AMC 10 · 2008 · #17

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 여론조사에 따르면 모든 유권자의 $70\%$ 가 시장의 업무를 지지한다. 서로 다른 세 번의 경우에 여론조사원이 유권자 한 명을 무작위로 선택한다. 이 세 번 중 정확히 한 번만 선택된 유권자가 시장의 업무를 지지할 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ {{{0.063}}}$

(B)

$\ {{{0.189}}}$

(C)

$\ {{{0.233}}}$

(D)

$\ {{{0.333}}}$

(E)

$\ {{{0.441}}}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유권자의 $70\%$가 시장을 지지한다. 여론조사원이 서로 독립적으로 세 번에 걸쳐 무작위로 유권자 한 명씩을 뽑는다. 세 명 중 **정확히 한 명만** 지지할 확률(나머지 두 명은 지지하지 않을 확률)을 구하여라.

주어진 것: 무작위로 뽑은 유권자가 지지할 확률은 $70\% = 0.7$이다.; 따라서 무작위로 뽑은 유권자가 지지하지 **않을** 확률은 $0.3$이다.; 세 번의 선택은 각각 독립적으로 이루어진다.; 선택지: (A) 0.063, (B) 0.189, (C) 0.233, (D) 0.333, (E) 0.441.

구하는 것: 뽑은 세 명 중 정확히 한 명만 지지할 확률.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

'정확히 한 명이 지지'하는 상황은 한 가지 방식만 있는 게 아니다 — 지지하는 사람이 첫 번째, 두 번째, 세 번째일 수 있다. 그래서 확실한 방법은 세 번의 선택에서 지지(Y) 한 번과 비지지(N) 두 번을 놓는 모든 배열을 빠짐없이 나열하는 것이다(도구 #2): YNN, NYN, NNY. 각 배열은 하나의 작은 문제이다(도구 #7): 그 배열 하나의 확률을 구한 뒤 배열들을 더한다. 세 번의 선택이 독립이므로 각 배열의 확률은 모두 같고, 따라서 한 번만 계산해서 배열 수만큼 곱하면 된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

퍼센트를 확률로 바꾸기

여론조사 수치를 소수로 다시 쓴다.
무작위 유권자가 지지할 확률은 $0.7$이고, 지지하지 않을 확률은 $1 - 0.7 = 0.3$이다.
필요한 값은 이 둘뿐이며, 매번 같은 집단에서 무작위로 뽑으므로 세 번 모두 이 값이 그대로 유지된다.

$$P(\text{지지}) = 0.7,\qquad P(\text{비지지}) = 1 - 0.7 = 0.3$$

💡 퍼센트는 전체에 대한 비율이므로 $70\%$는 소수 $0.7$이고, 나머지 $0.3$이 그 밖의 전부이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

정확히 한 명 지지하는 경우 나열

Y는 뽑힌 유권자가 지지함을, N은 지지하지 않음을 뜻한다고 하자.
'정확히 한 명 지지'는 세 번의 선택에 Y 하나와 N 둘이 놓이는 것이다.
하나뿐인 Y의 위치를 모두 나열하면 첫 번째, 두 번째, 세 번째 중 하나이다.
그래서 배열은 YNN, NYN, NNY의 세 가지이고 그 외에는 없다.

$$\text{YNN},\ \text{NYN},\ \text{NNY} \;\Rightarrow\; 3\text{가지 배열}$$

💡 세 번 중 어느 것이 '지지' 차례인지 고르는 선택 하나뿐이고, 차례는 세 개이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 3

배열 하나의 확률

배열 하나, 예를 들어 YNN을 보자.
첫 번째 유권자가 지지($0.7$)하고 다음 두 명이 지지하지 않는다($0.3$씩).
선택들이 독립이므로 세 확률을 곱한다.
모든 배열은 $0.7$ 하나와 $0.3$ 둘로 이루어지므로 곱은 항상 같은 $0.063$이 된다.

$$P(\text{YNN}) = 0.7 \times 0.3 \times 0.3 = 0.063$$

💡 독립인 사건들이 모두 일어날 확률은 각각의 확률을 곱한 값이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

배열들을 더하기

세 배열은 서로 겹치지 않는, 정확히 한 명이 지지하는 별개의 경우들이므로 확률을 더한다.
각각이 $0.063$이므로 합은 $3 \times 0.063 = 0.189$이다.
이는 선택지 (B)와 일치한다.

$$3 \times 0.063 = 0.189 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 같은 결과를 만드는 서로 다른 방식들은 동시에 일어날 수 없으므로 확률을 그냥 더한다.

[1] #7 6.RP.A.3 여론조사 수치를 소수로 다시 쓴다. 무작위 유권자가 지지할 확률은 $0.7$이고, 지지하지 않을 확률은 $1 - 0.7 = 0.3$이다. 필요한

[2] #2 7.SP.C.8 Y는 뽑힌 유권자가 지지함을, N은 지지하지 않음을 뜻한다고 하자. '정확히 한 명 지지'는 세 번의 선택에 Y 하나와 N 둘이 놓이는 것이다.

[3] #7 5.NBT.B.7 배열 하나, 예를 들어 YNN을 보자. 첫 번째 유권자가 지지($0.7$)하고 다음 두 명이 지지하지 않는다($0.3$씩). 선택들이 독립이므로

[4] #2 7.SP.C.8 세 배열은 서로 겹치지 않는, 정확히 한 명이 지지하는 별개의 경우들이므로 확률을 더한다. 각각이 $0.063$이므로 합은 $3 \times 0

검토

합리성 확인: 값은 $0$과 $1$ 사이여야 하는데 $0.189$는 그 범위 안에 있다. 지지 확률이 높으므로($0.7$) 세 번 중 한 명만 지지하는 것은 다소 드문 일이고, 작은 확률이 나오는 것이 자연스럽다. 함정 점검: (A) $0.063$은 배열 **하나**(예: YNN)의 확률로, 배열이 세 개라는 사실을 빠뜨린 값이다. $3$을 곱하면 $0.189$가 되므로 답은 (A)가 아니라 (B)이다. 또한 네 경우의 확률 합이 $1$이 된다: 아무도 지지 안 함 $0.3^3 = 0.027$, 정확히 한 명 $0.189$, 정확히 두 명 $3(0.7^2)(0.3) = 0.441$, 세 명 모두 $0.7^3 = 0.343$, 합 $0.027 + 0.189 + 0.441 + 0.343 = 1.000$.

대안 접근: 이항 공식을 바로 쓴다. 선택 $n = 3$번, 성공 확률 $p = 0.7$일 때 정확히 $k = 1$번 성공할 확률은 $\binom{3}{1} p^1 (1-p)^2 = 3 \times 0.7 \times 0.3^2 = 3 \times 0.063 = 0.189$이다. $\binom{3}{1} = 3$은 나열에서 찾은 세 배열의 개수와 같으므로 (B)를 다시 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($70\%$를 확률 $0.7$과 그 여사건 $0.3$으로 변환하기.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (정확히 한 명이 지지하는 세 배열 YNN, NYN, NNY를 나열하고 그 확률들을 더하기.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths ($0.7 \times 0.3 \times 0.3 = 0.063$과 $3 \times 0.063 = 0.189$ 계산하기.)

⭐ '정확히 하나'는 먼저 그렇게 될 수 있는 경우의 수를 세고(여기선 $3$), 한 경우의 확률($0.7\times0.3\times0.3$)을 구한 뒤 곱한다.