AMC 10 · 2008 · #5

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationsymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 a와 b에 대하여 새로운 연산을 a * b=(a-b)²이라고 정의한다. 뒤의 입력을 앞의 입력에서 빼고 그 결과를 제곱하라는 뜻이다. 실수 x와 y에 대하여 왼쪽 입력은 (x-y)², 오른쪽 입력은 (y-x)²이다. (x-y)² * (y-x)²의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ x^2+y^2$

(C)

$\ 2x^2$

(D)

$\ 2y^2$

(E)

$\ 4xy$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 입력 (x-y)²와 (y-x)² 자체가 제곱이라 식이 복잡해 보인다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 다스린다. 왼쪽 입력을 a, 오른쪽 입력을 b 라 이름 붙이면 전체가 깔끔한 a * b=(a-b)²로 바뀐다. 그러면 핵심이 드러난다 — a 와 b 는 사실 같은 수이므로 그 차 a-b 는 0이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 구체적인 수를 넣어 결과를 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 차가 0이 되는 순간 x 나 y 가 남은 나머지 선택지가 모두 틀린 이유를 설명한다.

1STEP 1

별표 규칙 해석하기

별표는 곱셈이 아니다. 입력에 a=(x-y)², b=(y-x)²라고 이름을 붙이면 할 일은 a * b=(a-b)²뿐이다.

a=(x-y)², b=(y-x)², a * b=(a-b)²

2STEP 2

두 입력은 서로 같다

밑이 서로 반대라 y-x=-(x-y)이고 (-k)²=k²이므로 b=(y-x)²=(x-y)²=a, 두 입력은 같은 수다.

y-x=-(x-y) → (y-x)²=(x-y)² → a=b

3STEP 3

실제 수로 확인하기

x=2, y=1로 시험해 보자. 두 입력이 모두 1이 되고, 규칙을 쓰면 1 * 1=(1-1)²=0이다.

(2-1)²=1, (1-2)²=1, 1 * 1=(1-1)²=0

4STEP 4

같은 입력을 빼서 제곱하기

a=b이므로 차는 a-b=0이고, 따라서 (a-b)²=0이다. x와 y는 사라지므로 답은 선택지 (A)이다.

a * b=(a-b)²=(a-a)²=0²=0 → (A)

정답

결과 전체는 하나의 사실에 놓여 있다: 두 입력 (x-y)²와 (y-x)²는 똑같으므로 그 차는 0이고 제곱하면 0이다. x=2, y=1로 한 수치 확인이 0을 주었고, 두 번째 확인 — 예를 들어 x=5, y=3: (5-3)²=4, (3-5)²=4, 4 * 4=(4-4)²=0 — 도 다시 0을 준다. 답이 x나 y에 절대 의존하지 않으므로, x나 y가 아직 보이는 선택지(B, C, D, E)는 모두 함정이고, 상수인 (A) 0만 살아남을 수 있다.

💡핵심 정리

어떤 규칙이 두 대상의 차를 제곱하는데 그 두 대상이 사실 같다면, 차는 0 이므로 답 전체가 0이다.

별표 규칙 해석하기
두 입력은 서로 같다
실제 수로 확인하기
같은 입력을 빼서 제곱하기

별표 규칙 해석하기

두 입력은 서로 같다

실제 수로 확인하기

같은 입력을 빼서 제곱하기

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