AMC 10 · 2008 · #8

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

linear-diophantineparitydivisibility-rules bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 학급이 급우에게 줄 꽃다발을 사는 데 정확히 50 달러를 씁니다. 장미는 한 송이에 3 달러, 카네이션은 한 송이에 2 달러이고, 다른 꽃은 쓰지 않습니다. 50 달러를 남김없이 다 쓸 때, 장미와 카네이션의 서로 다른 조합은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 7$

(C)

$\ 9$

(D)

$\ 16$

(E)

$\ 17$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)는 돈에 관한 이야기를 하나의 깔끔한 식 3r+2c=50으로 바꿔, 무엇이 참이어야 하는지를 정확히 못박습니다. 그런데도 경우의 수가 여전히 무한해 보이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 홀짝 성질을 이용해 홀수 개의 장미를 한꺼번에 버립니다. 도구 #14(극단의 원리)로 여전히 여유가 남는 최대 장미 수를 찾아 범위를 정하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 경우를 순서대로 훑어 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 합니다.

1STEP 1

돈을 식으로 바꾸기

장미 수를 r, 카네이션 수를 c라 하면, 모든 꽃다발은 r, c가 0 이상 정수인 3r+2c=50의 해입니다.

3r+2c=50, r ≥ 0, c ≥ 0

2STEP 2

장미는 짝수 송이만 가능

2c는 늘 짝수이고 50도 짝수라 3r도 짝수여야 하는데, 3은 홀수이니 r이 짝수일 때만 가능합니다.

50-2c=3r→ 3r 짝수→ r 짝수

3STEP 3

들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기

장미만으로 50을 넘길 수 없어 3r은 50 이하이고, 3×16=48은 되지만 3×18=54는 안 되니 가장 큰 짝수 r은 16입니다.

3r ≤ 50→ r ≤ 16 (짝수); 3×16=48, 3×18=54

4STEP 4

살아남은 경우를 나열하고 세기

짝수 r마다 $c=\frac{50-3r}{2}$ 는 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1로 모두 정수여서 9 가지, 답은 (C)입니다.

r=0,2,4,6,8,10,12,14,16→ 9 가지→(C)

정답

0부터 16까지의 짝수 장미 수는 0,2,4,6,8,10,12,14,16이고, 이는 (16-0)/2+1=9 개로 직접 나열한 것과 일치합니다. 카네이션 총수 25,22,19,16,13,10,7,4,1은 r이 2씩 오를 때마다 3씩 내려갑니다(장미가 두 송이 늘면 6 달러가 더 들고, 이는 카네이션 세 송이가 줄어드는 것이기 때문입니다). 모두 정수이고 음수가 아니므로 잘못 넣거나 뺀 조합은 없습니다. 답 9는 선택지 (C)입니다. 이는 너무 적은 1과, 홀수 장미까지 잘못 세는 17 사이에 알맞게 놓입니다.

💡핵심 정리

지출을 하나의 식으로 바꾸고, 홀짝을 이용해 절반의 경우를 지운 다음, 나머지를 순서대로 나열해 세세요.

돈을 식으로 바꾸기
장미는 짝수 송이만 가능
들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기
살아남은 경우를 나열하고 세기

돈을 식으로 바꾸기

장미는 짝수 송이만 가능

들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기

살아남은 경우를 나열하고 세기

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