AMC 10 · 2008 · #15
학년 8 number-theory두 변(직각을 낀 변)의 길이가 정수 a, b이고 빗변의 길이가 b+1인 직각삼각형은 몇 개인가? (단, b<100)
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변) 길이 $a$와 $b$가 모두 자연수이고, 빗변의 길이는 변 $b$보다 정확히 $1$ 큰 $b+1$이다. 여기에 $b<100$이라는 조건까지 붙을 때, 이런 삼각형이 몇 개나 되는지 센다.
주어진 것: 두 변 $a$와 $b$는 양의 정수이다.; 빗변의 길이는 변 $b$보다 $1$ 큰 $b+1$이다.; 변 $b$는 $b<100$을 만족한다.
구하는 것: 모든 조건을 만족하는 삼각형 $(a,b,b+1)$의 개수.
이해
문제 재정리: 직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변) 길이 $a$와 $b$가 모두 자연수이고, 빗변의 길이는 변 $b$보다 정확히 $1$ 큰 $b+1$이다. 여기에 $b<100$이라는 조건까지 붙을 때, 이런 삼각형이 몇 개나 되는지 센다.
주어진 것: 두 변 $a$와 $b$는 양의 정수이다.; 빗변의 길이는 변 $b$보다 $1$ 큰 $b+1$이다.; 변 $b$는 $b<100$을 만족한다.
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
세 변이 이미 $a$, $b$, $b+1$로 이름 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장선다. 피타고라스 관계 $a^2+b^2=(b+1)^2$을 쓰고 정리하면 문제 전체가 깔끔한 한 식 $a^2=2b+1$로 접힌다. 이 식은 $b$를 $a$에 곧바로 묶어, '삼각형 개수 세기'를 '허용되는 $a$ 값 세기'로 바꿔 준다. 이어 도구 #3(가능성 지우기)이 짝수 $a$를 모두 버린다. $2b+1$이 홀수이므로 $b$가 정수가 되려면 $a$가 홀수여야 하기 때문이다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 $b$를 $100$ 미만의 양의 정수로 유지하는 홀수 $a$들을 훑으며 개수를 센다.
실행 — 정답: A
8.G.B.7 단계 1 피타고라스 식 세우기
- 두 변이 $a$와 $b$, 빗변이 $b+1$이다.
- 직각삼각형에서는 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같으므로 $a^2+b^2=(b+1)^2$이다.
- 이 한 식이 문제가 허용하는 모든 삼각형을 담는다.
💡 어떤 직각삼각형에서든 두 변의 제곱을 합치면 빗변의 제곱과 같다.
6.EE.A.3 단계 2 깔끔한 형태로 정리하기
- 오른쪽을 전개하면 $(b+1)^2=b^2+2b+1$이다.
- 식은 $a^2+b^2=b^2+2b+1$이 되고, 양쪽에 있는 $b^2$이 서로 지워져 $a^2=2b+1$만 남는다.
- $b$에 대해 풀면 $b=\frac{a^2-1}{2}$이니, 변 $a$를 하나 고르면 다른 변 $b$는 완전히 정해진다는 뜻이다.
💡 양쪽의 $b^2$이 똑같아서 사라지니, 지저분한 제곱이 단순한 일차식으로 줄어든다.
6.EE.B.5 단계 3 홀수 변 a만 남기기
- $2b+1$은 항상 홀수이고 그것이 $a^2$과 같다.
- 제곱이 홀수가 되는 것은 그 밑이 홀수일 때뿐이므로 $a$는 홀수여야 한다.
- 반대로 봐도, $b=\frac{a^2-1}{2}$이 정수가 되려면 $a^2-1$이 짝수여야 하고, 이 역시 $a$가 홀수임을 강제한다.
- 짝수 $a$는 모두 버려진다.
- 또 $a=1$이면 $b=0$이라 삼각형이 아니므로, 쓸 수 있는 가장 작은 변은 $a=3$이다.
💡 짝수의 절반은 정수이므로 $a^2-1$이 짝수여야 하고, 그것은 $a$가 홀수일 때만 일어난다.
