AMC 10 · 2009 · #15

학년 6 patterngeometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsequences-arithmeticsystematic-enumeration easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다이아몬드로 그림을 만든다. F₁은 다이아몬드 1개, F₂는 5개, F₃은 13개이다. n이 3 이상일 때, 그림 Fₙ은 바로 앞 그림 Fₙ₋₁을 새 정사각형 테두리로 둘러싸서 만들며, 그 테두리는 Fₙ₋₁의 바깥 정사각형보다 각 변에 다이아몬드를 하나씩 더 놓는다. F₂₀에는 다이아몬드가 몇 개 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

401

(B)

485

(C)

585

(D)

626

(E)

761

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

F₂₀까지 스무 개의 그림을 다 그리는 것은 무리다. 그러니 개수가 한 그림에서 다음 그림으로 얼마나 늘어나는지 보는 것이 핵심이다. 그림과 만드는 규칙이 새 고리의 크기를 정확히 알려 준다. 그 고리 크기가 깔끔한 패턴을 이루면, 고리들을 하나의 식으로 더한 뒤 n = 20을 넣어 계산하면 그림을 그릴 필요가 없다.

1STEP 1

그림에서 개수 읽기

각 그림은 앞 그림 바깥에 새 정사각형 고리를 두른 것이라 개수는 F₁ = 1, F₂ = 5, F₃ = 13이다.

F₁ = 1, F₂ = 5, F₃ = 13

2STEP 2

새 고리의 크기

Fₙ의 새 테두리는 한 변에 n개이므로 4n에서 모서리 4개를 뺀 4n - 4개가 늘어난다. F₃은 5 + 8 = 13이다.

ring(n) = 4n - 4; F₃ = 5 + (4 · 3 - 4) = 5 + 8 = 13

3STEP 3

고리를 모두 더해 식으로 만들기

F₁ = 1에 고리를 모두 더하면 1 + 4(1 + 2 + … + (n-1))이고, 삼각수 합이 접혀 Fₙ = 2n(n-1) + 1이 된다.

F_n = 1 + 4(1 + 2 + … + (n-1)) = 1 + 4·((n-1)n)/2 = 2n(n-1) + 1

4STEP 4

n = 20 대입

n = 20을 넣으면 2 · 20 · 19 + 1 = 760 + 1 = 761개이고, 답은 (E)다.

F₂₀ = 2 · 20 · 19 + 1 = 760 + 1 = 761

정답

761

개수는 2n의 제곱처럼 커지므로 n = 20 부근에서는 2 곱하기 400 = 800보다 조금 작아야 한다. 761이 바로 거기에 있고, 401과 485는 이렇게 깊은 그림에 비해 너무 작으며 626은 앞 그림들이 따르는 2n(n-1)+1 패턴에 맞지 않는다. 이 식은 알려진 값을 모두 재현한다. n = 1이면 1, n = 2이면 5, n = 3이면 13이므로 n = 20에서 761이라는 결과를 믿어도 좋다.

💡핵심 정리

단계마다 테두리가 점점 커지며 자라는 모양이면, 매 단계를 그리지 말고 테두리들을 하나의 식으로 더하자.

그림에서 개수 읽기
새 고리의 크기
고리를 모두 더해 식으로 만들기
n = 20 대입

그림에서 개수 읽기

새 고리의 크기

고리를 모두 더해 식으로 만들기

n = 20 대입

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