AMC 10 · 2008 · #9
학년 7 algebra이차방정식 ax2−2ax+b=0이 두 개의 실근을 가진다. 이 두 근의 평균은 얼마인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이차방정식 $ax^2 - 2ax + b = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가진다. 이 두 해의 평균을 계수 $a$, $b$ 로 나타내어 구하라.
주어진 것: 방정식 $ax^2 - 2ax + b = 0$ 은 이차식이므로 최고차항 계수 $a$ 는 $0$ 이 아니다; 두 실근을 가지므로 두 해의 평균을 생각할 수 있다; $x$ 의 계수는 정확히 $-2a$ 이고 상수항은 $b$ 이다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $\frac{b}{a}$, (D) $\frac{2b}{a}$, (E) $\sqrt{2b-a}$
구하는 것: 두 해 $r$, $s$ 의 평균 $\frac{r+s}{2}$
이해
문제 재정리: 이차방정식 $ax^2 - 2ax + b = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가진다. 이 두 해의 평균을 계수 $a$, $b$ 로 나타내어 구하라.
주어진 것: 방정식 $ax^2 - 2ax + b = 0$ 은 이차식이므로 최고차항 계수 $a$ 는 $0$ 이 아니다; 두 실근을 가지므로 두 해의 평균을 생각할 수 있다; $x$ 의 계수는 정확히 $-2a$ 이고 상수항은 $b$ 이다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $\frac{b}{a}$, (D) $\frac{2b}{a}$, (E) $\sqrt{2b-a}$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
두 근이 무엇인지는 주어지지 않았고, 근의 공식으로 지저분한 $\sqrt{\cdot}$ 까지 실제로 풀어내는 것은 문제가 요구하는 것보다 훨씬 많은 일이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 군더더기를 없앤다. 방정식 전체를 $a$ 로 나누어 최고차항 계수를 $1$ 로 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심 수다. 두 미지의 해를 $r$, $s$ 라 이름 붙이고 방정식을 $(x-r)(x-s)=0$ 으로 쓴다. 이 곱을 전개하면 $x$ 의 계수가 정확히 $-(r+s)$ 임이 보이고, 근을 실제로 구하지 않고도 근의 합이 정해진다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 $a$ 나 $b$ 에 여전히 의존하는 선택지를 지운다. 평균이 그냥 상수로 나오기 때문이다.
실행 — 정답: A
6.EE.A.3 단계 1 최고차항 계수로 나누기
- 이차식이므로 $a \neq 0$ 이고, 따라서 모든 항을 $a$ 로 나눌 수 있다.
- 방정식을 $0$ 이 아닌 수로 나누어도 해는 절대 바뀌지 않으므로 근은 그대로다.
- 방정식이 최고차항 계수 $1$ 인 꼴이 되어 계수를 읽기 쉬워진다.
💡 방정식의 모든 항을 같은 $0$ 아닌 수로 나누어도 해는 그대로 남는다.
6.EE.A.3 단계 2 근에 이름 붙이고 전개하기
- 두 해를 $r$, $s$ 라 하자.
- 그 근을 갖는 최고차항 계수 $1$ 의 이차식은 인수분해된 꼴 $(x-r)(x-s)=0$ 으로 쓸 수 있다.
- 분배법칙으로 전개해서 $x^2 - 2x + \frac{b}{a}$ 와 비교하자.
- 전개하면 $x$ 의 계수가 $-(r+s)$, 상수가 $rs$ 임이 드러난다.
💡 $(x-r)(x-s)$ 를 전개하면 숨어 있던 근이 눈에 보이는 계수로 바뀐다.
7.NS.A.1 단계 3 계수를 맞춰 합 구하기
- $x^2 - (r+s)x + rs$ 와 $x^2 - 2x + \frac{b}{a}$ 는 같은 다항식이므로 대응하는 부분이 서로 같아야 한다.
- $x$ 의 계수를 비교하면 $-(r+s) = -2$, 즉 $r+s = 2$ 다.
- 이 과정에서 오직 가운데 계수만 쓰였고 상수 $\frac{b}{a}$ 는 합에 전혀 들어오지 않았음을 눈여겨보라.
