AMC 10 · 2009 · #23
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림이 주어지지 않았으니 두 대각선을 포함한 사각형을 직접 그린다. 교점 E는 도형을 네 개의 삼각형으로 나누고, 넓이가 같다는 단서는 그 중 두 삼각형에 대한 것이다. 그림 위에서 공통 삼각형을 양쪽에 더하면 넓이 조건이 두 변이 평행하다는 사실로 바뀐다. 평행한 두 변은 닮은 삼각형 한 쌍을 만들어 주고, 변의 비가 문제를 마무리한다.
넓이가 같다는 조건을 평행으로 바꾸기
두 삼각형에 공통인 삼각형 DEC를 더하면 ADC와 BDC의 넓이가 같아지고, 밑변 DC가 같으니 높이도 같아 AB는 DC에 평행하다.
같은 밑변 위에서 넓이가 같은 두 삼각형은 높이가 같아야 하므로, 반대쪽 꼭짓점은 그 밑변에 평행한 직선 위에 놓인다.
같은 밑변 위에 있고 넓이도 같은 두 삼각형은, 먼 꼭짓점이 그 밑변에 평행한 직선 위에 있어야 한다.
▸ 왜?
밑변을 공유하며 넓이가 같으면 높이도 같아야 하고, 높이가 같다는 것은 평행하다는 뜻이다.
▸ 왜?
각 넓이는 밑변에 높이를 곱한 것의 절반이므로, 밑변이 정해지면 달라질 수 있는 것은 높이뿐이다.
닮은 삼각형 읽어내기
AB가 DC에 평행하므로 두 대각선이 만드는 엇각이 각각 같고, 삼각형 ABE는 CDE와 닮음이다.
평행한 변을 대각선이 가로지르면 서로 대응하는 각이 생기고, 각이 같으면 두 삼각형은 크기만 다른 닮은꼴이다.
8.G.A.5Draw A Diagram닮음비 세우기
닮음에서 AB는 CD에 대응하므로 닮음비는 9 대 12, 곧 3 대 4이고 AE 대 CE도 같다.
닮은 삼각형은 대응하는 모든 변을 같은 비로 줄이므로, 아는 한 쌍이 나머지 비를 결정한다.
8.G.A.4Introduce A VariableAC를 3 대 4로 나누기
AC의 두 조각을 3t와 4t로 두면 7t = 14에서 t = 2이므로 AE = 6이고 답은 (E)이다.
전체를 정해진 비로 나눌 때는 똑같은 부분이 몇 개인지 세어 전체를 나눠 가지면 된다.
7.RP.A.3Introduce A Variable삼각형 넓이가 같다는 조건 뒤에는 평행한 두 변이 숨어 있을 때가 많고, 평행한 변은 대응변이 한 비를 공유하는 닮은 삼각형을 만들어 준다.
- 넓이가 같다는 조건을 평행으로 바꾸기
- 닮은 삼각형 읽어내기
- 닮음비 세우기
- AC를 3 대 4로 나누기
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