AMC 10 · 2008 · #13
학년 6 algebra mean-median-mode-rangedifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 수열이 있다. 모든 양의 정수 n에 대해, 처음 n개 항의 평균이 정확히 n이 된다. 이 수열의 2008번째 항의 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2008
(B)
4015
(C)
4016
(D)
4,030,056
(E)
4,032,064
AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 변수 도입하기
어떤 묶음의 평균은 전체 합을 개수로 나눈 값이다. 그래서 처음 n개 항의 합에 S_n이라는 이름을 붙인다. 그러면 평균 규칙이 S_n에 대한 깔끔한 식으로 바뀐다. 이제 하나의 항은 이웃한 두 합 사이의 차이일 뿐이므로, 문제를 계산하기 쉬운 작은 문제로 쪼갤 수 있다.
1STEP 1
평균을 합으로 바꾸기
전체 합 = 평균 × 개수이므로, 처음 n개 항의 합 S_n은 n × n = n²이다.
S_n = (평균) × n = n × n = n²
n개의 수가 평균 n이면, 전체 합은 n을 n번 더한 값이어야 한다.
6.SP.B.5Introduce A Variable2STEP 2
한 항은 두 합의 차이
2008번째 항은 S₂₀₀₇에서 S₂₀₀₈으로 늘어날 때 더해진 값이므로 2008² - 2007²이다.
a₂₀₀₈ = S₂₀₀₈ - S₂₀₀₇ = 2008² - 2007²
앞에 있던 모든 항의 합을 빼면, 새로 들어온 그 한 항만 남는다.
6.EE.B.6Identify Subproblems3STEP 3
제곱의 차를 인수분해하기
a² - b² = (a-b)(a+b)를 쓰면 2008² - 2007² = 1 × 4015 = 4015, 즉 보기 (B)이다.
2008² - 2007² = (2008-2007)(2008+2007) = 1 × 4015 = 4015
이웃한 두 제곱수 사이의 간격은 제곱하는 두 수를 더한 값과 같다.
이웃한 두 제곱수의 차는 제곱되는 두 수를 더한 것일 뿐이다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것이다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
이웃한 수는 1만큼 다르므로, 둘째 인수가 1이 되고 합만 남는다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
정답
4015
작은 경우로 패턴을 확인해 보자. S₁ = 1이므로 1번째 항은 1이다. S₂ = 4이므로 2번째 항은 4-1=3이다. S₃ = 9이므로 3번째 항은 9-4=5이다. 항들은 1, 3, 5, 7, …인 홀수들이고, n번째 홀수는 2n-1이다. n=2008이면 2(2008)-1 = 4015로 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리
처음 n개 항의 평균이 항상 n이면 그 합은 n²이므로, 각 항은 이웃한 두 제곱수 사이의 간격이다.
- 평균을 합으로 바꾸기
- 한 항은 두 합의 차이
- 제곱의 차를 인수분해하기