AMC 10 · 2008 · #3

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

x

는 양의 실수이고, 식

\sqrt[3]{x\sqrt{x}}

는

x

와 그 제곱근의 곱을 세제곱근으로 감싼 것입니다. 이 식을

x

의 하나의 거듭제곱으로 나타내세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ x^{1/6}$

(B)

$\ x^{1/4}$

(C)

$\ x^{3/8}$

(D)

$\ x^{1/2}$

(E)

$\ x$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 같은 밑 x 위에 근호 두 겹이 쌓여 있습니다 — 안쪽의 제곱근과 바깥쪽의 세제곱근. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 근호를 분수 지수로 바꾸며 한 겹씩 벗겨 낸 뒤 합칩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 독립적인 확인을 줍니다: 편리한 x=64를 골라 양변을 수로 계산합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 하나의 수로 미끼 지수들을 지웁니다 — 같은 값을 내는 선택지는 하나뿐이기 때문입니다.

1STEP 1

근호를 분수 지수로 바꾸기

제곱근은 $\frac{1}{2}$ 제곱, 세제곱근은 $\frac{1}{3}$ 제곱이므로 식은 $(x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ 입니다.

∛(x√(x))=(x · x¹/2)¹/3

2STEP 2

안쪽의 곱 합치기

밑이 같으면 지수를 더합니다: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 이므로 안쪽은 $x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

x¹ · x¹/2=x¹+1/2=x³/2

3STEP 3

바깥쪽 세제곱근 적용하기

거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱하므로 $\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ , 식은 $x^{\frac{1}{2}}$ 과 같습니다.

(x³/2)¹/3=x³/2·1/3=x³/6=x¹/2

4STEP 4

x=64를 넣어 확인하기

$x=64$ 이면 $64\sqrt{64}=512$ 이고 $\sqrt[3]{512}=8=\sqrt{64}$ — 이 값을 내는 것은 (D)뿐입니다.

64·√(64)=512, ∛(512)=8=64¹/2 → (D)

정답

x¹/2

근호마다 지수를 줄입니다: 안쪽 곱은 x³/2까지 커졌다가 세제곱근이 그 지수를 삼분의 일로 잘라 x¹/2에 안착합니다 — x⁰=1과 x¹=x 사이의 합리적인 중간 값입니다. 수치 검산이 이를 확정합니다: x=64에서 식은 8이고 64¹/2=8인 반면 다른 선택지는 모두 빗나갑니다. 선택지 (A) x¹/6은 지수 1·1/2·1/3을 더하지 않고 곱해 버리는 함정이고, (E) x는 근호를 아예 빠뜨렸을 때 나옵니다.

💡핵심 정리

모든 근호를 분수 거듭제곱으로 바꾸세요 — 제곱근은 이분의 일 제곱, 세제곱근은 삼분의 일 제곱. 그런 다음 곱할 때는 지수를 더하고, 거듭제곱 위에 거듭제곱을 쌓을 때는 지수를 곱하면 됩니다.

근호를 분수 지수로 바꾸기
안쪽의 곱 합치기
바깥쪽 세제곱근 적용하기
x=64를 넣어 확인하기

근호를 분수 지수로 바꾸기

안쪽의 곱 합치기

바깥쪽 세제곱근 적용하기

x=64를 넣어 확인하기

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