AMC 10 · 2009 · #24
학년 7 geometry-3d정육면체의 서로 다른 세 꼭짓점을 무작위로 고른다. 이 세 꼭짓점으로 결정되는 평면이 정육면체 내부의 점들을 포함할 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정육면체의 꼭짓점 중 서로 다른 $3$개를 무작위로 고른다. 세 꼭짓점은 항상 하나의 평면을 정확히 결정한다. 이 평면이 겉면만 스치지 않고 정육면체 내부를 지나갈 확률을 구하라.
주어진 것: 정육면체에는 꼭짓점이 $8$개 있다.; 서로 다른 세 꼭짓점을 무작위로 고르며, 세 꼭짓점의 모든 조합은 똑같이 나올 가능성이 있다.; 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 평면을 정확히 하나 결정한다.
구하는 것: 고른 세 꼭짓점을 지나는 평면이 정육면체 내부를 지날 확률.
이해
문제 재정리: 정육면체의 꼭짓점 중 서로 다른 $3$개를 무작위로 고른다. 세 꼭짓점은 항상 하나의 평면을 정확히 결정한다. 이 평면이 겉면만 스치지 않고 정육면체 내부를 지나갈 확률을 구하라.
주어진 것: 정육면체에는 꼭짓점이 $8$개 있다.; 서로 다른 세 꼭짓점을 무작위로 고르며, 세 꼭짓점의 모든 조합은 똑같이 나올 가능성이 있다.; 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 평면을 정확히 하나 결정한다.
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #2 빠짐없이 나열하기
내부를 지나는 세 꼭짓점 조합을 직접 세는 것은 번거롭지만, 그 반대는 아주 적고 깔끔하다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심이다. 내부를 지나지 '않는' 조합을 세고 빼면 된다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 그림을 준다. 평면이 내부를 비껴가는 경우는 세 꼭짓점이 한 면 위에 있을 때뿐이라는 것이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 실제 세기를 맡아, 전체는 $\binom{8}{3}$, 겉면만 스치는 경우는 $6\times\binom{4}{3}$로 계산한다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 모든 꼭짓점 조합 세기
- 전체 그림부터 본다.
- 정육면체에는 꼭짓점이 $8$개 있고 그중 $3$개를 고른다.
- $8$개에서 $3$개를 고르는 방법의 수는 $\binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56$이다.
- 이 $56$이 똑같이 나올 수 있는 전체 경우의 수이자 확률의 분모다.
💡 똑같이 나올 수 있는 경우를 하나씩 빠짐없이 세면 공정한 분모가 된다.
6.G.A.4 단계 2 스치는 평면 알아보기
- 정육면체를 머릿속에 그려 본다.
- 고른 세 꼭짓점이 모두 한 면 위에 있으면 그 평면은 그 면 자체라서 겉면만 스치고 내부를 비껴간다.
- 세 꼭짓점이 한 면을 공유하지 않으면, 그들이 이루는 삼각형이 상자를 가로질러 뻗어야 하므로 평면이 내부를 지난다.
- 따라서 내부를 비껴가는 평면은 여섯 개의 면뿐이다.
💡 정육면체의 평평한 면만이 세 꼭짓점이 내부를 건드리지 않고 한 평면에 놓이는 유일한 경우다.
7.SP.C.8 단계 3 스치는 조합 세기
- 이제 우리가 원하는 것의 반대, 즉 평면이 겉면만 스치는 조합을 센다.
- 각 면은 꼭짓점 $4$개짜리 정사각형이고, 그 $4$개 중 어떤 $3$개도 그 면 위에 놓이므로 면 하나당 $\binom{4}{3}=4$개의 조합이 나온다.
- 정육면체에는 면이 $6$개이므로 스치는 조합은 $6\times 4=24$개다.
💡 스치는 평면은 모두 여섯 면 중 하나이므로, 면을 세면 내부를 지나지 않는 조합이 모두 세어진다.
7.SP.C.7 단계 4 여집합 취하기
- 겉면만 스치는(원하지 않는) 평면일 확률은 $\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$이다.
