푸는 데 사용.)

⭐ "몇 퍼센트 할인"을 "몇 퍼센트를 낸다"로 바꾸고, 모르는 가격에 이름을 붙이면, 절약 단서에서 나오는 깔끔한 식 하나가 정가를 알려줍니다.