AMC 10 · 2009 · #2

학년 2 number-theory

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multiplesmental-arithmetic systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

저금통에서 동전 4개를 꺼낸다. 저금통에는 1센트(페니), 5센트(니켈), 10센트(다임), 25센트(쿼터)가 들어 있고 같은 종류를 여러 개 꺼내도 된다. 15, 25, 35, 45, 55센트 중 동전 4개로 결코 만들 수 없는 총액이 무엇인지 정하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

'만들 수 없는 것'을 고르는 다섯 개짜리 유한한 문제이므로, 자연스러운 방법은 도구 #3이다. 만들 수 있는 총액을 실제로 만들어 지워 나가면 저항하는 하나가 남는다. 다섯 중 넷은 덧셈 한 줄로 만들어진다. 남는 하나에 대해서는 도구 #8(단위 살펴보기)로 동전들을 5의 배수로 읽어 페니가 필요함을 보이고, 도구 #14(극단의 원리)로 페니 없는 동전 4개가 만들 수 있는 가장 작은 총액을 짚어 그 하나가 닿을 수 없음을 증명한다.

1STEP 1

동전 값 적기

페니는 1, 니켈은 5, 다임은 10, 쿼터는 25센트이니, 동전 4개는 이 값 네 개를 더하는 것이다.

페니=1, 니켈=5, 다임=10, 쿼터=25

2STEP 2

나머지 네 총액 만들기

동전 4개로 25=10+5+5+5, 35=10+10+10+5, 45=25+10+5+5, 55=25+10+10+10이니 (B)~(E)는 지운다.

25=10+5+5+5, 35=10+10+10+5, 45=25+10+5+5, 55=25+10+10+10

3STEP 3

15는 페니가 0개여야 한다

15만 남았다. 니켈, 다임, 쿼터도 15도 모두 5의 배수이니, 쓸 수 있는 페니는 0개뿐이다.

5, 10, 25는 5의 배수; 15는 5의 배수 → 페니 수=0

4STEP 4

니켈 넷이 벌써 15를 넘는다

페니가 없으면 최솟값은 니켈 넷인 5+5+5+5=20센트로 15보다 크니, 15는 불가능하고 답은 (A)이다.

5+5+5+5=20 ＞ 15 → 15 불가능 → (A)

정답

우리가 만든 네 총액 25, 35, 45, 55는 모두 20 이상이고 모두 5로 세는 수여서, 이 동전들이 지키는 두 규칙에 들어맞는다. 오직 15만 규칙을 깬다. 5의 배수라 페니를 쓸 수 없는데, 페니 없는 동전 4개는 20센트에서 시작해 15보다 크다. 그래서 15가 홀로 남는 답이고, (A)를 확인해 준다.

💡핵심 정리

니켈, 다임, 쿼터는 5씩만 뛰므로 넷이면 20센트에서 시작한다. 페니 없이는 15로 내려갈 수 없고, 페니를 쓰면 5로 세는 총액에서 벗어나 버린다.

동전 값 적기
나머지 네 총액 만들기
15는 페니가 0개여야 한다
니켈 넷이 벌써 15를 넘는다

동전 값 적기

나머지 네 총액 만들기

15는 페니가 0개여야 한다

니켈 넷이 벌써 15를 넘는다

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