- 평면은 스치거나 내부를 지나거나 둘 중 하나이므로, 우리가 원하는 확률은 나머지 전부다: $1-\frac{3}{7}$.
💡 사건이 두 가지로만 나뉘면, 한 확률은 $1$에서 다른 확률을 뺀 값이다.
7.SP.C.5 단계 5 확률 마무리
- 빼면 $1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$이다.
- 유리한 조합을 직접 세어 확인할 수도 있다: $56-24=32$이고 $\frac{32}{56}=\frac{4}{7}$이다.
- 이는 보기 $\textbf{(C)}$와 일치한다.
💡 쉬운 스침 확률을 $1$에서 빼면 곧바로 관통 확률이 나온다.
7.SP.C.8 전체 그림부터 본다. 정육면체에는 꼭짓점이 $8$개 있고 그중 $3$개를 고른다. $8$개에서 $3$개를 고르는 방법의 수는 $\binom{8} 6.G.A.4 정육면체를 머릿속에 그려 본다. 고른 세 꼭짓점이 모두 한 면 위에 있으면 그 평면은 그 면 자체라서 겉면만 스치고 내부를 비껴간다. 세 꼭짓점 7.SP.C.8 이제 우리가 원하는 것의 반대, 즉 평면이 겉면만 스치는 조합을 센다. 각 면은 꼭짓점 $4$개짜리 정사각형이고, 그 $4$개 중 어떤 $3$개 7.SP.C.7 겉면만 스치는(원하지 않는) 평면일 확률은 $\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$이다. 평면은 스치거나 내부를 지나거나 둘 중 하나이 7.SP.C.5 빼면 $1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$이다. 유리한 조합을 직접 세어 확인할 수도 있다: $56-24=32$이고 $\frac{3 검토
합리성 확인: 유리한 경우의 수는 $56-24=32$이고 $\frac{32}{56}=\frac{4}{7}\approx 0.57$로, $0$과 $1$ 사이의 올바른 확률이다. 답이 절반보다 큰 것도 자연스럽다. 무작위로 고른 세 꼭짓점이 한 면에 모두 놓이는 일은 드물어서 대부분의 평면은 내부를 지나고, $\frac{4}{7}$은 실제로 $\frac{1}{2}$보다 조금 크다. 보기 (C)가 $\frac{4}{7}$로 일치한다.
대안 접근: 내부를 지나는 경우를 경우 나누기로 직접 셀 수도 있다. 첫 꼭짓점을 고정한 뒤 두 번째 꼭짓점을 거리로 분류한다: 모서리를 공유하는 경우, 한 면의 대각선 건너편, 정육면체의 긴 대각선 건너편. 각 경우에서 세 번째 꼭짓점이 평면을 내부로 관통시킬 확률을 구해 더하면 똑같이 $\frac{4}{7}$이 나온다. 여집합 방법이 더 짧은 이유는 내부를 지나지 않는 평면인 여섯 면이 세기 아주 쉽기 때문이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (전체 조합 $56$개와 한 면 위에 놓이는 조합 $24$개를 세는 데 사용.)6.G.A.4Represent three-dimensional figures using nets and find surface area (평면이 내부를 비껴가는 경우는 세 꼭짓점이 한 면을 공유할 때뿐임을 알아보는 데 사용.)7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (스침과 관통이 유일한 두 결과라는 여집합 규칙을 사용.)7.SP.C.5Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 ($1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$을 계산하고 올바른 확률인지 확인하는 데 사용.)
⭐ 정육면체의 세 꼭짓점은 모두 한 평평한 면 위에 있을 때만 내부를 비껴가는데, 그런 운 좋은 배열은 드물어서 대부분의 평면은 내부를 관통한다.
⭐ 정육면체의 세 꼭짓점은 모두 한 평평한 면 위에 있을 때만 내부를 비껴가는데, 그런 운 좋은 배열은 드물어서 대부분의 평면은 내부를 관통한다.
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