💡 같은 두 다항식을 나란히 놓으면 $x$ 앞의 수는 양쪽에서 일치해야 한다.
6.EE.A.2 단계 4 근을 평균 내어 답 고르기
- 두 해의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것이다: $\frac{r+s}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
- 이 값은 순수한 상수로, $a$ 나 $b$ 를 전혀 담고 있지 않다.
- 따라서 $a$ 나 $b$ 가 여전히 보이는 선택지, 즉 (C) $\frac{b}{a}$, (D) $\frac{2b}{a}$, (E) $\sqrt{2b-a}$ 는 답이 될 수 없고, (B) $2$ 는 평균이 아니라 합이다.
- 평균은 $1$, 곧 선택지 (A) 이다.
💡 두 근의 한가운데는 합의 절반이고, 그 합은 고정된 수로 나왔다.
6.EE.A.3 이차식이므로 $a \neq 0$ 이고, 따라서 모든 항을 $a$ 로 나눌 수 있다. 방정식을 $0$ 이 아닌 수로 나누어도 해는 절대 바뀌지 않 6.EE.A.3 두 해를 $r$, $s$ 라 하자. 그 근을 갖는 최고차항 계수 $1$ 의 이차식은 인수분해된 꼴 $(x-r)(x-s)=0$ 으로 쓸 수 있다. 7.NS.A.1 $x^2 - (r+s)x + rs$ 와 $x^2 - 2x + \frac{b}{a}$ 는 같은 다항식이므로 대응하는 부분이 서로 같아야 한다. $ 6.EE.A.2 두 해의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것이다: $\frac{r+s}{2} = \frac{2}{2} = 1$. 이 값은 순수한 상수로, $a$ 검토
합리성 확인: 요구된 꼴의 실제 이차식으로 확인하자. $a=1,\,b=0$ 이면 $x^2 - 2x = 0 = x(x-2)$, 근은 $0$ 과 $2$, 평균은 $\frac{0+2}{2}=1$. $a=1,\,b=-3$ 이면 $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)=0$, 근은 $3$ 과 $-1$, 평균은 $\frac{3+(-1)}{2}=1$. $b$ 를 바꾸면 각각의 근은 움직였지만 평균은 $1$ 로 그대로였는데, 이는 계수를 맞춘 논증이 예측한 그대로다. 그래서 $a$, $b$ 를 담은 선택지 (C), (D), (E) 는 함정이고 (A) 가 맞다.
대안 접근: 그래프 $y = ax^2 - 2ax + b$ 를 떠올리자. 두 근에서 $x$ 축과 만나는 포물선이다. 포물선은 수직선에 대해 대칭이므로 두 교점은 서로 거울상이고, 그 평균은 대칭축의 $x$ 좌표 $x = \frac{-(-2a)}{2a} = 1$ 이다. 그림을 그리면(도구 #1) 대수 없이 평균 $1$ 이 바로 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (방정식을 $a$ 로 나누어 최고차항 계수를 $1$ 로 만들고, 분배법칙으로 $(x-r)(x-s)$ 를 전개해 계수를 비교하는 데 사용.)7.NS.A.1Apply and extend previous understandings of addition and subtraction to add and subtract rational numbers (가운데 계수 $-(r+s) = -2$ 를 맞추고 부호를 처리해 $r+s = 2$ 를 이끌어내는 데 사용.)6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (계수 $-2a$ 와 $b$ 를 읽고, 근의 합으로부터 평균 $\frac{r+s}{2}$ 를 계산하는 데 사용.)
⭐ 이차식의 두 해는 한 점을 중심으로 균형을 이루고, 그 균형점은 오직 앞의 두 계수로 정해진다 — 여기서는 $b$ 가 무엇이든 그 값이 $1$ 이다.
⭐ 이차식의 두 해는 한 점을 중심으로 균형을 이루고, 그 균형점은 오직 앞의 두 계수로 정해진다 — 여기서는 $b$ 가 무엇이든 그 값이 $1$ 이다.
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