AMC 10 · 2008 · #1

학년 4 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

interval-arithmeticsequences-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: mental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

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문제

한 농구 선수가 한 경기에서 골을 5개 넣었다. 각 골은 2점 또는 3점의 값을 가진다. 이 선수가 득점한 총점으로 나타낼 수 있는 서로 다른 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 3$

(C)

$\ 4$

(D)

$\ 5$

(E)

$\ 6$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 선수가 정확히 5번 골을 넣었고, 각 골은 2점 또는 3점이다. 2점 골과 3점 골이 나뉘는 모든 경우를 따져볼 때, 가능한 총점의 서로 다른 값은 몇 가지인가?

주어진 것: 골은 정확히 5번 들어갔다; 각 골은 2점 또는 3점이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 5번의 골이 만들 수 있는 서로 다른 총점의 개수

이해

주어진 것: 골은 정확히 5번 들어갔다; 각 골은 2점 또는 3점이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #5 패턴 찾기

"서로 다른 수가 몇 가지인가"라는 표현은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부르는 전형적인 신호다. 골이 5번뿐이라 경우의 수가 적으므로, 짐작하지 말고 모두 나열한다. 도구 #14(극단의 원리)는 목록의 양 끝을 고정한다. 모두 2점이면 최소, 모두 3점이면 최대다. 도구 #5(패턴 찾기)는 총점이 한 단계마다 정확히 $1$씩 오른다는 것을 보여 주므로, 그 사이 값이 빠지거나 겹치지 않는다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

가능한 여섯 가지 나뉨을 나열하기

바뀔 수 있는 것은 5번의 골 중 몇 개가 3점인지뿐이다.
그 개수는 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 중 하나이고, 나머지는 모두 2점이다.
(3점 골의 수, 2점 골의 수)로 적으면 여섯 경우가 나온다: $(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)$.

$$(3\text{-pt},\,2\text{-pt}) = (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)$$

💡 골 개수가 고정되어 있으니 선택할 것은 3점 골이 몇 개인지뿐이고, 그래서 0부터 5까지 빠짐없이 적는다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 2

각 나뉨의 총점 더하기

각 경우마다 곱하고 더한다.
$(0,5)$: $0\cdot3+5\cdot2=10$.
$(1,4)$: $3+8=11$.
$(2,3)$: $6+6=12$.
$(3,2)$: $9+4=13$.
$(4,1)$: $12+2=14$.
$(5,0)$: $15+0=15$.
여섯 총점은 $10, 11, 12, 13, 14, 15$이다.

$$10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15$$

💡 각 총점은 3점에서 나온 점수와 2점에서 나온 점수를 더한 것일 뿐이다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 3

양 끝(극단) 확인하기

가장 작은 총점은 모두 2점인 극단에서 나온다: $5\cdot2=10$.
가장 큰 총점은 모두 3점일 때다: $5\cdot3=15$.
따라서 가능한 모든 총점은 $10$과 $15$ 사이에 있어야 하며, 이는 목록의 양 끝과 일치한다.

$$\text{min}=5\cdot2=10,\quad \text{max}=5\cdot3=15$$

💡 모든 골을 가장 낮은 값으로 밀면 바닥이, 가장 높은 값으로 밀면 천장이 나온다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

서로 다른 총점 세기

2점 골 하나를 3점 골로 바꾸면 총점이 정확히 $1$ 오른다.
그래서 총점은 한 칸씩 올라간다: $10, 11, 12, 13, 14, 15$.
빠지는 값도 겹치는 값도 없으므로 서로 다른 총점은 $6$가지다.
이것이 선택지 (E)이다.

$$10,11,12,13,14,15 \Rightarrow 6 \text{ values} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 바꿀 때마다 정확히 $1$씩 늘어나므로 총점이 끊김 없이 이어지고, 세는 일은 10부터 15까지 세는 것과 같다.

[1] #2 4.OA.A.3 바뀔 수 있는 것은 5번의 골 중 몇 개가 3점인지뿐이다. 그 개수는 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 중 하나이고, 나머지는 모두 2점이다.

[2] #2 3.OA.D.8 각 경우마다 곱하고 더한다. $(0,5)$: $0\cdot3+5\cdot2=10$. $(1,4)$: $3+8=11$. $(2,3)$: $6+6=

[3] #14 4.OA.A.3 가장 작은 총점은 모두 2점인 극단에서 나온다: $5\cdot2=10$. 가장 큰 총점은 모두 3점일 때다: $5\cdot3=15$. 따라서 가

[4] #5 4.OA.C.5 2점 골 하나를 3점 골로 바꾸면 총점이 정확히 $1$ 오른다. 그래서 총점은 한 칸씩 올라간다: $10, 11, 12, 13, 14, 15$.

검토

합리성 확인: 총점은 $10$부터 $15$까지 빈틈 없이 이어지고, $10$부터 $15$까지의 정수 개수는 $15-10+1=6$으로, 나열한 여섯 총점과 일치한다. 답 $6$은 골 개수에 1을 더한 값인데, 이는 자연스럽다. 3점 골이 몇 개인지에 대한 선택이 6가지(0부터 5까지)이고 각 선택이 서로 다른 총점을 주기 때문이다. $5$ 같은 작은 답은 양 끝 경우 중 하나를 빠뜨릴 때 나온다.

대안 접근: 변수를 도입하자. 3점 골의 개수를 $k$라 하면 총점은 $2(5-k)+3k=10+k$이다. $k$가 $0,1,2,3,4,5$를 지나면 총점 $10+k$는 서로 다른 여섯 값을 가지므로, 경우를 일일이 나열하지 않고도 한 줄로 같은 답 (E)에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (5번의 골을 3점/2점으로 나누는 여섯 경우로 정리하고, 모두 2점·모두 3점의 극단으로 총점의 범위를 잡는 데 사용.)
3.OA.D.8 Solve two-step word problems using four operations within 100 (각 나뉨의 총점을 3점에서 나온 점수와 2점에서 나온 점수의 합으로 계산, 예: $3+8=11$.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (2점을 3점으로 한 번 바꿀 때마다 정확히 1이 늘어나 총점이 $10,11,12,13,14,15$의 끊김 없는 수열을 이룬다는 것을 인식.)

⭐ 바뀌는 것이 하나뿐일 때는 모든 경우를 순서대로 나열하자. 여기서는 총점이 10부터 15까지 1씩 올라가므로 6가지다.