AMC 10 · 2008 · #8
학년 6 counting한 학급이 병원에 입원한 급우에게 줄 꽃을 사기 위해 50달러를 모았다. 장미는 한 송이에 3달러이고, 카네이션은 한 송이에 2달러이다. 다른 꽃은 사용하지 않는다. 정확히 50달러로 살 수 있는 서로 다른 꽃다발은 몇 가지인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 꽃다발을 사는 데 정확히 $50$ 달러를 씁니다. 장미는 한 송이에 $3$ 달러, 카네이션은 한 송이에 $2$ 달러이고, 다른 꽃은 쓰지 않으며 $50$ 달러를 남김없이 다 써야 합니다. 정확히 $50$ 달러를 쓰는 장미와 카네이션의 서로 다른 조합이 몇 가지인지 셉니다.
주어진 것: 쓸 수 있는 총액은 정확히 $50$ 달러입니다; 장미는 한 송이 $3$ 달러, 카네이션은 한 송이 $2$ 달러입니다; 장미와 카네이션만 살 수 있습니다; 선택지: (A) $1$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $16$, (E) $17$
구하는 것: 정확히 $50$ 달러가 되는 (장미, 카네이션) 조합의 가짓수
이해
문제 재정리: 꽃다발을 사는 데 정확히 $50$ 달러를 씁니다. 장미는 한 송이에 $3$ 달러, 카네이션은 한 송이에 $2$ 달러이고, 다른 꽃은 쓰지 않으며 $50$ 달러를 남김없이 다 써야 합니다. 정확히 $50$ 달러를 쓰는 장미와 카네이션의 서로 다른 조합이 몇 가지인지 셉니다.
주어진 것: 쓸 수 있는 총액은 정확히 $50$ 달러입니다; 장미는 한 송이 $3$ 달러, 카네이션은 한 송이 $2$ 달러입니다; 장미와 카네이션만 살 수 있습니다; 선택지: (A) $1$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $16$, (E) $17$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기
도구 #4(변수 도입하기)는 돈에 관한 이야기를 하나의 깔끔한 식 $3r+2c=50$ 으로 바꿔, 무엇이 참이어야 하는지를 정확히 못박습니다. 그런데도 경우의 수가 여전히 무한해 보이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 홀짝 성질을 이용해 홀수 개의 장미를 한꺼번에 버립니다. 도구 #14(극단의 원리)로 여전히 여유가 남는 최대 장미 수를 찾아 범위를 정하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 경우를 순서대로 훑어 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 합니다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 돈을 식으로 바꾸기
- 장미 수를 $r$, 카네이션 수를 $c$ 라 합시다.
- 장미 값은 $3r$ 달러, 카네이션 값은 $2c$ 달러이고, 둘을 합치면 정확히 $50$ 이어야 합니다.
- 그러므로 유효한 꽃다발은 모두 $r\ge 0$, $c\ge 0$ 인 정수 해 $3r+2c=50$ 입니다.
💡 두 개수에 이름을 붙이면 막연한 쇼핑 질문이 검증할 수 있는 하나의 정확한 식으로 바뀝니다.
2.OA.C.3 단계 2 장미는 짝수 송이만 가능
- 카네이션 값 $2c$ 는 항상 짝수이고, 총액 $50$ 도 짝수입니다.
- $3r+2c$ 가 짝수 $50$ 이 되려면 장미 값 $3r$ 도 짝수여야 합니다.
- $3$ 은 홀수이므로 $3r$ 이 짝수가 되는 것은 $r$ 자체가 짝수일 때뿐입니다.
- 이렇게 홀수 개의 장미를 한 번에 지워, 짝수인 $r$ 만 확인하면 됩니다.
💡 짝수 총액에서 짝수인 카네이션 값을 빼면 짝수가 남고, 홀수 가격의 장미는 짝수 크기의 묶음일 때만 그 짝수에 딱 맞습니다.
6.EE.B.5 단계 3 들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기
- 장미만으로 $50$ 달러를 넘을 수는 없습니다.
- 넘으면 카네이션을 $0$ 이상으로 살 돈이 남지 않기 때문입니다.
- 그래서 $3r\le 50$ 입니다.
- 여기에 맞는 가장 큰 짝수 $r$ 은 $16$ 입니다.
- $3\times16=48\le 50$ 이지만 다음 짝수 $18$ 은 $3\times18=54>50$ 이기 때문입니다.
- 따라서 $r$ 은 $0$ 부터 $16$ 까지의 짝수 정수를 지나갑니다.
