AMC 10 · 2009 · #21

학년 8 geometry-2d

area-circlestangent-circlespythagorean-theoremratio-proportion convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

많은 고딕 양식 대성당의 창문에는, 하나의 큰 원으로 둘러싸인 합동인 작은 원들이 고리 모양을 이루는 부분이 있다. 그림에서 작은 원의 개수는 네 개이다. 네 작은 원의 넓이의 합과 큰 원의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3-2\sqrt2$

(B)

$\ 2-\sqrt2$

(C)

$\ 4(3-2\sqrt2)$

(D)

$\ \frac12(3-\sqrt2)$

(E)

$\ 2\sqrt2-2$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 원 안에 똑같은 크기의 작은 원 네 개가 고리 모양으로 들어 있다. 각 작은 원은 큰 원에 안쪽에서 접하고, 이웃한 작은 원끼리도 서로 접한다. 작은 원 네 개의 넓이 합과 큰 원의 넓이의 비를 구하여라.

주어진 것: 합동인 작은 원 네 개가 고리 모양으로 배열되어 있다; 각 작은 원은 큰 원에 안쪽에서 접한다; 이웃한 작은 원끼리 서로 접한다; 그림에서 작은 원들의 중심은 큰 원 중심의 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽 방향에 놓여 있다; 보기: (A) $3-2\sqrt2$, (B) $2-\sqrt2$, (C) $4(3-2\sqrt2)$, (D) $\tfrac12(3-\sqrt2)$, (E) $2\sqrt2-2$

구하는 것: (작은 원 네 개의 넓이 합) : (큰 원의 넓이) 의 비

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

실제 크기가 주어지지 않았고 답은 순수한 비이므로, 그림은 어떤 크기에서도 성립한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 작은 원의 반지름을 $r$라 두면 나머지 길이는 접함 조건으로 모두 결정되고, 마지막에 $r$가 약분되어 비는 하나의 수가 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 반지름을 그으면 두 원의 크기를 잇는 직각삼각형이 드러나고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 반지름 구하기, 두 넓이 쓰기, 나누기의 세 단계로 나눈다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

작은 반지름에 이름 붙이기

작은 원의 반지름을 $r$라 하자.
이웃한 두 작은 원이 접하므로 두 중심을 잇는 선분은 접점을 지나고, 그 길이는 두 반지름을 더한 것과 같다: $r+r=2r$.
따라서 이웃한 두 중심 사이의 거리는 정확히 $2r$이다.
그림의 네 겹 대칭에 의해 네 중심은 한 변이 $2r$인 정사각형의 꼭짓점을 이룬다.

$$\text{이웃한 두 중심 사이 거리}=r+r=2r$$

💡 두 원이 딱 접하면 두 중심 사이 간격은 두 반지름을 이어 놓은 길이가 된다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

중심 사이 거리 구하기

큰 원의 중심 $O$를 그리면, 대칭에 의해 $O$는 작은 원 중심들이 만드는 정사각형의 한가운데다.
이웃한 두 중심 $P$(오른쪽)와 $Q$(위쪽)를 잡으면 삼각형 $OPQ$는 $O$에서 직각이고, $OP=OQ$(각각 $d$라 하자), 빗변은 $PQ=2r$이다.
피타고라스 정리로 $d^2+d^2=(2r)^2$, 즉 $2d^2=4r^2$이므로 $d=r\sqrt2$이다.
따라서 각 작은 중심은 $O$에서 거리 $r\sqrt2$만큼 떨어져 있다.

$$d^2+d^2=(2r)^2 \;\Rightarrow\; 2d^2=4r^2 \;\Rightarrow\; d=r\sqrt2$$

💡 정사각형의 중심에서 꼭짓점까지는 대각선의 절반이고, 피타고라스 정리는 이를 반변의 $\sqrt2$배로 바꿔 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 3

큰 반지름 만들기

$O$에서 작은 중심을 지나 그 작은 원이 큰 원과 닿는 점까지 직선을 따라간다.
두 원이 안쪽에서 접하므로 $O$, 작은 중심, 접점은 일직선 위에 있고, 따라서 큰 반지름 $R$는 중심 사이 거리에 작은 반지름 하나를 더한 것이다: $R=r\sqrt2+r$.
$r$로 묶으면 깔끔하다: $R=r(1+\sqrt2)$.

$$R=r\sqrt2+r=r(1+\sqrt2)$$

💡 바깥 테두리까지 가려면 중심에서 작은 원의 중심까지 간 뒤, 작은 반지름 하나만큼 더 가면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 넓이 쓰기

작은 원 네 개의 넓이 합은 $4\cdot\pi r^2$이다.
큰 원의 넓이는 $\pi R^2=\pi\big(r(1+\sqrt2)\big)^2=\pi r^2(1+\sqrt2)^2$이다.
제곱을 전개하면 $(1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2$이다.
따라서 큰 원의 넓이는 $\pi r^2(3+2\sqrt2)$이다.

