AMC 10 · 2008 · #3
학년 8 algebrax가 양의 실수라고 하자. 다음 중 3xx와 같은 것은 무엇인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $x$ 가 양의 실수일 때, 식 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$ 를 $x$ 의 하나의 거듭제곱으로 나타내세요.
주어진 것: $x$ 는 양의 실수; 식 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$ — $x$ 와 $\sqrt{x}$ 의 곱을 세제곱근으로 감싼 형태; 선택지: (A) $x^{1/6}$, (B) $x^{1/4}$, (C) $x^{3/8}$, (D) $x^{1/2}$, (E) $x$
구하는 것: $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}=x^{r}$ 를 만족하는 하나의 지수 $r$
이해
문제 재정리: $x$ 가 양의 실수일 때, 식 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$ 를 $x$ 의 하나의 거듭제곱으로 나타내세요.
주어진 것: $x$ 는 양의 실수; 식 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$ — $x$ 와 $\sqrt{x}$ 의 곱을 세제곱근으로 감싼 형태; 선택지: (A) $x^{1/6}$, (B) $x^{1/4}$, (C) $x^{3/8}$, (D) $x^{1/2}$, (E) $x$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
이 식은 같은 밑 $x$ 위에 근호 두 겹이 쌓여 있습니다 — 안쪽의 제곱근과 바깥쪽의 세제곱근. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 근호를 분수 지수로 바꾸며 한 겹씩 벗겨 낸 뒤 합칩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 독립적인 확인을 줍니다: 편리한 $x=64$ 를 골라 양변을 수로 계산합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 하나의 수로 미끼 지수들을 지웁니다 — 같은 값을 내는 선택지는 하나뿐이기 때문입니다.
실행 — 정답: D
8.EE.A.1 단계 1 근호를 분수 지수로 바꾸기
- 제곱근은 $\tfrac12$ 제곱, 세제곱근은 $\tfrac13$ 제곱입니다.
- 그래서 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 이고, $\sqrt[3]{\ }$ 는 $\tfrac13$ 제곱을 뜻합니다.
- 식은 $\left(x\cdot x^{1/2}\right)^{1/3}$ 이 되어 어디에나 밑 $x$ 만 나타납니다.
💡 모든 근호는 분수 거듭제곱일 뿐이므로, 근호를 바꾸면 문제가 단순한 지수 계산이 됩니다.
5.NF.A.1 단계 2 안쪽의 곱 합치기
- 세제곱근 안에서 $x$ 는 $x^{1}$ 을 뜻하고, 같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수를 더합니다: $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{1+1/2}$.
- 지수를 더하면 $1+\tfrac12=\tfrac32$ 이므로 안쪽은 $x^{3/2}$ 가 됩니다.
💡 같은 밑끼리 곱하면 작은 지수들을 더하기만 하면 되고, $1+\tfrac12$ 은 이분의 삼입니다.
5.NF.B.4 단계 3 바깥쪽 세제곱근 적용하기
- 이제 세제곱근을 취합니다.
- 즉 $x^{3/2}$ 을 $\tfrac13$ 제곱합니다.
- 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다: $\left(x^{3/2}\right)^{1/3}=x^{(3/2)\cdot(1/3)}$.
- 분수를 곱하면 $\tfrac32\cdot\tfrac13=\tfrac{3}{6}=\tfrac12$ 이므로 식은 $x^{1/2}$ 과 같습니다.
💡 거듭제곱 위에 거듭제곱을 쌓으면 지수를 곱하고, 이분의 삼 곱하기 삼분의 일은 이분의 일입니다.
8.EE.A.2 단계 4 $x=64$ 를 넣어 확인하기
- 편리한 수로 시험합니다.
- $x=64$ 라 하면 $\sqrt{64}=8$ 이므로 $x\sqrt{x}=64\cdot8=512$ 이고 $\sqrt[3]{512}=8$ 입니다.
- 정답 형태도 $8$ 을 내야 합니다: $x^{1/2}=\sqrt{64}=8$ 로 일치합니다.