💡 장미 수를 한계까지 밀어붙여 돈이 바닥나는 지점을 찾습니다.
4.OA.C.5 단계 4 살아남은 경우를 나열하고 세기
- $r$ 의 짝수 값을 차례로 내려가며 매번 $c=\dfrac{50-3r}{2}$ 를 계산합니다: $r=0\to c=25$, $r=2\to c=22$, $r=4\to c=19$, $r=6\to c=16$, $r=8\to c=13$, $r=10\to c=10$, $r=12\to c=7$, $r=14\to c=4$, $r=16\to c=1$.
- 모두 정수이고 $0$ 이상인 $c$ 를 주므로 아홉 가지 전부 진짜 꽃다발입니다.
- 세어 보면 $9$ 이고, 그래서 답은 (C)입니다.
💡 허용되는 장미 수를 순서대로 훑어 모든 조합을 정확히 한 번씩 잡습니다.
6.EE.B.6 장미 수를 $r$, 카네이션 수를 $c$ 라 합시다. 장미 값은 $3r$ 달러, 카네이션 값은 $2c$ 달러이고, 둘을 합치면 정확히 $50$ 2.OA.C.3 카네이션 값 $2c$ 는 항상 짝수이고, 총액 $50$ 도 짝수입니다. $3r+2c$ 가 짝수 $50$ 이 되려면 장미 값 $3r$ 도 짝수여야 6.EE.B.5 장미만으로 $50$ 달러를 넘을 수는 없습니다. 넘으면 카네이션을 $0$ 이상으로 살 돈이 남지 않기 때문입니다. 그래서 $3r\le 50$ 입 4.OA.C.5 $r$ 의 짝수 값을 차례로 내려가며 매번 $c=\dfrac{50-3r}{2}$ 를 계산합니다: $r=0\to c=25$, $r=2\to c=2 검토
합리성 확인: $0$ 부터 $16$ 까지의 짝수 장미 수는 $0,2,4,6,8,10,12,14,16$ 이고, 이는 $\frac{16-0}{2}+1=9$ 개로 직접 나열한 것과 일치합니다. 카네이션 총수 $25,22,19,16,13,10,7,4,1$ 은 $r$ 이 $2$ 씩 오를 때마다 $3$ 씩 내려갑니다(장미가 두 송이 늘면 $6$ 달러가 더 들고, 이는 카네이션 세 송이가 줄어드는 것이기 때문입니다). 모두 정수이고 음수가 아니므로 잘못 넣거나 뺀 조합은 없습니다. 답 $9$ 는 선택지 (C)입니다. 이는 너무 적은 $1$ 과, 홀수 장미까지 잘못 세는 $17$ 사이에 알맞게 놓입니다.
대안 접근: 카네이션을 기준으로 세도 됩니다. 카네이션에 대해 풀면 $c=\dfrac{50-3r}{2}$ 이므로 $50-3r$ 이 짝수여야 하고, 이는 다시 $r$ 이 짝수임을 강제합니다. 또는 $50$ 이하의 짝수인 $3$ 의 배수($0,6,12,\dots,48$)를 나열하면, 각각이 카네이션으로 채울 짝수 나머지를 남기고 그런 배수가 $9$ 개이므로 같은 개수가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수를 사용하여 수를 나타내고 식을 세워 문제를 해결한다 (장미와 카네이션의 개수를 $r$, $c$ 로 두고 $3r+2c=50$ 을 세우는 데 사용.)2.OA.C.3물건의 묶음이 홀수 개인지 짝수 개인지 판단한다 (홀짝 추론으로 $3r$ 이 짝수여야 함을, 따라서 $r$ 이 짝수여야 함을 보이는 데 사용.)6.EE.B.5방정식이나 부등식을 푸는 것을 값을 찾는 과정으로 이해한다 ($3r\le 50$ 으로 장미 수를 제한해 카네이션이 음수가 되지 않게 하는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수 또는 모양 패턴을 만든다 (짝수 장미 수 $0,2,\dots,16$ 을 나열하고 아홉 가지 유효한 꽃다발을 세는 데 사용.)
⭐ 지출을 하나의 식으로 바꾸고, 홀짝을 이용해 절반의 경우를 지운 다음, 나머지를 순서대로 나열해 세세요.
⭐ 지출을 하나의 식으로 바꾸고, 홀짝을 이용해 절반의 경우를 지운 다음, 나머지를 순서대로 나열해 세세요.
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