AMC 10 · 2008 · #16

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparitycasework casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 동전 두 개를 각각 한 번씩 던진다. 앞면이 나올 때마다 공정한 주사위를 하나씩 굴린다. 굴린 주사위 눈의 합이 홀수일 확률은 얼마인가? (단, 주사위를 하나도 굴리지 않으면 합은 0으로 한다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ {{{\frac{3} {8}}}}$

(B)

$\ {{{\frac{1} {2}}}}$

(C)

$\ {{{\frac{43} {72}}}}$

(D)

$\ {{{\frac{5} {8}}}}$

(E)

$\ {{{\frac{2} {3}}}}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 동전 두 개를 던진다. 앞면이 나온 동전마다 공정한 주사위를 하나씩 굴린다. 굴린 주사위들의 눈의 합을 구하는데, 주사위를 하나도 굴리지 않으면 합은 $0$이다. 이 합이 홀수일 확률을 구하여라.

주어진 것: 공정한 동전 두 개를 한 번씩 던지므로, 각 동전은 확률 $\frac{1}{2}$로 앞면 또는 뒷면이 나온다.; 앞면이 나올 때마다 공정한 육면체 주사위를 한 번 굴린다.; '합'은 굴린 모든 주사위 눈의 총합이며, 주사위를 하나도 굴리지 않으면 합은 $0$이다.

구하는 것: 주사위 눈의 합이 홀수일 확률.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기

굴리는 주사위 개수 자체가 확률적으로 변하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 앞장선다. 앞면의 개수 — $0$개, $1$개, $2$개 — 로 문제를 나누면, 각 경우마다 훨씬 단순한 홀짝 소문제가 된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 경우의 확률을 동전에서 확정한다: 앞면 $0$개와 $2$개는 각각 $\frac{1}{4}$, 앞면 $1$개는 $\frac{1}{2}$이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 주사위 두 개인 경우를 처리하는데, '두 주사위의 합이 홀수인 것은 둘의 홀짝이 서로 다를 때뿐'이라는 깔끔한 규칙 덕분에 $36$가지를 다 나열하지 않고도 $\frac{1}{2}$을 얻는다. 각 경우의 홀수 확률에 그 경우가 일어날 확률을 곱해 더하면 답이 나온다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

앞면 개수로 나누기

굴리는 주사위 개수는 앞면의 개수와 같다.
공정한 동전 두 개는 확률 $\frac{1}{4}$로 앞면 $0$개(뒷뒷), 확률 $\frac{1}{2}$로 $1$개(앞뒤 또는 뒤앞), 확률 $\frac{1}{4}$로 $2$개(앞앞)가 나온다.
이 세 경우를 따로 다룬 뒤 합친다.

$$P(0)=\tfrac{1}{4},\quad P(1)=\tfrac{1}{2},\quad P(2)=\tfrac{1}{4}$$

💡 무작위성이 두 층 — 먼저 동전이 주사위 개수를 정하고, 그다음 주사위가 합을 정한다 — 이므로 동전부터 기준으로 삼는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 2

앞면 0개: 합은 0

두 동전이 모두 뒷면이면 주사위를 하나도 굴리지 않아 합은 $0$이다.
$0$은 짝수이므로 이 경우는 합을 홀수로 만들 수 없다.
홀수일 확률은 $0$이다.

$$P(\text{홀수}\mid \text{앞면 }0\text{개})=0$$

💡 주사위가 없으면 합은 $0$이고 $0$은 짝수이므로, 여기서 홀수 합은 불가능하다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 3

앞면 1개: 주사위 하나

앞면이 정확히 하나면 주사위를 정확히 하나 굴린다.
공정한 주사위는 여섯 면 중 세 면($1,3,5$)이 홀수이므로, 합(그 주사위 하나)이 홀수일 확률은 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$이다.

$$P(\text{홀수}\mid \text{앞면 }1\text{개})=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$$

💡 주사위 면의 절반이 홀수이므로 주사위 하나는 절반의 확률로 홀수이다.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 4

앞면 2개: 주사위 둘

앞면이 두 개면 주사위 두 개를 굴리고, 그 합이 홀수여야 한다.
두 정수의 합이 홀수인 것은 하나가 홀수이고 다른 하나가 짝수일 때뿐이다.
첫 주사위가 무엇이 나오든, 둘째 주사위가 반대 홀짝일 확률은 $\frac{1}{2}$이다.
따라서 합이 홀수일 확률은 $\frac{1}{2}$이며, $36$가지를 모두 나열할 필요가 없다.