- 미끼들은 빗나갑니다 — $x^{1/6}=2$ ($1,\tfrac12,\tfrac13$ 을 모두 곱하는 실수), $x^{1/4}=\sqrt[4]{64}\approx2.83$, $x^{3/8}\approx4.76$, 그리고 $x=64$ (근호를 통째로 빠뜨림).
- $8$ 에 도달하는 것은 $x^{1/2}$ 뿐이므로 답은 (D)입니다.
💡 잘 고른 수 하나가 추상적인 식을 정답만 통과할 수 있는 단순한 산수 검산으로 바꿉니다.
8.EE.A.1 제곱근은 $\tfrac12$ 제곱, 세제곱근은 $\tfrac13$ 제곱입니다. 그래서 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 이고, $\sqrt[3] 5.NF.A.1 세제곱근 안에서 $x$ 는 $x^{1}$ 을 뜻하고, 같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수를 더합니다: $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{1 5.NF.B.4 이제 세제곱근을 취합니다. 즉 $x^{3/2}$ 을 $\tfrac13$ 제곱합니다. 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다: $\left(x^{3 8.EE.A.2 편리한 수로 시험합니다. $x=64$ 라 하면 $\sqrt{64}=8$ 이므로 $x\sqrt{x}=64\cdot8=512$ 이고 $\sqrt[3 검토
합리성 확인: 근호마다 지수를 줄입니다: 안쪽 곱은 $x^{3/2}$ 까지 커졌다가 세제곱근이 그 지수를 삼분의 일로 잘라 $x^{1/2}$ 에 안착합니다 — $x^{0}=1$ 과 $x^{1}=x$ 사이의 합리적인 중간 값입니다. 수치 검산이 이를 확정합니다: $x=64$ 에서 식은 $8$ 이고 $64^{1/2}=8$ 인 반면 다른 선택지는 모두 빗나갑니다. 선택지 (A) $x^{1/6}$ 은 지수 $1\cdot\tfrac12\cdot\tfrac13$ 을 더하지 않고 곱해 버리는 함정이고, (E) $x$ 는 근호를 아예 빠뜨렸을 때 나옵니다.
대안 접근: 분수를 공통 지수(근호 차수)로 없애는 방법도 있습니다. $x\sqrt{x}=\sqrt{x^{2}\cdot x}=\sqrt{x^{3}}$ 이므로 전체 식은 $\sqrt[3]{\sqrt{x^{3}}}=\sqrt[6]{x^{3}}=x^{3/6}=x^{1/2}$ 입니다. 제곱근 바깥의 세제곱근은 여섯제곱근이 되고, 여섯제곱근 안의 $x^{3}$ 은 $x^{1/2}$ 이 되어 똑같이 (D)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용한다 (근호를 분수 지수로 바꾸고, 같은 밑의 곱셈 규칙과 거듭제곱의 거듭제곱 규칙을 사용하는 데 씀.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈을 한다 ($x\cdot\sqrt{x}$ 를 합칠 때 지수 $1+\tfrac12=\tfrac32$ 을 더하는 데 씀.)5.NF.B.4곱셈의 이해를 확장하여 분수에 분수를 곱한다 (세제곱근을 적용할 때 지수 $\tfrac32\cdot\tfrac13=\tfrac12$ 을 곱하는 데 씀.)8.EE.A.2제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 (수치 검산에서 $\sqrt{64}=8$ 과 $\sqrt[3]{512}=8$ 을 계산하는 데 씀.)
⭐ 모든 근호를 분수 거듭제곱으로 바꾸세요 — 제곱근은 이분의 일 제곱, 세제곱근은 삼분의 일 제곱. 그런 다음 곱할 때는 지수를 더하고, 거듭제곱 위에 거듭제곱을 쌓을 때는 지수를 곱하면 됩니다.
⭐ 모든 근호를 분수 거듭제곱으로 바꾸세요 — 제곱근은 이분의 일 제곱, 세제곱근은 삼분의 일 제곱. 그런 다음 곱할 때는 지수를 더하고, 거듭제곱 위에 거듭제곱을 쌓을 때는 지수를 곱하면 됩니다.
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