AMC 10 · 2008 · #15

학년 8 number-theory

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pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesparity bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변) 길이 a와 b가 모두 자연수이고, 빗변의 길이는 변 b보다 정확히 1 큰 b+1이다. 여기에 b ＜ 100이라는 조건까지 붙을 때, 이런 삼각형이 몇 개나 되는지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 7$

(C)

$\ 8$

(D)

$\ 9$

(E)

$\ 10$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

세 변이 이미 a, b, b+1로 이름 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장선다. 피타고라스 관계 a²+b²=(b+1)²을 쓰고 정리하면 문제 전체가 깔끔한 한 식 a²=2b+1로 접힌다. 이 식은 b를 a에 곧바로 묶어, '삼각형 개수 세기'를 '허용되는 a 값 세기'로 바꿔 준다. 이어 도구 #3(가능성 지우기)이 짝수 a를 모두 버린다. 2b+1이 홀수이므로 b가 정수가 되려면 a가 홀수여야 하기 때문이다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 b를 100 미만의 양의 정수로 유지하는 홀수 a들을 훑으며 개수를 센다.

1STEP 1

피타고라스 식 세우기

두 변이 a와 b, 빗변이 b+1이므로 피타고라스 식은 a²+b²=(b+1)²이 된다.

a²+b²=(b+1)²

2STEP 2

깔끔한 형태로 정리하기

전개하면 양쪽 b²이 지워져 a²=2b+1만 남고, b=(a²-1)/2이므로 a를 정하면 b도 정해진다.

a²=2b+1 ⟹ b=(a²-1)/2

3STEP 3

홀수 변 a만 남기기

2b+1은 홀수라 a도 홀수여야 하고, a=1은 b=0이라 삼각형이 아니므로 최소는 a=3이다.

a 홀수, a ≥ 3

4STEP 4

한도 안의 홀수 변 나열하기

b ＜ 100이면 a² ＜ 201이라 홀수 a는 3,5,7,9,11,13뿐이고, 즉 삼각형은 6 개다.

a∈{3,5,7,9,11,13}→ 6 개

정답

나열한 각 쌍은 정말로 직각삼각형이다: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85) — 모두 피타고라스 삼조이고, 각각에서 빗변이 더 긴 변 b보다 정확히 1 크므로 조건에 맞는다. 다음 홀수 변 a=15는 b=112를 주어 b ＜ 100을 어기므로 13에서 멈추는 것이 옳다. 삼각형 6 개는 보기 (A)와 일치하며, b ＜ 100 한도가 꽤 빡빡하다는 점에서 가장 작은 보기가 답이라는 것도 자연스럽다.

💡핵심 정리

빗변이 한 변보다 딱 1 클 때는 피타고라스 식이 a²=2b+1로 접히니, 범위 안에 남는 홀수 변만 세면 된다.

피타고라스 식 세우기
깔끔한 형태로 정리하기
홀수 변 a만 남기기
한도 안의 홀수 변 나열하기

피타고라스 식 세우기

깔끔한 형태로 정리하기

홀수 변 a만 남기기

한도 안의 홀수 변 나열하기

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