AMC 10 · 2009 · #23

학년 8 geometry-2d

area-trianglessimilar-trianglesratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

볼록사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 9$ , $CD = 12$ 이다. 대각선 $AC$ 와 $BD$ 는 점 $E$ 에서 만나고, $AC = 14$ 이며, $\triangle AED$ 와 $\triangle BEC$ 의 넓이가 같다. $AE$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {9}{2}$

(B)

$\frac {50}{11}$

(C)

$\frac {21}{4}$

(D)

$\frac {17}{3}$

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 볼록사각형 ABCD에서 변 AB = 9, CD = 12이다. 두 대각선 AC와 BD는 점 E에서 만나고, 대각선 AC의 전체 길이는 14이다. 대각선이 만들어 낸 삼각형 AED와 삼각형 BEC의 넓이가 서로 같다. 대각선 AC에서 A부터 교점까지의 길이 AE를 구하여라.

주어진 것: ABCD는 볼록사각형이고, 대각선 AC와 BD는 E에서 만난다.; AB = 9, CD = 12.; AC = 14이므로 AE + EC = 14.; 삼각형 AED와 삼각형 BEC의 넓이가 같다.

구하는 것: 길이 AE.

이해

주어진 것: ABCD는 볼록사각형이고, 대각선 AC와 BD는 E에서 만난다.; AB = 9, CD = 12.; AC = 14이므로 AE + EC = 14.; 삼각형 AED와 삼각형 BEC의 넓이가 같다.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

그림이 주어지지 않았으니 두 대각선을 포함한 사각형을 직접 그린다. 교점 E는 도형을 네 개의 삼각형으로 나누고, 넓이가 같다는 단서는 그 중 두 삼각형에 대한 것이다. 그림 위에서 공통 삼각형을 양쪽에 더하면 넓이 조건이 두 변이 평행하다는 사실로 바뀐다. 평행한 두 변은 닮은 삼각형 한 쌍을 만들어 주고, 변의 비가 문제를 마무리한다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

넓이가 같다는 조건을 평행으로 바꾸기

대각선은 ABCD를 네 개의 삼각형으로 나눈다.
넓이가 같은 두 삼각형 각각에 공통 삼각형 DEC를 더한다.
삼각형 AED에 삼각형 DEC를 더하면 삼각형 ADC가 되고, 삼각형 BEC에 삼각형 DEC를 더하면 삼각형 BDC가 된다.
처음에 AED와 BEC의 넓이가 같았으므로 합인 ADC와 BDC의 넓이도 같다.
삼각형 ADC와 BDC는 같은 밑변 DC 위에 있으므로 넓이가 같으면 높이도 같아야 한다.
즉 A와 B는 직선 DC로부터 같은 거리에 있고, 이는 AB가 DC에 평행할 때에만 일어난다.
따라서 ABCD는 AB와 DC가 평행한 사다리꼴이다.

$$[AED]=[BEC]\Rightarrow [AED]+[DEC]=[BEC]+[DEC]\Rightarrow [ADC]=[BDC]\Rightarrow AB\parallel DC$$

💡 같은 밑변 위에서 넓이가 같은 두 삼각형은 높이가 같아야 하므로, 반대쪽 꼭짓점은 그 밑변에 평행한 직선 위에 놓인다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 2

닮은 삼각형 읽어내기

대각선이 만나는 곳에서 생기는 삼각형 ABE와 CDE를 본다.
AB가 DC에 평행하므로 대각선 AC는 두 평행선을 가로지르는 직선이 되어 각 BAE와 각 DCE가 같다(엇각).
대각선 BD에 대해 같은 논리를 쓰면 각 ABE와 각 CDE가 같다.
두 쌍의 각이 같으면 충분하므로 삼각형 ABE는 삼각형 CDE와 닮음이다.

$$AB\parallel DC\Rightarrow \angle BAE=\angle DCE,\ \angle ABE=\angle CDE\Rightarrow \triangle ABE\sim\triangle CDE$$

💡 평행한 변을 대각선이 가로지르면 서로 대응하는 각이 생기고, 각이 같으면 두 삼각형은 크기만 다른 닮은꼴이다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 3

닮음비 세우기

이 닮음에서 변 AB는 변 CD에, 변 AE는 변 CE에, 변 BE는 변 DE에 대응한다.
따라서 이 쌍들은 모두 하나의 닮음비를 공유한다.
그 비는 AB 대 CD, 즉 9 대 12이고 3 대 4이다.
그러므로 AE 대 CE도 3 대 4이다.

