AMC 10 · 2009 · #10

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
직각삼각형 ABC는 B에서 직각을 이룹니다. D는 B에서 빗변 AC에 내린 수선의 발이고, 빗변이 나뉜 두 조각은 AD = 3, DC = 4입니다. 삼각형 ABC의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 4\sqrt3$
(B)
$\ 7\sqrt3$
(C)
$\ 21$
(D)
$\ 14\sqrt3$
(E)
$\ 42$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

넓이를 구하려면 밑변과 그에 맞는 높이가 필요합니다. AC = AD + DC = 7이므로 밑변은 쉽게 정해지고, 진짜 풀어야 할 작은 문제는 높이 BD입니다. 직각에서 내린 수선은 큰 직각삼각형을 원래 삼각형과 닮은 두 개의 작은 직각삼각형으로 나누고, 그 닮음이 BD를 결정합니다. 그 조각을 먼저 풀고 합칩니다.

1STEP 1

수선으로 나누기

수선 BD가 ABC를 두 직각삼각형으로 나누고, 예각이 같아 삼각형 ABD와 BCD는 닮음입니다.

△ ABD ∼ △ BCD
2STEP 2

닮음으로 BD 제곱 구하기

대응변의 비에서 ADBD=BDDC\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}이므로, 교차하여 곱하면 BD2=3⋅4=12BD^2 = 3 \cdot 4 = 12입니다.

AD/BD = BD/DC → BD² = AD · DC = 3 · 4 = 12
3STEP 3

제곱근 구하기

길이는 양수이고 12=4⋅312 = 4 \cdot 3이므로, 완전제곱을 빼내면 BD=12=23BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}입니다.

BD = √(12) = √(4) √(3) = 2√(3)
4STEP 4

넓이 계산하기

밑변 AC=3+4=7AC = 3 + 4 = 7과 높이 BD로 넓이는 12⋅7⋅23=73\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}, 즉 (B)입니다.

Area = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 7 · 2√(3) = 7√(3)
정답
7√3
높이 BD = 2루트3은 약 3.46이고 밑변 AC는 7이므로, 넓이는 약 2분의 1 곱하기 7 곱하기 3.46, 즉 약 12.1입니다. 답 7루트3은 약 12.12로 일치합니다. 선택지를 확인하면 4루트3(약 6.9), 14루트3(약 24.2), 42는 너무 멀고, 21이 되려면 높이가 6에 가까워야 하는데 폭이 7인 삼각형 안에서 BD가 그렇게 될 수 없습니다. 오직 7루트3만 맞습니다.
💡핵심 정리

직각이 반대쪽 변으로 높이를 내리면, 그 높이는 자기가 나눈 두 조각의 기하평균입니다.

  • 수선으로 나누기
  • 닮음으로 BD 제곱 구하기
  • 제곱근 구하기
  • 넓이 계산하기

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