7.EE.B.4 단계 4 한도 안의 홀수 변 나열하기
- 이제 $b<100$을 적용한다.
- $b=\frac{a^2-1}{2}$이므로 $b<100$은 $\frac{a^2-1}{2}<100$, 즉 $a^2<201$이 되어 $a\le 14$이다.
- '홀수이고 $3$ 이상'과 합치면 허용되는 변은 $a=3,5,7,9,11,13$이다.
- 각각 유효한 삼각형을 준다: $a=3\to b=4$, $a=5\to b=12$, $a=7\to b=24$, $a=9\to b=40$, $a=11\to b=60$, $a=13\to b=84$.
- 모두 $6$개이므로 답은 $(A)$이다.
💡 $b<100$이라는 한도가 $a$를 $13$까지로 막아, $3$부터 홀수 변을 세면 총합이 바로 나온다.
8.G.B.7 두 변이 $a$와 $b$, 빗변이 $b+1$이다. 직각삼각형에서는 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같으므로 $a^2+b^2=(b+1)^2$이 6.EE.A.3 오른쪽을 전개하면 $(b+1)^2=b^2+2b+1$이다. 식은 $a^2+b^2=b^2+2b+1$이 되고, 양쪽에 있는 $b^2$이 서로 지워져 6.EE.B.5 $2b+1$은 항상 홀수이고 그것이 $a^2$과 같다. 제곱이 홀수가 되는 것은 그 밑이 홀수일 때뿐이므로 $a$는 홀수여야 한다. 반대로 봐도 7.EE.B.4 이제 $b<100$을 적용한다. $b=\frac{a^2-1}{2}$이므로 $b<100$은 $\frac{a^2-1}{2}<100$, 즉 $a^2< 검토
합리성 확인: 나열한 각 쌍은 정말로 직각삼각형이다: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(7,24,25)$, $(9,40,41)$, $(11,60,61)$, $(13,84,85)$ — 모두 피타고라스 삼조이고, 각각에서 빗변이 더 긴 변 $b$보다 정확히 $1$ 크므로 조건에 맞는다. 다음 홀수 변 $a=15$는 $b=112$를 주어 $b<100$을 어기므로 $13$에서 멈추는 것이 옳다. 삼각형 $6$개는 보기 $(A)$와 일치하며, $b<100$ 한도가 꽤 빡빡하다는 점에서 가장 작은 보기가 답이라는 것도 자연스럽다.
대안 접근: $a$ 대신 $b$를 세도 된다. 관계식 $a^2=2b+1$은 $2b+1$이 완전제곱수여야 함을 뜻한다. 그래서 $201$ 미만($2b+1<201$)인 홀수 완전제곱수 $9,25,49,81,121,169,225,\dots$를 찾으면 $9,25,49,81,121,169$의 여섯 개이고, 각각 유효한 $b=\frac{a^2-1}{2}<100$을 준다. 개수는 똑같이 $6$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.B.7직각삼각형에서 피타고라스 정리로 미지의 변 길이 구하기 (직각삼각형의 변 $a$, $b$, $b+1$로부터 $a^2+b^2=(b+1)^2$을 세우는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(b+1)^2$을 전개하고 $b^2$을 지워 식을 $a^2=2b+1$로 줄이는 데 사용.)6.EE.B.5방정식이나 부등식 풀이를 참이 되게 하는 값 찾기로 이해하기 ($b=\frac{a^2-1}{2}$을 양의 정수로 만드는 $a$ 값(홀수 $a\ge 3$)을 가려내는 데 사용.)7.EE.B.4변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식 세우기 ($b<100$을 $a^2<201$로 바꿔 $a\le 13$으로 제한하고, 유효한 변들을 나열해 세는 데 사용.)
⭐ 빗변이 한 변보다 딱 $1$ 클 때는 피타고라스 식이 $a^2=2b+1$로 접히니, 범위 안에 남는 홀수 변만 세면 된다.
⭐ 빗변이 한 변보다 딱 $1$ 클 때는 피타고라스 식이 $a^2=2b+1$로 접히니, 범위 안에 남는 홀수 변만 세면 된다.
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