$$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

💡 닮은 삼각형은 대응하는 모든 변을 같은 비로 줄이므로, 아는 한 쌍이 나머지 비를 결정한다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 4

AC를 3 대 4로 나누기

이제 AE와 CE는 대각선 AC를 나눈 두 조각이고, 길이가 3 대 4의 비를 이룬다.
AE를 3t, CE를 4t로 두자.
두 조각의 합은 전체 대각선 14이므로 3t 더하기 4t는 7t이고 이것이 14와 같아 t는 2이다.
그러면 AE는 3 곱하기 2인 6이다.
따라서 답은 (E)이다.

$$AE=3t,\ CE=4t,\ 3t+4t=14\Rightarrow t=2\Rightarrow AE=3t=6$$

💡 전체를 정해진 비로 나눌 때는 똑같은 부분이 몇 개인지 세어 전체를 나눠 가지면 된다.

[1] #7 6.G.A.1 대각선은 ABCD를 네 개의 삼각형으로 나눈다. 넓이가 같은 두 삼각형 각각에 공통 삼각형 DEC를 더한다. 삼각형 AED에 삼각형 DEC를 더

[2] #1 8.G.A.5 대각선이 만나는 곳에서 생기는 삼각형 ABE와 CDE를 본다. AB가 DC에 평행하므로 대각선 AC는 두 평행선을 가로지르는 직선이 되어 각 B

[3] #4 8.G.A.4 이 닮음에서 변 AB는 변 CD에, 변 AE는 변 CE에, 변 BE는 변 DE에 대응한다. 따라서 이 쌍들은 모두 하나의 닮음비를 공유한다. 그

[4] #4 7.RP.A.3 이제 AE와 CE는 대각선 AC를 나눈 두 조각이고, 길이가 3 대 4의 비를 이룬다. AE를 3t, CE를 4t로 두자. 두 조각의 합은 전체

검토

합리성 확인: AE = 6이면 CE = 8이고, 6 + 8 = 14로 AC와 맞으며 6 대 8은 3 대 4로 약분되어 조건에 부합한다. 또한 AE가 더 짧은 조각인 것도 자연스럽다. AB(9)가 CD(12)보다 짧으니 교점은 짧은 변 AB에 더 가깝게 놓여 AE < CE가 되어야 하는데 실제로 6 < 8이다. 반올림 없이 보기의 값에 정확히 떨어지는 것도 깔끔한 AMC 답의 특징이다.

대안 접근: 사다리꼴 그림을 쓰지 않고 사인 넓이 공식으로도 풀 수 있다. 삼각형 AED와 BEC는 각각 E에서 각을 이루고 그 각은 맞꼭지각이라 같다. 넓이가 같으므로 (1/2)(AE)(ED)sin = (1/2)(BE)(EC)sin이고, 따라서 AE 곱하기 ED가 BE 곱하기 EC와 같아 AE/EC = BE/ED이다. 그러면 삼각형 AEB와 DEC(E에서 맞꼭지각이 같고 AE/EC = BE/ED)가 닮음이 되어 비는 AB/CD = 9/12 = 3/4, 즉 AE/EC = 3/4이고 AE = (3/7)(14) = 6으로 같은 답을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 도형을 합치고 나누어 삼각형 등의 넓이 구하기 (넓이가 같은 두 삼각형에 공통 삼각형 DEC를 더해 삼각형 ADC와 BDC의 넓이를 비교하고, 같은 밑변에서 넓이가 같으면 높이도 같다는 사실을 사용.)
8.G.A.5 각에 대한 비형식적 논증과 삼각형 닮음의 AA 판정 사용 (AB와 DC의 평행에서 엇각이 같음을 얻어 삼각형 ABE가 삼각형 CDE와 AA 닮음임을 결론.)
8.G.A.4 닮음 이해: 닮은 도형의 대응변은 비례한다 (삼각형 ABE와 CDE의 닮음을 AE/CE = AB/CD = 3/4의 비로 바꾸기.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비 문제 풀기 (AC의 길이 14를 3 대 4의 비로 나누어 AE = 6을 구하기.)

⭐ 삼각형 넓이가 같다는 조건 뒤에는 평행한 두 변이 숨어 있을 때가 많고, 평행한 변은 대응변이 한 비를 공유하는 닮은 삼각형을 만들어 준다.