AMC 10 · 2009 · #15

학년 6 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsequences-arithmeticsystematic-enumeration easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에 나타난 도형 $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ , $F_4$ 는 어떤 도형 수열의 처음 네 개이다. $n\ge3$ 일 때, $F_n$ 은 $F_{n - 1}$ 을 정사각형으로 둘러싸고, 새 정사각형의 각 변에 $F_{n - 1}$ 의 바깥쪽 정사각형 각 변에 있던 것보다 마름모를 하나씩 더 놓아 만든다. 예를 들어 도형 $F_3$ 에는 마름모가 $13$ 개 있다. 도형 $F_{20}$ 에는 마름모가 몇 개 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

401

(B)

485

(C)

585

(D)

626

(E)

761

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다이아몬드로 그림을 만든다. F_1은 다이아몬드 1개다. n이 3 이상일 때, F_n은 F_{n-1}을 새 정사각형 테두리로 감싸서 만드는데, 그 테두리는 F_{n-1}의 바깥 정사각형보다 각 변에 다이아몬드를 하나씩 더 놓는다. 개수는 F_1 = 1, F_2 = 5, F_3 = 13으로 늘어난다. F_20에 다이아몬드가 몇 개인지 구하라.

주어진 것: F_1은 다이아몬드 1개, F_2는 5개, F_3은 13개다.; n이 3 이상이면 F_n은 F_{n-1}을 새 정사각형 테두리로 감싼 것이다.; 새 테두리는 F_{n-1}의 바깥 정사각형보다 각 변에 다이아몬드가 하나씩 더 많다.; 그림은 F_1부터 F_4까지를 겹겹이 쌓인 다이아몬드 정사각형으로 보여 준다.

구하는 것: 그림 F_20에 들어 있는 다이아몬드의 개수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

F_20까지 스무 개의 그림을 다 그리는 것은 무리다. 그러니 개수가 한 그림에서 다음 그림으로 얼마나 늘어나는지 보는 것이 핵심이다. 그림과 만드는 규칙이 새 고리의 크기를 정확히 알려 준다. 그 고리 크기가 깔끔한 패턴을 이루면, 고리들을 하나의 식으로 더한 뒤 n = 20을 넣어 계산하면 그림을 그릴 필요가 없다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 1

그림에서 개수 읽기

처음 그림들을 보자.
F_1은 다이아몬드 1개다.
F_2는 작은 다이아몬드 정사각형으로 모두 5개다.
문제에 주어진 F_3은 13개다.
각 그림은 바로 앞 그림의 바깥에 새 정사각형 고리를 두른 것이고 안쪽은 바뀌지 않음을 알 수 있다.
그러니 할 일은 새 고리가 얼마나 큰지 재는 것뿐이다.

$$F_1 = 1,\quad F_2 = 5,\quad F_3 = 13$$

💡 각 그림은 앞 그림에 테두리만 더한 것이니 테두리만 따라가면 된다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

새 고리의 크기

규칙에 따르면 F_n의 새 테두리는 앞 테두리보다 각 변에 다이아몬드가 하나씩 더 많다.
변마다 세어 보면 F_2의 바깥 정사각형은 한 변에 2개, F_3은 3개, F_4는 4개이므로 F_n의 새 테두리는 한 변에 n개다.
한 변에 n개인 정사각형 테두리는 4n에서 4를 뺀 만큼의 다이아몬드를 갖는다.
네 모서리를 두 번 세지 않으려고 4를 빼기 때문이다.
그래서 F_n을 만들 때 4n - 4개가 더해진다.
확인하면 F_3은 4 곱하기 3 빼기 4 = 8개가 더해지고, 5 + 8 = 13로 맞는다.

$$\text{ring}(n) = 4n - 4;\qquad F_3 = 5 + (4\cdot 3 - 4) = 5 + 8 = 13$$

💡 한 변에 n개인 정사각형 테두리는 자리 4n개에서 두 변이 공유하는 모서리 4개를 뺀 것이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

