AMC 10 · 2009 · #17
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
EF 를 한 번에 재기는 어렵지만, 점 B 가 EF 를 EB 와 BF 두 조각으로 나눈다. 각 조각은 직사각형에서 만든 삼각형과 닮은 직각삼각형 안에 들어 있다. 그래서 그림을 그리고 대각선을 구한 뒤, 닮은 삼각형 문제 두 개를 풀어 조각을 더하는 계획을 세운다.
대각선 DB 구하기
대각선 DB는 DA = 3, AB = 4인 직각삼각형 DAB를 잘라내므로 피타고라스 정리로 DB = 5입니다.
3-4-5 직각삼각형의 빗변은 항상 5 이므로 대각선도 정확히 5이다.
8.G.B.7Draw A DiagramB 에서 EF 나누기
각 EDF = 각 ADC = 90도이므로 삼각형 DEF는 D가 직각이고, 높이 DB의 발 B가 EF를 EB와 BF로 나눕니다.
직사각형의 직각이 큰 삼각형의 직각이 되고, B 는 그 반대쪽 변을 두 조각으로 나눌 뿐이다.
8.G.A.5Identify Subproblems닮음으로 EB 구하기
삼각형 DAB와 DBE는 D의 각이 같고 각각 직각을 가져 닮음이므로, 에서 입니다.
모양이 같은 삼각형은 변의 비가 같으므로, EB 는 DB 가 DA 보다 커진 만큼 AB 에서 늘어난다.
모양이 같은 삼각형은 변의 비가 같으므로, 아는 한 쌍이 나머지를 키워 준다.
▸ 왜?
각이 똑같은 삼각형은 대응하는 모든 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
▸ 왜?
직사각형의 평행한 변을 같은 직선이 자르면서 그 같은 각을 거저 내어 준다.
닮음으로 BF 구하기
반대쪽에서도 삼각형 DCB와 DBF가 같은 닮음을 이루어 , 즉 입니다.
그림의 다른 절반은 변만 바꾼 같은 방법이므로, BF 는 DB 가 DC 보다 커진 만큼 CB 에서 늘어난다.
8.G.A.4Introduce A Variable두 조각 더하기
공통분모로 더하면 , 즉 이고 보기 (C)입니다.
전체 선분은 두 조각을 다시 이어 붙인 것이므로 분수를 더하면 된다.
5.NF.A.1Identify Subproblems대각선이 만나는 지점에서 수수께끼 선분을 자르고, 각 절반을 닮은꼴 직각삼각형에 맞춘 뒤 두 절반을 더하라.
- 대각선 DB 구하기
- B 에서 EF 나누기
- 닮음으로 EB 구하기
- 닮음으로 BF 구하기
- 두 조각 더하기
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