AMC 10 · 2008 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

similar-figuresarea-trianglesperfect-squares easier-related-problem ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 $10$ 인 정삼각형이 한 변의 길이가 $1$ 인 서로 겹치지 않는 정삼각형들로 완전히 채워진다. 필요한 작은 삼각형의 개수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 10$

(B)

$\ 25$

(C)

$\ 100$

(D)

$\ 250$

(E)

$\ 1000$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$인 큰 정삼각형이 있다. 이 삼각형을 한 변의 길이가 $1$인 작은 정삼각형들로 빈틈도 겹침도 없이 완전히 채운다. 작은 정삼각형이 몇 개 필요한지 구한다.

주어진 것: 큰 삼각형은 한 변의 길이가 $10$인 정삼각형이다; 채우는 조각은 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형이다; 조각들은 겹치지 않고 빈틈도 남기지 않아 큰 삼각형을 정확히 덮는다; 선택지: (A) $10$, (B) $25$, (C) $100$, (D) $250$, (E) $1000$

구하는 것: 큰 삼각형을 채우는 데 필요한 단위 삼각형의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

한 변 $10$은 한 번에 그려서 세기 어려우니 먼저 문제를 줄인다 (도구 #9). 한 변 $1$, $2$, $3$짜리를 직접 그려 보고 (도구 #1) 세어 보면 $1, 4, 9$, 즉 제곱수가 나온다. 이 패턴 (도구 #5)은 한 변이 $n$인 삼각형에 $n^2$개가 필요함을 말해 주고, 그러면 한 변 $10$은 $10^2$일 뿐이다. 각 작은 경우를 눈으로 보고 확인할 수 있으니 넓이 공식을 다루는 것보다 패턴 방법이 더 안전하다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

작은 삼각형을 나누기

작게 시작한다.
한 변 $2$인 정삼각형은 각 변의 중점을 표시하고 그 점들을 이으면 단위 삼각형으로 나뉜다.
위를 향한 삼각형 $3$개와 아래를 향한 삼각형 $1$개, 모두 $4$개가 된다.
한 변 $3$인 삼각형도 같은 방법으로 나누면 단위 삼각형 $9$개로 쪼개진다.
직접 그려 보면 조각들이 빈틈 없이 채워지고, 일부는 위를 일부는 아래를 향함을 알 수 있다.

$$\text{한 변 }2 \rightarrow 4,\qquad \text{한 변 }3 \rightarrow 9$$

💡 도형을 눈에 보이는 똑같은 조각으로 쪼개면 전체를 어림하는 것보다 낫다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

행 단위로 세기

삼각형을 아래에서 위로 가로 행 단위로 본다.
한 변 $n$인 삼각형의 맨 아래 행에는 위를 향한 조각 $n$개와 아래를 향한 조각 $n-1$개가 있어 $2n-1$개다.
한 행 올라갈 때마다 위 하나와 아래 하나가 줄어 개수가 $2$씩 감소한다.
그래서 행들은 $2n-1,\ 2n-3,\ \dots,\ 3,\ 1$로 읽힌다.
한 변 $3$이면 $5+3+1=9$로 그림과 일치한다.

$$\text{한 변 }n:\ (2n-1)+(2n-3)+\cdots+3+1$$

💡 $2$씩 커지는 홀수의 규칙은 다시 그리지 않아도 예측할 수 있다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 3

제곱수 알아채기

한 변이 커질 때 합계를 나열해 본다.
한 변 $1$은 $1$, 한 변 $2$는 $4$, 한 변 $3$은 $9$, 한 변 $4$는 $16$이다.
이것들은 정확히 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$, 즉 제곱수다.
같은 사실이 행에서도 나타난다.
처음 $n$개의 홀수를 더하면 항상 $n^2$이 된다.
따라서 한 변 $n$인 삼각형에는 단위 삼각형이 $n^2$개 필요하다.

$$1,4,9,16 = 1^2,2^2,3^2,4^2\ \Rightarrow\ \text{한 변 }n \rightarrow n^2$$

💡 개수 목록이 제곱수로 바뀌면 규칙은 그저 한 변의 제곱이다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 4

한 변 10에 적용하기

큰 삼각형은 한 변이 $10$이므로 규칙에 $n=10$을 넣는다.
단위 삼각형의 개수는 $10^2 = 10 \times 10 = 100$이다.
이는 선택지 (C)와 일치한다.
확인 한 가지: 개수는 한 변의 제곱으로 커지므로 한 변을 $1$에서 $10$으로 늘리면 조각 수는 $10$배가 아니라 $10^2=100$배가 된다.
그래서 함정 같은 답 $10$은 배제된다.

$$n=10:\ 10^2 = 100 \ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 규칙이 한 변의 제곱임을 알면 큰 경우는 곱셈 한 번이다.

[1] #1 6.G.A.1 작게 시작한다. 한 변 $2$인 정삼각형은 각 변의 중점을 표시하고 그 점들을 이으면 단위 삼각형으로 나뉜다. 위를 향한 삼각형 $3$개와 아래

[2] #5 4.OA.C.5 삼각형을 아래에서 위로 가로 행 단위로 본다. 한 변 $n$인 삼각형의 맨 아래 행에는 위를 향한 조각 $n$개와 아래를 향한 조각 $n-1$개

[3] #5 6.EE.A.1 한 변이 커질 때 합계를 나열해 본다. 한 변 $1$은 $1$, 한 변 $2$는 $4$, 한 변 $3$은 $9$, 한 변 $4$는 $16$이다.

[4] #5 6.EE.A.1 큰 삼각형은 한 변이 $10$이므로 규칙에 $n=10$을 넣는다. 단위 삼각형의 개수는 $10^2 = 10 \times 10 = 100$이다.

검토

합리성 확인: 답 $100$은 독립적인 넓이 확인을 통과한다. 닮은 삼각형은 넓이가 길이 비의 제곱으로 커지고, 큰 삼각형은 각 변이 단위 삼각형의 $10$배이므로 넓이는 $10^2=100$배다. 넓이가 같은 조각들이 빈틈없이 채우려면 그 개수는 $100$이어야 한다. 행 단위 세기와 넓이 논증이 같은 값에 이르고, $100$은 선택지 (C)다. 오답들은 전형적인 함정이다. $10$ (제곱을 잊음), $250$과 $1000$ (지나치게 키움).

대안 접근: 세는 대신 넓이를 바로 쓴다. 단위 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1^2$이고 큰 삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10^2$이다. 나누면 $\frac{\sqrt{3}}{4}$가 약분되어 $\frac{10^2}{1^2}=100$이 남으므로 단위 삼각형 $100$개가 들어간다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (작은 정삼각형을 단위 정삼각형 조각으로 나누어 채우기가 어떻게 되는지 확인하기.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (각 삼각형을 홀수 $2n-1, 2n-3, \dots, 1$의 행 단위로 세기.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (개수가 제곱수 $n^2$임을 알아채고 한 변 $10$인 삼각형에 대해 $10^2=100$을 계산하기.)

⭐ 한 변이 $n$인 삼각형을 단위 삼각형으로 만들면 $n \times n$개가 필요하므로, 한 변 $10$은 $10^2 = 100$개다.