고리를 모두 더해 식으로 만들기

F_1 = 1개에서 시작해 n까지 매 단계마다 고리를 하나씩 더한다.
고리들은 4(2) - 4, 4(3) - 4, ...
즉 4, 8, 12, ..., 4(n-1)이다.
4를 밖으로 빼면 더해진 총량은 4 곱하기 (1 + 2 + ...
+ (n-1))이다.
1 + 2 + ...
+ (n-1)은 (n-1)n을 2로 나눈 값이므로 더해진 부분은 4 곱하기 (n-1)n 나누기 2 = 2n(n-1)이다.
여기에 처음 다이아몬드 1개를 더하면 어떤 그림에도 쓸 수 있는 식이 나온다.

$$F_n = 1 + 4\bigl(1 + 2 + \cdots + (n-1)\bigr) = 1 + 4\cdot\frac{(n-1)n}{2} = 2n(n-1) + 1$$

💡 일정하게 커지는 고리들의 합은 하나의 삼각수 합으로 접힌다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 4

n = 20 대입

식에 n = 20을 넣는다.
그러면 2 곱하기 20 곱하기 19에 1을 더한 값이다.
먼저 20 곱하기 19는 380, 다시 2를 곱하면 760, 1을 더하면 761이다.
확인용으로 같은 식을 2 곱하기 20의 제곱 빼기 2 곱하기 20 더하기 1 = 800 - 40 + 1 = 761로도 읽을 수 있다.
따라서 F_20에는 761개의 다이아몬드가 있고, 답은 (E)다.

$$F_{20} = 2\cdot 20\cdot 19 + 1 = 760 + 1 = 761$$

💡 식이 있으면 스무 번째 그림은 스무 번 그리는 대신 한 번 대입으로 끝난다.

[1] #1 4.OA.C.5 처음 그림들을 보자. F_1은 다이아몬드 1개다. F_2는 작은 다이아몬드 정사각형으로 모두 5개다. 문제에 주어진 F_3은 13개다. 각 그림

[2] #5 4.OA.C.5 규칙에 따르면 F_n의 새 테두리는 앞 테두리보다 각 변에 다이아몬드가 하나씩 더 많다. 변마다 세어 보면 F_2의 바깥 정사각형은 한 변에 2

[3] #4 6.EE.B.6 F_1 = 1개에서 시작해 n까지 매 단계마다 고리를 하나씩 더한다. 고리들은 4(2) - 4, 4(3) - 4, ... 즉 4, 8, 12,

[4] #5 6.EE.A.1 식에 n = 20을 넣는다. 그러면 2 곱하기 20 곱하기 19에 1을 더한 값이다. 먼저 20 곱하기 19는 380, 다시 2를 곱하면 760

검토

합리성 확인: 개수는 2n의 제곱처럼 커지므로 n = 20 부근에서는 2 곱하기 400 = 800보다 조금 작아야 한다. 761이 바로 거기에 있고, 401과 485는 이렇게 깊은 그림에 비해 너무 작으며 626은 앞 그림들이 따르는 2n(n-1)+1 패턴에 맞지 않는다. 이 식은 알려진 값을 모두 재현한다. n = 1이면 1, n = 2이면 5, n = 3이면 13이므로 n = 20에서 761이라는 결과를 믿어도 좋다.

대안 접근: 가장 바깥부터 다이아몬드 고리를 두 색으로 번갈아 칠해 보자. F_20에서 한 색은 20 곱하기 20의 완전한 정사각형을 채우고 다른 색은 19 곱하기 19 정사각형을 채우므로 총합은 20의 제곱 + 19의 제곱 = 400 + 361 = 761이다. 이 중심 정사각형 관점은 고리를 더하지 않고도 같은 답을 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (그림에서 1, 5, 13을 읽고 만드는 규칙으로 각 그림이 바깥 정사각형 고리를 더함을 파악하기.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 세우기 (고리들 4(1 + 2 + ... + (n-1))를 더해 일반식 2n(n-1) + 1로 접기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 (식에 n = 20을 대입해 2(20)(19) + 1 = 761 계산하기.)

⭐ 단계마다 테두리가 점점 커지며 자라는 모양이면, 매 단계를 그리지 말고 테두리들을 하나의 식으로 더하자.