AMC 10 · 2008 · #1

학년 4 counting
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree
interval-arithmeticsequences-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: mental-arithmetic
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문제
한 선수가 정확히 5번 골을 넣었고, 각 골은 2점 또는 3점이다. 2점 골과 3점 골이 나뉘는 모든 경우를 따져볼 때, 가능한 총점의 서로 다른 값은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 2$
(B)
$\ 3$
(C)
$\ 4$
(D)
$\ 5$
(E)
$\ 6$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

"서로 다른 수가 몇 가지인가"라는 표현은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부르는 전형적인 신호다. 골이 5번뿐이라 경우의 수가 적으므로, 짐작하지 말고 모두 나열한다. 도구 #14(극단의 원리)는 목록의 양 끝을 고정한다. 모두 2점이면 최소, 모두 3점이면 최대다. 도구 #5(패턴 찾기)는 총점이 한 단계마다 정확히 1씩 오른다는 것을 보여 주므로, 그 사이 값이 빠지거나 겹치지 않는다.

1STEP 1

가능한 여섯 가지 나뉨을 나열하기

바뀌는 것은 3점 골의 개수뿐이다: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 나머지는 2점이므로 나뉨은 여섯 가지다.

(3-pt, 2-pt) = (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)
2STEP 2

각 나뉨의 총점 더하기

각 나뉨을 곱해 더하면 10, 11, 12, 13, 14, 15가 나온다. 예를 들어 3점 2개, 2점 3개는 6+6=12다.

10, 11, 12, 13, 14, 15
3STEP 3

양 끝(극단) 확인하기

모두 2점이면 최소 5·2=10, 모두 3점이면 최대 5·3=15로, 목록의 양 끝과 같다.

min=5·2=10, max=5·3=15
4STEP 4

서로 다른 총점 세기

2점 골 하나를 3점으로 바꾸면 총점이 1씩 올라, 10부터 15까지 끊김 없이 이어져 6가지다.

10,11,12,13,14,15 → 6 values → (E)
정답
6
총점은 10부터 15까지 빈틈 없이 이어지고, 10부터 15까지의 정수 개수는 15-10+1=6으로, 나열한 여섯 총점과 일치한다. 답 6은 골 개수에 1을 더한 값인데, 이는 자연스럽다. 3점 골이 몇 개인지에 대한 선택이 6가지(0부터 5까지)이고 각 선택이 서로 다른 총점을 주기 때문이다. 5 같은 작은 답은 양 끝 경우 중 하나를 빠뜨릴 때 나온다.
💡핵심 정리

바뀌는 것이 하나뿐일 때는 모든 경우를 순서대로 나열하자. 여기서는 총점이 10부터 15까지 1씩 올라가므로 6가지다.

  • 가능한 여섯 가지 나뉨을 나열하기
  • 각 나뉨의 총점 더하기
  • 양 끝(극단) 확인하기
  • 서로 다른 총점 세기

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