AMC 10 · 2009 · #10

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 $ABC$ 는 $B$ 에서 직각을 이룬다. 점 $D$ 는 $B$ 에서 내린 수선의 발이고, $AD=3$ , $DC=4$ 이다. $\triangle ABC$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4\sqrt3$

(B)

$\ 7\sqrt3$

(C)

$\ 21$

(D)

$\ 14\sqrt3$

(E)

$\ 42$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 ABC는 B에서 직각을 이룹니다. B에서 빗변 AC에 내린 수선의 발을 D라고 합니다. 빗변이 나뉜 두 조각은 AD = 3, DC = 4입니다. 삼각형 ABC의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 삼각형 ABC는 B에서 직각입니다.; D는 B에서 AC에 내린 수선의 발입니다.; AD = 3, DC = 4입니다.

구하는 것: 삼각형 ABC의 넓이.

이해

주어진 것: 삼각형 ABC는 B에서 직각입니다.; D는 B에서 AC에 내린 수선의 발입니다.; AD = 3, DC = 4입니다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

넓이를 구하려면 밑변과 그에 맞는 높이가 필요합니다. AC = AD + DC = 7이므로 밑변은 쉽게 정해지고, 진짜 풀어야 할 작은 문제는 높이 BD입니다. 직각에서 내린 수선은 큰 직각삼각형을 원래 삼각형과 닮은 두 개의 작은 직각삼각형으로 나누고, 그 닮음이 BD를 결정합니다. 그 조각을 먼저 풀고 합칩니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 1

수선으로 나누기

수선 BD는 직각에서 빗변 AC로 내려옵니다.
이것은 삼각형 ABC를 두 개의 작은 직각삼각형 ABD와 BCD로 나눕니다.
삼각형 ABD에서 A의 예각과 각 ABD를 더하면 90도이고, 전체 삼각형에서 A의 각과 C의 각을 더해도 90도입니다.
따라서 각 ABD는 각 C와 같고, 두 작은 삼각형은 모두 직각을 가집니다.
그래서 삼각형 ABD와 삼각형 BCD는 닮음입니다.

$$\triangle ABD \sim \triangle BCD$$

💡 직각에서 내린 수선은 언제나 원래 삼각형과 똑같이 생긴 두 개의 작은 삼각형을 만듭니다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 2

닮음으로 BD 제곱 구하기

닮은 삼각형에서 대응하는 변은 같은 비를 가집니다.
삼각형 ABD의 짧은 변 AD가 삼각형 BCD의 변 BD에 대응하고, 삼각형 ABD의 변 BD가 삼각형 BCD의 변 DC에 대응하도록 맞춥니다.
그러면 AD 대 BD는 BD 대 DC와 같습니다.
교차하여 곱하면 BD 곱하기 BD는 AD 곱하기 DC이므로, BD의 제곱은 3 곱하기 4, 즉 12입니다.

$$\frac{AD}{BD} = \frac{BD}{DC} \;\Rightarrow\; BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12$$

💡 빗변에 내린 수선은 그 수선이 나눈 두 조각의 기하평균입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

제곱근 구하기

BD는 길이이므로 12의 양의 제곱근입니다.
12는 4 곱하기 3이므로, 12의 제곱근은 4의 제곱근 곱하기 3의 제곱근, 즉 2 곱하기 3의 제곱근입니다.

$$BD = \sqrt{12} = \sqrt{4}\,\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

💡 완전제곱 인수를 근호 밖으로 빼내면 근호가 간단해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

넓이 계산하기

BD가 AC에 수직이므로 AC를 밑변으로, BD를 높이로 씁니다.
밑변은 AC = AD + DC = 3 + 4 = 7이고, 높이는 BD = 2 곱하기 3의 제곱근입니다.
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 2분의 1 곱하기 7 곱하기 2루트3, 즉 7루트3입니다.
답은 (B)입니다.

$$\text{Area} = \tfrac{1}{2}\cdot AC \cdot BD = \tfrac{1}{2}\cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$

💡 수선을 높이로, 빗변 전체를 밑변으로 삼으면 넓이는 그 둘을 곱한 값의 절반입니다.

[1] #7 8.G.A.4 수선 BD는 직각에서 빗변 AC로 내려옵니다. 이것은 삼각형 ABC를 두 개의 작은 직각삼각형 ABD와 BCD로 나눕니다. 삼각형 ABD에서 A

[2] #4 8.G.A.4 닮은 삼각형에서 대응하는 변은 같은 비를 가집니다. 삼각형 ABD의 짧은 변 AD가 삼각형 BCD의 변 BD에 대응하고, 삼각형 ABD의 변 B

[3] #7 8.EE.A.2 BD는 길이이므로 12의 양의 제곱근입니다. 12는 4 곱하기 3이므로, 12의 제곱근은 4의 제곱근 곱하기 3의 제곱근, 즉 2 곱하기 3의

[4] #7 6.G.A.1 BD가 AC에 수직이므로 AC를 밑변으로, BD를 높이로 씁니다. 밑변은 AC = AD + DC = 3 + 4 = 7이고, 높이는 BD = 2

검토

합리성 확인: 높이 BD = 2루트3은 약 3.46이고 밑변 AC는 7이므로, 넓이는 약 2분의 1 곱하기 7 곱하기 3.46, 즉 약 12.1입니다. 답 7루트3은 약 12.12로 일치합니다. 선택지를 확인하면 4루트3(약 6.9), 14루트3(약 24.2), 42는 너무 멀고, 21이 되려면 높이가 6에 가까워야 하는데 폭이 7인 삼각형 안에서 BD가 그렇게 될 수 없습니다. 오직 7루트3만 맞습니다.

대안 접근: 피타고라스 정리를 두 번 써서 변의 관계를 이용합니다. 각 변의 제곱은 그 변에 붙은 빗변 조각 곱하기 빗변 전체와 같습니다. AB의 제곱 = AD 곱하기 AC = 3 곱하기 7 = 21, BC의 제곱 = DC 곱하기 AC = 4 곱하기 7 = 28. 그러면 AB = 루트21, BC = 2루트7이고, 넓이는 2분의 1 곱하기 루트21 곱하기 2루트7 = 루트147 = 7루트3으로 같은 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (수선이 직각삼각형을 서로 닮은 두 작은 삼각형으로 나눔을 인식하고, 비례식 AD/BD = BD/DC에서 BD의 제곱 = 12를 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (12의 제곱근을 구해 2루트3으로 간단히 하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변 AC = 7과 높이 BD = 2루트3을 밑변 곱하기 높이의 2분의 1 공식에 넣는 데 사용.)

⭐ 직각이 반대쪽 변으로 높이를 내리면, 그 높이는 자기가 나눈 두 조각의 기하평균입니다.