AMC 10 · 2008 · #5

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationsymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 $a$ 와 $b$ 에 대하여 $a * b=(a-b)^2$ 로 정의한다. $(x-y)^2*(y-x)^2$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ x^2+y^2$

(C)

$\ 2x^2$

(D)

$\ 2y^2$

(E)

$\ 4xy$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $a * b=(a-b)^2$ 이라는 새로운 연산을 정의한다. 두 입력을 빼서 그 결과를 제곱하라는 규칙이다. 이 규칙으로 $(x-y)^2 * (y-x)^2$ 의 값을 구하라.

주어진 것: 모든 실수 $a$, $b$ 에 대해 성립하는 규칙 $a * b=(a-b)^2$; 계산할 식은 $(x-y)^2 * (y-x)^2$ 이므로, 왼쪽 입력은 $(x-y)^2$, 오른쪽 입력은 $(y-x)^2$ 이다; 선택지: (A) $0$, (B) $x^2+y^2$, (C) $2x^2$, (D) $2y^2$, (E) $4xy$

구하는 것: $(x-y)^2 * (y-x)^2$ 가 정리되어 나오는 하나의 식

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

두 입력 $(x-y)^2$ 와 $(y-x)^2$ 자체가 제곱이라 식이 복잡해 보인다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 다스린다. 왼쪽 입력을 $a$, 오른쪽 입력을 $b$ 라 이름 붙이면 전체가 깔끔한 $a * b=(a-b)^2$ 로 바뀐다. 그러면 핵심이 드러난다 — $a$ 와 $b$ 는 사실 같은 수이므로 그 차 $a-b$ 는 $0$ 이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 구체적인 수를 넣어 결과를 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 차가 $0$ 이 되는 순간 $x$ 나 $y$ 가 남은 나머지 선택지가 모두 틀린 이유를 설명한다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

별표 규칙 해석하기

별표는 곱셈이 아니라 정의된 규칙 $a * b=(a-b)^2$ 이다.
두 입력이 무엇이든, 앞의 것에서 뒤의 것을 빼고 그 답을 제곱하라는 뜻이다.
구조가 보이도록 입력에 이름을 붙이자.
왼쪽 입력을 $a=(x-y)^2$, 오른쪽 입력을 $b=(y-x)^2$ 라 하면, 이제 할 일은 $a * b=(a-b)^2$ 을 계산하는 것이다.

$$a=(x-y)^2,\quad b=(y-x)^2,\quad a * b=(a-b)^2$$

💡 복잡한 입력에 짧은 이름을 붙이면 문제가 간단한 규칙 $(a-b)^2$ 로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.2 단계 2

두 입력은 서로 같다

$a=(x-y)^2$ 와 $b=(y-x)^2$ 을 비교하자.
밑 $x-y$ 와 $y-x$ 는 서로 반대 부호다: $y-x=-(x-y)$.
어떤 수를 제곱한 것과 그 반대수를 제곱한 것은 같은데, 음수 곱하기 음수는 양수이기 때문이다: $(-k)^2=k^2$.
따라서 $(y-x)^2=(x-y)^2$ 이고, 이는 $a$ 와 $b$ 가 완전히 같은 수라는 뜻이다.

$$y-x=-(x-y)\;\Rightarrow\;(y-x)^2=(x-y)^2\;\Rightarrow\;a=b$$

💡 뺄셈을 뒤집으면 부호만 바뀌고, 제곱하면 그 부호는 버려진다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 3

실제 수로 확인하기

쉬운 값으로 그 상등을 확인하자.
$x=2$, $y=1$ 이라 하면 $(x-y)^2=(2-1)^2=1$ 이고 $(y-x)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1$ 이다 — 두 입력이 모두 $1$ 이다.
규칙을 적용하면 $1 * 1=(1-1)^2=0$.
두 입력은 정말로 같고, 같은 두 수의 별표 연산은 $0$ 에 도착한다.

