AMC 10 · 2009 · #18

학년 7 rate-ratio

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

percentageset-partitionprinciple-of-inclusion-exclusion physical-representationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

제퍼슨 여름 캠프에서 아이들의 $60\%$ 는 축구를 하고, $30\%$ 는 수영을 하며, 축구를 하는 아이들의 $40\%$ 는 수영도 한다. 수영을 하지 않는 아이들 중 축구를 하는 아이들의 비율은 가장 가까운 정수 퍼센트로 몇 %인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 30\%$

(B)

$\ 40\%$

(C)

$\ 49\%$

(D)

$\ 51\%$

(E)

$\ 70\%$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여름 캠프에서 참가자의 60%가 축구를 하고, 30%가 수영을 한다. 또한 축구를 하는 사람의 40%가 수영을 한다. 수영을 하지 않는 참가자 중에서 축구를 하는 비율이 몇 %인지 가장 가까운 정수 퍼센트로 구하여라.

주어진 것: 참가자의 60%가 축구를 한다.; 참가자의 30%가 수영을 한다.; 축구를 하는 사람의 40%가 수영도 한다.

구하는 것: 수영을 하지 않는 참가자 중에서 축구를 하는 비율(가장 가까운 정수 퍼센트로 반올림).

이해

주어진 것: 참가자의 60%가 축구를 한다.; 참가자의 30%가 수영을 한다.; 축구를 하는 사람의 40%가 수영도 한다.

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #16 관점 바꾸기

겹치는 두 집단(축구와 수영)은 캠프를 네 영역으로 나눈다: 둘 다, 하나만, 둘 다 아님. 벤 다이어그램이 이 영역들을 정리해 준다. 퍼센트를 다루기 쉽게 하려고 캠프에 참가자가 정확히 100명 있다고 가정하면 각 퍼센트가 사람 수로 바뀐다. 문제는 수영을 하지 않는 사람을 묻고 있으므로, 마지막 단계에서 기준(분모)을 전체 캠프에서 수영을 하지 않는 사람으로 바꾼다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

참가자를 100명으로 가정

퍼센트가 사람 수가 되도록 전체 수를 정한다.
참가자가 100명이면 60명이 축구를 하고 30명이 수영을 한다.
100의 60%와 30%가 각각 60과 30이기 때문이다.

\text{축구} = 60, \quad \text{수영} = 30

💡 퍼센트는 100당 개수이므로, 100명을 고르면 모든 퍼센트가 곧바로 사람 수가 된다.

#12 벤 다이어그램 그리기 6.RP.A.3 단계 2

축구도 하고 수영도 하는 사람 세기

축구를 하는 사람의 40%가 수영을 한다.
축구를 하는 사람은 60명이고, 60의 40%는 24이다.
그래서 24명이 축구와 수영을 둘 다 한다.

$$0.40 \times 60 = 24$$

💡 40%는 축구 집단 안에서 잰 것이므로 100이 아니라 60의 40%를 구한다.

#12 벤 다이어그램 그리기 7.NS.A.3 단계 3

수영을 하지 않는 축구 선수

축구를 하는 60명 중 24명은 수영도 하므로 나머지는 수영을 하지 않는다.
60에서 24를 빼면 36명이 축구는 하지만 수영은 하지 않는다.

$$60 - 24 = 36$$

💡 축구를 하는 사람은 수영을 하거나 하지 않거나 둘 중 하나이므로, 수영하는 사람을 빼면 하지 않는 사람이 남는다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

수영을 하지 않는 사람 전체 세기

30명이 수영을 하므로 수영을 하지 않는 사람은 캠프의 나머지, 즉 100에서 30을 뺀 70명이다.

$$100 - 30 = 70$$

💡 수영을 하지 않는 사람은 수영하는 사람의 여집합이므로 전체 캠프에서 빼면 된다.

#16 관점 바꾸기 7.RP.A.3 단계 5

수영을 하지 않는 사람 중의 비율 구하기

이제 수영을 하지 않는 70명만 본다.
그중 36명이 축구를 한다.
퍼센트로 나타내면 36을 70으로 나눈 값으로, 약 0.5143, 즉 51.43%이다.
가장 가까운 정수 퍼센트로 반올림하면 51%이다.
답은 (D)이다.

$$\frac{36}{70} \approx 0.5143 = 51.43\% \approx 51\%$$

💡 문제는 분모를 전체 캠프에서 수영을 하지 않는 사람으로 바꾸므로 100이 아니라 70으로 나눈다.

[1] #9 6.RP.A.3 퍼센트가 사람 수가 되도록 전체 수를 정한다. 참가자가 100명이면 60명이 축구를 하고 30명이 수영을 한다. 100의 60%와 30%가 각각

[2] #12 6.RP.A.3 축구를 하는 사람의 40%가 수영을 한다. 축구를 하는 사람은 60명이고, 60의 40%는 24이다. 그래서 24명이 축구와 수영을 둘 다 한다

[3] #12 7.NS.A.3 축구를 하는 60명 중 24명은 수영도 하므로 나머지는 수영을 하지 않는다. 60에서 24를 빼면 36명이 축구는 하지만 수영은 하지 않는다.

[4] #16 6.RP.A.3 30명이 수영을 하므로 수영을 하지 않는 사람은 캠프의 나머지, 즉 100에서 30을 뺀 70명이다.

[5] #16 7.RP.A.3 이제 수영을 하지 않는 70명만 본다. 그중 36명이 축구를 한다. 퍼센트로 나타내면 36을 70으로 나눈 값으로, 약 0.5143, 즉 51.

검토

합리성 확인: 벤 다이어그램의 네 영역은 24(축구와 수영), 36(축구만), 6(수영만), 34(둘 다 아님)이고, 24 + 36 + 6 + 34 = 100이므로 캠프 인원과 맞는다. 수영을 하지 않는 70명 중 36명이면 절반을 조금 넘으므로, 50%보다 조금 큰 51%가 타당하다. 함정 선택지인 49%는 절반보다 작으므로 틀렸다.

대안 접근: 다이어그램 없이 전체 캠프 기준 퍼센트로 바로 계산할 수도 있다: 축구와 수영을 둘 다 하는 비율은 60%의 40% = 24%이므로, 축구만 하는 비율은 60% - 24% = 36%이고, 수영을 하지 않는 비율은 100% - 30% = 70%이다. 따라서 36%/70% = 36/70 ≈ 51%.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (각 퍼센트를 100당 개수로 다루고, 축구를 하는 60명의 40%를 구하는 데 사용.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (수영을 하지 않는 축구 선수 수와 수영을 하지 않는 참가자 수를 빼서 구하는 데 사용.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (36/70 비율을 퍼센트로 바꾸고 가장 가까운 정수로 반올림하는 데 사용.)

⭐ 더 작은 집단에 대한 퍼센트를 물으면, 나누기 전에 분모를 그 집단의 크기로 바꿔라.