AMC 10 · 2008 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

mean-median-mode-rangedifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

각 양의 정수 $n$ 에 대하여, 어떤 수열의 처음 $n$ 개 항의 평균이 $n$ 이다. 이 수열의 $2008$ 번째 항은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ {{{2008}}}$

(B)

$\ {{{4015}}}$

(C)

$\ {{{4016}}}$

(D)

$\ {{{4,030,056}}}$

(E)

$\ {{{4,032,064}}}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수열이 있다. 모든 양의 정수 $n$에 대해, 처음 $n$개 항의 평균이 정확히 $n$이 된다. 이 수열의 2008번째 항의 값을 구하여라.

주어진 것: 각 양의 정수 $n$에 대해, 처음 $n$개 항의 평균(mean)은 $n$과 같다.; 처음 1개 항의 평균은 1, 처음 2개 항의 평균은 2, 처음 3개 항의 평균은 3, ... 이런 식이다.

구하는 것: 수열의 2008번째 항의 값.

이해

문제 재정리: 어떤 수열이 있다. 모든 양의 정수 $n$에 대해, 처음 $n$개 항의 평균이 정확히 $n$이 된다. 이 수열의 2008번째 항의 값을 구하여라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기

어떤 묶음의 평균은 전체 합을 개수로 나눈 값이다. 그래서 처음 $n$개 항의 합에 $S_n$이라는 이름을 붙인다. 그러면 평균 규칙이 $S_n$에 대한 깔끔한 식으로 바뀐다. 이제 하나의 항은 이웃한 두 합 사이의 차이일 뿐이므로, 문제를 계산하기 쉬운 작은 문제로 쪼갤 수 있다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 1

평균을 합으로 바꾸기

평균 = 전체 합 ÷ 개수 이므로, 전체 합 = 평균 × 개수 이다.
처음 $n$개 항의 합을 $S_n$이라 하자.
처음 $n$개 항의 평균이 $n$이고 항의 개수도 $n$개이므로, $S_n = n \times n = n^2$이다.

S_n = (\text{평균}) \times n = n \times n = n^2

💡 $n$개의 수가 평균 $n$이면, 전체 합은 $n$을 $n$번 더한 값이어야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 2

한 항은 두 합의 차이

2008번째 항은 처음 2007개 항의 합에서 처음 2008개 항의 합으로 늘어날 때 새로 더해지는 값이다.
따라서 2008번째 항은 $S_{2008} - S_{2007}$과 같다.
$S_n = n^2$을 쓰면 이것은 $2008^2 - 2007^2$이다.

$$a_{2008} = S_{2008} - S_{2007} = 2008^2 - 2007^2$$

💡 앞에 있던 모든 항의 합을 빼면, 새로 들어온 그 한 항만 남는다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.3 단계 3

제곱의 차를 인수분해하기

두 개의 큰 제곱을 직접 계산하는 대신, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$임을 이용한다.
여기서 $a=2008$, $b=2007$이므로 $2008^2 - 2007^2 = (2008 - 2007)(2008 + 2007) = 1 \times 4015 = 4015$이다.
따라서 2008번째 항은 4015이고, 이는 보기 (B)이다.

$$2008^2 - 2007^2 = (2008-2007)(2008+2007) = 1 \times 4015 = 4015$$

💡 이웃한 두 제곱수 사이의 간격은 제곱하는 두 수를 더한 값과 같다.

[1] #4 6.SP.B.5 평균 = 전체 합 ÷ 개수 이므로, 전체 합 = 평균 × 개수 이다. 처음 $n$개 항의 합을 $S_n$이라 하자. 처음 $n$개 항의 평균이

[2] #7 6.EE.B.6 2008번째 항은 처음 2007개 항의 합에서 처음 2008개 항의 합으로 늘어날 때 새로 더해지는 값이다. 따라서 2008번째 항은 $S_{2

[3] #5 6.EE.A.3 두 개의 큰 제곱을 직접 계산하는 대신, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$임을 이용한다. 여기서 $a=2008$, $b=2007$이므

검토

합리성 확인: 작은 경우로 패턴을 확인해 보자. $S_1 = 1$이므로 1번째 항은 1이다. $S_2 = 4$이므로 2번째 항은 $4-1=3$이다. $S_3 = 9$이므로 3번째 항은 $9-4=5$이다. 항들은 $1, 3, 5, 7, \dots$인 홀수들이고, $n$번째 홀수는 $2n-1$이다. $n=2008$이면 $2(2008)-1 = 4015$로 (B)와 일치한다.

대안 접근: 인수분해를 하지 않고 직접 곱해도 된다. $2008^2 = 4{,}032{,}064$, $2007^2 = 4{,}028{,}049$이고 그 차이는 $4015$이다. 함정 보기 (D)와 (E)는 바로 이 두 제곱수인데, 제곱만 하고 빼는 것을 잊은 사람을 잡으려고 넣어둔 것이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (평균의 정의(전체 합 ÷ 개수)를 이용해 평균 규칙을 합 공식 $S_n = n^2$으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (처음 $n$개 항의 합을 $S_n$이라 이름 붙이고, 2008번째 항을 $S_{2008} - S_{2007}$으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($2008^2 - 2007^2$을 $(2008-2007)(2008+2007)$으로 바꿔 빠르게 계산하는 데 사용.)

⭐ 처음 $n$개 항의 평균이 항상 $n$이면 그 합은 $n^2$이므로, 각 항은 이웃한 두 제곱수 사이의 간격이다.