$$(2-1)^2=1,\;(1-2)^2=1,\;1 * 1=(1-1)^2=0$$

💡 구체적인 수를 넣어 보면 추상적인 상등이 눈으로 보이게 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.1 단계 4

같은 입력을 빼서 제곱하기

$a=b$ 이므로 규칙 안의 차는 $a-b=0$ 이고, 제곱하면 $0^2=0$ 이다.
변수 $x$ 와 $y$ 는 완전히 사라진다 — 답은 그것들에 전혀 의존하지 않는다.
다른 선택지는 모두 여전히 $x$ 나 $y$ 를 담고 있으므로, 차가 $0$ 으로 무너지는 순간 답이 될 수 없다.
값은 $0$, 즉 선택지 (A) 이다.

$$a * b=(a-b)^2=(a-a)^2=0^2=0\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 어떤 수에서 자기 자신을 빼면 언제나 $0$ 이고, $0$ 을 제곱해도 여전히 $0$ 이다.

[1] #4 6.EE.A.2 별표는 곱셈이 아니라 정의된 규칙 $a * b=(a-b)^2$ 이다. 두 입력이 무엇이든, 앞의 것에서 뒤의 것을 빼고 그 답을 제곱하라는 뜻이

[2] #4 7.NS.A.2 $a=(x-y)^2$ 와 $b=(y-x)^2$ 을 비교하자. 밑 $x-y$ 와 $y-x$ 는 서로 반대 부호다: $y-x=-(x-y)$. 어떤

[3] #6 6.EE.A.2 쉬운 값으로 그 상등을 확인하자. $x=2$, $y=1$ 이라 하면 $(x-y)^2=(2-1)^2=1$ 이고 $(y-x)^2=(1-2)^2=(-

[4] #4 6.EE.A.1 $a=b$ 이므로 규칙 안의 차는 $a-b=0$ 이고, 제곱하면 $0^2=0$ 이다. 변수 $x$ 와 $y$ 는 완전히 사라진다 — 답은 그것들

검토

합리성 확인: 결과 전체는 하나의 사실에 놓여 있다: 두 입력 $(x-y)^2$ 와 $(y-x)^2$ 는 똑같으므로 그 차는 $0$ 이고 제곱하면 $0$ 이다. $x=2,\,y=1$ 로 한 수치 확인이 $0$ 을 주었고, 두 번째 확인 — 예를 들어 $x=5,\,y=3$: $(5-3)^2=4$, $(3-5)^2=4$, $4 * 4=(4-4)^2=0$ — 도 다시 $0$ 을 준다. 답이 $x$ 나 $y$ 에 절대 의존하지 않으므로, $x$ 나 $y$ 가 아직 보이는 선택지(B, C, D, E)는 모두 함정이고, 상수인 (A) $0$ 만 살아남을 수 있다.

대안 접근: 변수 이름을 붙이지 않고 곧바로 추론할 수도 있다: 별표 규칙은 두 입력의 차를 제곱하는데, 두 입력은 같은 양 $(x-y)^2$ 이다. 어떤 것과 자기 자신의 차는 $0$ 이므로, $x$ 와 $y$ 가 무엇이든 그 차의 제곱은 $0$ 이다 — 답은 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의된 규칙 $a * b=(a-b)^2$ 을 읽고, 두 입력을 $a$, $b$ 로 이름 붙이고, 값을 대입해 계산하는 데 사용.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (음수 곱하기 음수는 양수라는 사실로부터 $(y-x)^2=(x-y)^2$, 즉 반대수의 제곱이 서로 같음을 정당화하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (같은 두 입력의 차가 $0$ 이 된 뒤 마지막 제곱 $0^2=0$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 어떤 규칙이 두 대상의 차를 제곱하는데 그 두 대상이 사실 같다면, 차는 $0$ 이므로 답 전체가 $0$ 이다.