AMC 10 · 2009 · #17

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=4$ , $BC=3$ 이다. 점 $B$ 를 지나고 $DB$ 에 수직인 선분 $EF$ 를 그렸으며, $A$ 와 $C$ 는 각각 $DE$ 와 $DF$ 위에 있다. $EF$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 9$

(B)

$\ 10$

(C)

$\ \frac {125}{12}$

(D)

$\ \frac {103}{9}$

(E)

$\ 12$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: AB = 4, BC = 3 인 직사각형 ABCD 에서, 꼭짓점 B 를 지나면서 대각선 DB 에 수직인 직선 EF 를 긋는다. 변 DA 와 DC 를 연장하면 이 직선과 만나는데, A 는 선분 DE 위에, C 는 선분 DF 위에 놓인다. EF 의 길이를 구하라.

주어진 것: ABCD 는 AB = 4, BC = 3 인 직사각형이다; EF 는 B 를 지나고 대각선 DB 에 수직이다; A 는 선분 DE 위에, C 는 선분 DF 위에 있다

구하는 것: 선분 EF 의 길이

이해

주어진 것: ABCD 는 AB = 4, BC = 3 인 직사각형이다; EF 는 B 를 지나고 대각선 DB 에 수직이다; A 는 선분 DE 위에, C 는 선분 DF 위에 있다

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

EF 를 한 번에 재기는 어렵지만, 점 B 가 EF 를 EB 와 BF 두 조각으로 나눈다. 각 조각은 직사각형에서 만든 삼각형과 닮은 직각삼각형 안에 들어 있다. 그래서 그림을 그리고 대각선을 구한 뒤, 닮은 삼각형 문제 두 개를 풀어 조각을 더하는 계획을 세운다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

대각선 DB 구하기

대각선 DB 는 직사각형을 직각삼각형 DAB 로 자르고, 이 삼각형의 두 변은 DA = BC = 3, AB = 4 이다.
피타고라스 정리를 써서 DB 를 구한다.

$$DB=\sqrt{AB^2+DA^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

💡 3-4-5 직각삼각형의 빗변은 항상 5 이므로 대각선도 정확히 5 이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

B 에서 EF 나누기

DA 와 DC 가 직사각형의 서로 수직인 변이고 E 는 직선 DA 위, F 는 직선 DC 위에 있으므로 각 EDF 는 각 ADC = 90도 와 같다.
따라서 삼각형 DEF 는 D 에서 직각을 이루고, EF 에 수직인 DB 는 그 직각에서 내린 높이가 된다.
점 B 가 EF 를 두 부분으로 나누므로 EF = EB + BF 이며, 각 부분을 따로 구한다.

$$\angle EDF=\angle ADC=90^\circ,\qquad EF=EB+BF$$

💡 직사각형의 직각이 큰 삼각형의 직각이 되고, B 는 그 반대쪽 변을 두 조각으로 나눌 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 3

닮음으로 EB 구하기

삼각형 DAB 와 DBE 는 D 에서 각을 공유하고, 각각 직각(DAB 는 A, DBE 는 B)을 가지므로 서로 닮음이다.
대응하는 변으로 비례식을 세워 EB 를 구한다.

$$\triangle DAB\sim\triangle DBE\;\Rightarrow\;\frac{EB}{AB}=\frac{DB}{DA}\;\Rightarrow\;EB=\frac{4\cdot 5}{3}=\frac{20}{3}$$

💡 모양이 같은 삼각형은 변의 비가 같으므로, EB 는 DB 가 DA 보다 커진 만큼 AB 에서 늘어난다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 4

닮음으로 BF 구하기

같은 방식으로 삼각형 DCB 와 DBF 는 D 에서 각을 공유하고 각각 직각(DCB 는 C, DBF 는 B)을 가지므로 닮음이다.
DC = AB = 4, CB = 3 을 써서 대응 비례식으로 BF 를 구한다.

$$\triangle DCB\sim\triangle DBF\;\Rightarrow\;\frac{BF}{CB}=\frac{DB}{DC}\;\Rightarrow\;BF=\frac{3\cdot 5}{4}=\frac{15}{4}$$

💡 그림의 다른 절반은 변만 바꾼 같은 방법이므로, BF 는 DB 가 DC 보다 커진 만큼 CB 에서 늘어난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 5

두 조각 더하기

EB 와 BF 를 공통분모로 더해 전체 길이 EF 를 얻는다.
이는 보기 (C) 와 일치한다.

$$EF=\frac{20}{3}+\frac{15}{4}=\frac{80}{12}+\frac{45}{12}=\frac{125}{12}$$

💡 전체 선분은 두 조각을 다시 이어 붙인 것이므로 분수를 더하면 된다.

[1] #1 8.G.B.7 대각선 DB 는 직사각형을 직각삼각형 DAB 로 자르고, 이 삼각형의 두 변은 DA = BC = 3, AB = 4 이다. 피타고라스 정리를 써서

[2] #7 8.G.A.5 DA 와 DC 가 직사각형의 서로 수직인 변이고 E 는 직선 DA 위, F 는 직선 DC 위에 있으므로 각 EDF 는 각 ADC = 90도 와

[3] #4 8.G.A.4 삼각형 DAB 와 DBE 는 D 에서 각을 공유하고, 각각 직각(DAB 는 A, DBE 는 B)을 가지므로 서로 닮음이다. 대응하는 변으로 비례

[4] #4 8.G.A.4 같은 방식으로 삼각형 DCB 와 DBF 는 D 에서 각을 공유하고 각각 직각(DCB 는 C, DBF 는 B)을 가지므로 닮음이다. DC = AB

[5] #7 5.NF.A.1 EB 와 BF 를 공통분모로 더해 전체 길이 EF 를 얻는다. 이는 보기 (C) 와 일치한다.

검토

합리성 확인: EF = 125/12 는 약 10.4 로, 대각선 DB = 5 보다 조금 길고 직사각형의 어느 변보다도 크다. EF 가 A 와 C 를 모두 지나 바깥으로 뻗기 때문에 이는 타당하다. 보기 (C) = 125/12 가 맞으며, 가까운 함정인 10 이나 103/9 은 정확한 분수 계산으로 배제된다.

대안 접근: 높이-빗변 관계를 바로 쓸 수도 있다. 직각삼각형 DEF 에서 DB 는 빗변 EF 에 내린 높이이므로 넓이로부터 DE * DF = DB * EF 이다. 두 닮은 삼각형에서 DE = 25/3, DF = 25/4 를 구해 곱하면 같은 EF = 125/12 를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (두 변 3 과 4 로부터 대각선 DB = 5 를 계산)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (각 EDF = 각 ADC = 90도 임을 논증하여 DEF 가 직각삼각형임을 확인)
8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (EB 와 BF 를 주는 닮은 삼각형 비례식 세우기)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (20/3 과 15/4 를 더해 최종 길이 EF 구하기)

⭐ 대각선이 만나는 지점에서 수수께끼 선분을 자르고, 각 절반을 닮은꼴 직각삼각형에 맞춘 뒤 두 절반을 더하라.