AMC 10 · 2008 · #16

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparitycasework casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 동전 두 개를 던진다. 앞면이 나온 동전마다 공정한 주사위를 하나씩 굴린다. 굴린 주사위들의 눈의 합을 구하는데, 주사위를 하나도 굴리지 않으면 합은 0이다. 이 합이 홀수일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ {{{\frac{3} {8}}}}$

(B)

$\ {{{\frac{1} {2}}}}$

(C)

$\ {{{\frac{43} {72}}}}$

(D)

$\ {{{\frac{5} {8}}}}$

(E)

$\ {{{\frac{2} {3}}}}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

굴리는 주사위 개수 자체가 확률적으로 변하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 앞장선다. 앞면의 개수 — 0개, 1개, 2개 — 로 문제를 나누면, 각 경우마다 훨씬 단순한 홀짝 소문제가 된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 경우의 확률을 동전에서 확정한다: 앞면 0개와 2개는 각각 1/4, 앞면 1개는 1/2이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 주사위 두 개인 경우를 처리하는데, '두 주사위의 합이 홀수인 것은 둘의 홀짝이 서로 다를 때뿐'이라는 깔끔한 규칙 덕분에 36가지를 다 나열하지 않고도 1/2을 얻는다. 각 경우의 홀수 확률에 그 경우가 일어날 확률을 곱해 더하면 답이 나온다.

1STEP 1

앞면 개수로 나누기

주사위 개수는 앞면 개수와 같다. 두 동전은 앞면 0개가 $\frac{1}{4}$ , 1개가 $\frac{1}{2}$ , 2개가 $\frac{1}{4}$ .

P(0)=1/4, P(1)=1/2, P(2)=1/4

2STEP 2

앞면 0개: 합은 0

둘 다 뒷면이면 주사위가 없어 합은 0이고 짝수다. 이 경우는 홀수가 될 수 없다.

P(홀수 ∣ 앞면 0개)=0

3STEP 3

앞면 1개: 주사위 하나

앞면이 하나면 주사위도 하나. 여섯 면 중 세 면이 홀수이므로 홀수일 확률은 $\frac{1}{2}$ 이다.

P(홀수 ∣ 앞면 1개)=3/6=1/2

4STEP 4

앞면 2개: 주사위 둘

두 주사위의 합이 홀수이려면 홀짝이 달라야 하고, 둘째가 첫째와 다를 확률은 $\frac{1}{2}$ 이다.

P(홀수 ∣ 앞면 2개)=1/2

5STEP 5

각 경우에 가중치 곱하기

각 경우의 확률에 그 경우의 홀수 확률을 곱한다. $\frac{1}{4}\times 0=0$ , $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=$ $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=$ $\frac{1}{8}$ .

0, 1/2·1/2=1/4, 1/4·1/2=1/8

6STEP 6

세 경우 더하기

가중치를 곱한 세 조각을 공통분모 8로 더한다. $0+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=$ $\frac{3}{8}$ , 보기 (A)이다.

0+1/4+1/8=2/8+1/8=3/8

정답

{{{3/8}}}

답 3/8은 1/2보다 작은데, 이는 타당하다. 앞면 0개인 경우(확률 1/4)는 절대 홀수 합을 줄 수 없어, 항상 주사위를 굴렸다면 얻었을 1/2보다 전체 값을 끌어내리기 때문이다. 값은 0과 1 사이의 정상적인 확률이며 보기 (A)와 일치한다. 확인용으로 짝수 합의 확률은 1-3/8=5/8로 보기 (D)인데, '짝수' 쪽으로 쏠린 여분의 무게가 전적으로 주사위 없는 경우에서 나옴을 보여 계산을 뒷받침한다.

💡핵심 정리

주사위 개수 자체가 무작위일 때는 굴리는 주사위 개수로 경우를 나누고, 각 경우의 홀수 합 확률을 구한 뒤 그 경우가 일어날 확률로 가중치를 주어 더한다.

앞면 개수로 나누기
앞면 0개: 합은 0
앞면 1개: 주사위 하나
앞면 2개: 주사위 둘
각 경우에 가중치 곱하기
세 경우 더하기