AMC 10 · 2008 · #17

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

유권자의 70%가 시장을 지지한다. 여론조사원이 서로 독립적으로 세 번에 걸쳐 무작위로 유권자 한 명씩을 뽑는다. 세 명 중 정확히 한 명만 지지할 확률(나머지 두 명은 지지하지 않을 확률)을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.063

(B)

0.189

(C)

0.233

(D)

0.333

(E)

0.441

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

'정확히 한 명이 지지'하는 상황은 한 가지 방식만 있는 게 아니다 — 지지하는 사람이 첫 번째, 두 번째, 세 번째일 수 있다. 그래서 확실한 방법은 세 번의 선택에서 지지(Y) 한 번과 비지지(N) 두 번을 놓는 모든 배열을 빠짐없이 나열하는 것이다(도구 #2): YNN, NYN, NNY. 각 배열은 하나의 작은 문제이다(도구 #7): 그 배열 하나의 확률을 구한 뒤 배열들을 더한다. 세 번의 선택이 독립이므로 각 배열의 확률은 모두 같고, 따라서 한 번만 계산해서 배열 수만큼 곱하면 된다.

1STEP 1

퍼센트를 확률로 바꾸기

무작위 유권자가 지지할 확률은 0.7이므로, 지지하지 않을 확률은 1 - 0.7 = 0.3이다.

P(지지) = 0.7, P(비지지) = 1 - 0.7 = 0.3

2STEP 2

정확히 한 명 지지하는 경우 나열

지지를 Y, 비지지를 N이라 하면 Y 자리는 첫째·둘째·셋째뿐이므로 배열은 YNN, NYN, NNY의 3 가지이다.

YNN, NYN, NNY → 3가지 배열

3STEP 3

배열 하나의 확률

선택이 독립이므로 곱한다: P(YNN) = 0.7 × 0.3 × 0.3 = 0.063이고, 모든 배열이 같은 값이다.

P(YNN) = 0.7 × 0.3 × 0.3 = 0.063

4STEP 4

배열들을 더하기

세 배열은 서로 겹치지 않으니 더한다: 3 × 0.063 = 0.189이며, 선택지 (B)이다.

3 × 0.063 = 0.189 → (B)

정답

0.189

값은 0과 1 사이여야 하는데 0.189는 그 범위 안에 있다. 지지 확률이 높으므로(0.7) 세 번 중 한 명만 지지하는 것은 다소 드문 일이고, 작은 확률이 나오는 것이 자연스럽다. 함정 점검: (A) 0.063은 배열 하나(예: YNN)의 확률로, 배열이 세 개라는 사실을 빠뜨린 값이다. 3을 곱하면 0.189가 되므로 답은 (A)가 아니라 (B)이다. 또한 네 경우의 확률 합이 1이 된다: 아무도 지지 안 함 0.3³ = 0.027, 정확히 한 명 0.189, 정확히 두 명 3(0.7²)(0.3) = 0.441, 세 명 모두 0.7³ = 0.343, 합 0.027 + 0.189 + 0.441 + 0.343 = 1.000.

💡핵심 정리

'정확히 하나'는 먼저 그렇게 될 수 있는 경우의 수를 세고(여기선 3), 한 경우의 확률(0.7×0.3×0.3)을 구한 뒤 곱한다.

퍼센트를 확률로 바꾸기
정확히 한 명 지지하는 경우 나열
배열 하나의 확률
배열들을 더하기

퍼센트를 확률로 바꾸기

정확히 한 명 지지하는 경우 나열

배열 하나의 확률

배열들을 더하기

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