AMC 10 · 2009 · #21

학년 8 geometry-2d

area-circlestangent-circlespythagorean-theoremratio-proportion convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 원 안에 똑같은 크기의 작은 원 네 개가 고리 모양으로 들어 있다. 각 작은 원은 큰 원에 안쪽에서 접하고, 이웃한 작은 원끼리도 서로 접한다. 작은 원 네 개의 넓이 합과 큰 원의 넓이의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3-2\sqrt2$

(B)

$\ 2-\sqrt2$

(C)

$\ 4(3-2\sqrt2)$

(D)

$\ \frac12(3-\sqrt2)$

(E)

$\ 2\sqrt2-2$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

실제 크기가 주어지지 않았고 답은 순수한 비이므로, 그림은 어떤 크기에서도 성립한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 작은 원의 반지름을 r라 두면 나머지 길이는 접함 조건으로 모두 결정되고, 마지막에 r가 약분되어 비는 하나의 수가 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 반지름을 그으면 두 원의 크기를 잇는 직각삼각형이 드러나고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 반지름 구하기, 두 넓이 쓰기, 나누기의 세 단계로 나눈다.

1STEP 1

작은 반지름에 이름 붙이기

작은 원의 반지름을 r라 하면 이웃한 두 중심 거리는 r+r이므로, 네 중심은 한 변이 2r인 정사각형을 이룬다.

이웃한 두 중심 사이 거리=r+r=2r

2STEP 2

중심 사이 거리 구하기

대칭에 의해 큰 원의 중심 O는 정사각형의 중심이므로 d²+d²=(2r)², 즉 d=r√2이다.

d²+d²=(2r)² → 2d²=4r² → d=r√2

3STEP 3

큰 반지름 만들기

안쪽 접함에서 O, 작은 중심, 접점이 일직선이므로 R=r√2+r=r(1+√2)이다.

R=r√2+r=r(1+√2)

4STEP 4

두 넓이 쓰기

작은 원 네 개의 합은 4π r², 큰 원은 π r²(1+√2)²=π r²(3+2√2)이다.

4π r² 그리고 π r²(1+√2)²=π r²(3+2√2)

5STEP 5

나누고 답 정리하기

π r²이 약분되어 4/(3+2√2)이고, 3-2√2를 위아래에 곱하면 분모가 1이 되어 4(3-2√2), 즉 (C)이다.

4/(3+2√2)·(3-2√2)/(3-2√2)=(4(3-2√2))/(9-8)=4(3-2√2) → (C)

정답

4(3-2√2)

√2≈1.414로 어림하면 비는 4(3-2√2)≈4(3-2.828)=4(0.172)=0.686이다. 즉 작은 원 네 개가 큰 원의 약 69%를 덮고, 원들 사이와 테두리 쪽 빈 공간이 약 31% 남는다. 큰 원 하나 안에 작은 원 네 개가 있을 때 있을 법한 빈 공간 양이고, 넓이 비이므로 반드시 0과 1 사이에 있어야 한다는 점과도 맞는다. 반지름 수치로도 확인하면, r=1일 때 R=1+√2≈2.414, 작은 원 넓이 합 ≈12.57, 큰 원 넓이 ≈18.30, 비 ≈0.687로 (C)와 일치한다.

💡핵심 정리

작은 원의 반지름을 r로 두면 접함 조건이 나머지 길이를 모두 정해 주고, 넓이를 나눌 때 r가 약분되어 비의 모양만 남는다.

작은 반지름에 이름 붙이기
중심 사이 거리 구하기
큰 반지름 만들기
두 넓이 쓰기
나누고 답 정리하기

작은 반지름에 이름 붙이기

중심 사이 거리 구하기

큰 반지름 만들기

두 넓이 쓰기

나누고 답 정리하기

비슷한 유형 더 풀어보기