$$4\pi r^2 \quad\text{그리고}\quad \pi r^2(1+\sqrt2)^2=\pi r^2(3+2\sqrt2)$$

💡 모든 원의 넓이는 $\pi$ 곱하기 반지름의 제곱이라, 반지름을 제곱하는 것만 실제 계산이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

나누고 답 정리하기

비를 구하면 $\pi r^2$이 약분되어 크기가 상관없었음이 확인된다: $\dfrac{4\pi r^2}{\pi r^2(3+2\sqrt2)}=\dfrac{4}{3+2\sqrt2}$.
분모의 근호를 없애려고 분자와 분모에 $3-2\sqrt2$를 곱한다.
분모는 $(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=9-8=1$이 되므로 비는 $4(3-2\sqrt2)$이다.
이것이 보기 (C)이다.

$$\dfrac{4}{3+2\sqrt2}\cdot\dfrac{3-2\sqrt2}{3-2\sqrt2}=\dfrac{4(3-2\sqrt2)}{9-8}=4(3-2\sqrt2)\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 켤레를 곱하면 $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$가 되어 $\sqrt2$ 항이 정수로 바뀐다.

[1] #4 6.EE.B.6 작은 원의 반지름을 $r$라 하자. 이웃한 두 작은 원이 접하므로 두 중심을 잇는 선분은 접점을 지나고, 그 길이는 두 반지름을 더한 것과 같다

[2] #1 8.G.B.7 큰 원의 중심 $O$를 그리면, 대칭에 의해 $O$는 작은 원 중심들이 만드는 정사각형의 한가운데다. 이웃한 두 중심 $P$(오른쪽)와 $Q$(

[3] #7 7.EE.A.1 $O$에서 작은 중심을 지나 그 작은 원이 큰 원과 닿는 점까지 직선을 따라간다. 두 원이 안쪽에서 접하므로 $O$, 작은 중심, 접점은 일직선

[4] #7 7.G.B.4 작은 원 네 개의 넓이 합은 $4\cdot\pi r^2$이다. 큰 원의 넓이는 $\pi R^2=\pi\big(r(1+\sqrt2)\big)^2=

[5] #7 8.EE.A.2 비를 구하면 $\pi r^2$이 약분되어 크기가 상관없었음이 확인된다: $\dfrac{4\pi r^2}{\pi r^2(3+2\sqrt2)}=\d

검토

합리성 확인: $\sqrt2\approx1.414$로 어림하면 비는 $4(3-2\sqrt2)\approx4(3-2.828)=4(0.172)=0.686$이다. 즉 작은 원 네 개가 큰 원의 약 69%를 덮고, 원들 사이와 테두리 쪽 빈 공간이 약 31% 남는다. 큰 원 하나 안에 작은 원 네 개가 있을 때 있을 법한 빈 공간 양이고, 넓이 비이므로 반드시 0과 1 사이에 있어야 한다는 점과도 맞는다. 반지름 수치로도 확인하면, $r=1$일 때 $R=1+\sqrt2\approx2.414$, 작은 원 넓이 합 $\approx12.57$, 큰 원 넓이 $\approx18.30$, 비 $\approx0.687$로 (C)와 일치한다.

대안 접근: 변수를 두지 않고 그려진 그림을 그대로 읽으면 작은 반지름이 $1$이고 중심들이 한가운데에서 거리 $\sqrt2$에 있다. 그러면 큰 반지름은 $1+\sqrt2$, 작은 원들의 합은 $4\pi$, 큰 원은 $\pi(1+\sqrt2)^2=\pi(3+2\sqrt2)$이고, 비 $\dfrac{4\pi}{\pi(3+2\sqrt2)}=\dfrac{4}{3+2\sqrt2}=4(3-2\sqrt2)$로 똑같이 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (작은 반지름을 $r$로 두고 이웃한 중심 사이 거리를 $2r$로 쓴다.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (한 변이 $2r$인 직각이등변삼각형에서 중심 사이 거리 $r\sqrt2$를 얻는다.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($r\sqrt2+r$를 더하고 $r(1+\sqrt2)$로 묶어 큰 반지름을 만든다.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (작은 원 네 개의 넓이를 $4\pi r^2$, 큰 원의 넓이를 $\pi R^2$로 쓴다.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($(1+\sqrt2)^2$을 전개하고 $\dfrac{4}{3+2\sqrt2}$를 유리화하여 $4(3-2\sqrt2)$로 만든다.)

⭐ 작은 원의 반지름을 $r$로 두면 접함 조건이 나머지 길이를 모두 정해 주고, 넓이를 나눌 때 $r$가 약분되어 비의 모양만 남는다.