AMC 10 · 2009 · #1
학년 4 arithmetic unit-conversionmultiplesestimation guess-and-check ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
캔 하나에는 소다가 12온스 들어간다. 1갤런은 128온스다. 소다를 합쳐서 최소 128온스가 되게 하려면 필요한 캔의 최소 개수를 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 단위 살펴보기
이 문제는 두 단위를 연결한다. 캔당 온스와 필요한 총 온스다. 캔을 늘릴 때 온스가 어떻게 쌓이는지 따라가며, 자연수 개수의 캔을 128온스 목표와 비교해 목표에 도달하는 가장 작은 개수를 고른다.
1STEP 1
목표 세우기
캔 하나가 12온스이므로 캔 n개는 12 곱하기 n 온스이고, 이 값이 128 이상이어야 한다.
12 × n ≥ 128
캔이 많을수록 온스가 많아지므로 128에 닿을 만큼만 캔이 있으면 된다.
4.OA.A.3Analyze The Units2STEP 2
캔 10개 확인
캔 10개를 넣어 보면 12 곱하기 10은 120온스로 128보다 적어 모자란다.
12 × 10 = 120 ＜ 128
10은 깔끔한 추측이지만 믿기 전에 실제 온스를 확인한다.
4.NBT.B.5Guess And Check3STEP 3
캔 11개 확인
캔을 하나 더 넣으면 12 곱하기 11은 132온스로 128을 넘어 1갤런이 된다.
12 × 11 = 132 ≥ 128
캔 하나가 12온스를 더해 총량을 128 바로 위로 밀어 올린다.
4.NBT.B.5Guess And Check4STEP 4
충분한 가장 작은 개수 고르기
10개는 모자라고 11개는 충분하므로 1갤런에 닿는 가장 적은 캔은 11개, 즉 (E)다.
min{ n : 12n ≥ 128 } = 11
목표에 닿는 가장 작은 자연수 개수는 아직 모자랐던 지점 바로 다음이다.
목표에 닿는 가장 작은 정수는, 아직 모자랐던 수 바로 다음 수다.
▸ 왜?
캔이 하나 늘 때마다 같은 양이 더해지므로, 합계가 고른 걸음으로 오른다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
어떤 합계가 목표를 넘으면 그보다 큰 개수도 모두 넘으므로, 처음 넘는 것이 가장 작다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
정답
11
128온스인 1갤런은 12온스 캔 10개(120온스)보다 조금 많으므로 개수는 10을 살짝 넘어야 하고, 11이 딱 맞는다. 캔 11개는 132온스로 남는 소다가 4온스뿐이라 '간신히 충분한' 답과 어울린다. 더 작은 선택지 7, 8, 9, 10은 모두 128온스보다 적어 1갤런을 만들 수 없다.
💡핵심 정리
낱개로만 살 수 있을 때는 몇 개가 필요한지 구한 뒤 부족하지 않도록 올림한다.
- 목표 세우기
- 캔 10개 확인
- 캔 11개 확인
- 충분한 가장 작은 개수 고르기