AMC 10 · 2008 · #9

학년 7 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
vieta-formulasquadratic-equationssymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
최고차항 계수 a가 0이 아닌 이차방정식 ax² - 2ax + b = 0이 두 실근을 가진다. 이 두 해의 평균은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 1$
(B)
$\ 2$
(C)
$\ \frac ba$
(D)
$\ \frac{2b}a$
(E)
$\ \sqrt{2b-a}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 근이 무엇인지는 주어지지 않았고, 근의 공식으로 지저분한 √(·)까지 실제로 풀어내는 것은 문제가 요구하는 것보다 훨씬 많은 일이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 군더더기를 없앤다. 방정식 전체를 a 로 나누어 최고차항 계수를 1로 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심 수다. 두 미지의 해를 r, s 라 이름 붙이고 방정식을 (x-r)(x-s)=0으로 쓴다. 이 곱을 전개하면 x 의 계수가 정확히 -(r+s) 임이 보이고, 근을 실제로 구하지 않고도 근의 합이 정해진다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 a 나 b 에 여전히 의존하는 선택지를 지운다. 평균이 그냥 상수로 나오기 때문이다.

1STEP 1

최고차항 계수로 나누기

이차식이므로 a ≠ 0이고, 모든 항을 a로 나눠도 근은 그대로이며 계수는 훨씬 읽기 쉬워진다.

ax² - 2ax + b = 0 → x² - 2x + b/a = 0
2STEP 2

근에 이름 붙이고 전개하기

두 해를 r, s라 하자. (x-r)(x-s)=0을 전개하면 x의 계수가 -(r+s)로 드러난다.

(x-r)(x-s) = x² - (r+s) x + rs
3STEP 3

계수를 맞춰 합 구하기

같은 다항식이니 항끼리 같아야 하므로 -(r+s) = -2, 즉 r+s = 2다. 상수 b/a는 합에 끼어들지 않는다.

-(r+s) = -2 → r+s = 2
4STEP 4

근을 평균 내어 답 고르기

평균은 그 합의 절반이니 1이다. a나 b가 전혀 없으니 그 둘로 만든 선택지는 탈락이고, 2는 합이지 평균이 아니다.

평균 = (r+s)/2 = 2/2 = 1 → (A)
정답
1
요구된 꼴의 실제 이차식으로 확인하자. a=1, b=0이면 x² - 2x = 0 = x(x-2), 근은 0과 2, 평균은 (0+2)/2=1. a=1, b=-3이면 x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)=0, 근은 3과 -1, 평균은 (3+(-1))/2=1. b를 바꾸면 각각의 근은 움직였지만 평균은 1로 그대로였는데, 이는 계수를 맞춘 논증이 예측한 그대로다. 그래서 a, b를 담은 선택지 (C), (D), (E)는 함정이고 (A)가 맞다.
💡핵심 정리

이차식의 두 해는 한 점을 중심으로 균형을 이루고, 그 균형점은 오직 앞의 두 계수로 정해진다 — 여기서는 b가 무엇이든 그 값이 1이다.

  • 최고차항 계수로 나누기
  • 근에 이름 붙이고 전개하기
  • 계수를 맞춰 합 구하기
  • 근을 평균 내어 답 고르기

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