$$P(\text{홀수}\mid \text{앞면 }2\text{개})=\tfrac{1}{2}$$

💡 두 수의 합이 홀수가 되려면 홀짝이 서로 달라야 하고, 둘째 주사위가 첫째와 다를 확률은 정확히 절반이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 5

각 경우에 가중치 곱하기

각 경우가 일어날 확률에 그 경우의 홀수 합 확률을 곱한다.
앞면 $0$개: $\frac{1}{4}\times 0=0$.
앞면 $1$개: $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
앞면 $2$개: $\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.

$$0,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4},\qquad \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{8}$$

💡 어떤 경우는 실제로 일어나는 만큼만 도움이 되므로, 각 홀수 확률을 그 경우의 확률로 조정한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

세 경우 더하기

가중치를 곱한 세 조각을 더해 홀수 합의 전체 확률을 구한다.
공통분모 $8$을 쓰면 $0+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$이다.
따라서 확률은 $\frac{3}{8}$이고, 이는 보기 $(A)$이다.

$$0+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{2}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}$$

💡 세 경우는 성공하는 서로 다른 길이므로 확률을 그냥 더하면 된다.

[1] #7 7.SP.C.8 굴리는 주사위 개수는 앞면의 개수와 같다. 공정한 동전 두 개는 확률 $\frac{1}{4}$로 앞면 $0$개(뒷뒷), 확률 $\frac{1}{

[2] #7 7.SP.C.7 두 동전이 모두 뒷면이면 주사위를 하나도 굴리지 않아 합은 $0$이다. $0$은 짝수이므로 이 경우는 합을 홀수로 만들 수 없다. 홀수일 확률은

[3] #2 7.SP.C.7 앞면이 정확히 하나면 주사위를 정확히 하나 굴린다. 공정한 주사위는 여섯 면 중 세 면($1,3,5$)이 홀수이므로, 합(그 주사위 하나)이 홀

[4] #5 7.SP.C.8 앞면이 두 개면 주사위 두 개를 굴리고, 그 합이 홀수여야 한다. 두 정수의 합이 홀수인 것은 하나가 홀수이고 다른 하나가 짝수일 때뿐이다. 첫

[5] #7 5.NF.B.4 각 경우가 일어날 확률에 그 경우의 홀수 합 확률을 곱한다. 앞면 $0$개: $\frac{1}{4}\times 0=0$. 앞면 $1$개: $\f

[6] #7 5.NF.A.1 가중치를 곱한 세 조각을 더해 홀수 합의 전체 확률을 구한다. 공통분모 $8$을 쓰면 $0+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac

검토

합리성 확인: 답 $\frac{3}{8}$은 $\frac{1}{2}$보다 작은데, 이는 타당하다. 앞면 $0$개인 경우(확률 $\frac{1}{4}$)는 절대 홀수 합을 줄 수 없어, 항상 주사위를 굴렸다면 얻었을 $\frac{1}{2}$보다 전체 값을 끌어내리기 때문이다. 값은 $0$과 $1$ 사이의 정상적인 확률이며 보기 $(A)$와 일치한다. 확인용으로 짝수 합의 확률은 $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$로 보기 $(D)$인데, '짝수' 쪽으로 쏠린 여분의 무게가 전적으로 주사위 없는 경우에서 나옴을 보여 계산을 뒷받침한다.

대안 접근: 여사건을 세어 본다(도구 #16). 짝수 합은 앞면 $0$개 경우(항상, 확률 $\frac{1}{4}\times 1=\frac{1}{4}$), 앞면 $1$개 경우의 절반($\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$), 앞면 $2$개 경우의 절반($\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$)에서 나와 합이 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$이다. 그러면 홀수 $=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$로 같은 결과이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (두 단계 실험을 앞면 개수로 경우 나누기, 그리고 주사위 두 개의 홀수 합 확률 구하기.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (각 경우 안에서 홀수 합 확률 정하기(주사위 없으면 $0$, 하나면 $\frac{1}{2}$).)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (각 경우의 홀수 합 확률에 그 경우가 일어날 확률을 곱해 가중치 주기.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (가중치를 곱한 세 경우 $0+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$을 더해 $\frac{3}{8}$ 구하기.)

⭐ 주사위 개수 자체가 무작위일 때는 굴리는 주사위 개수로 경우를 나누고, 각 경우의 홀수 합 확률을 구한 뒤 그 경우가 일어날 확률로 가중치를 주어 더한다.