AMC 10 · 2009 · #24

학년 7 geometry-3d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiccomplementary-countingspatial-visualizationprobability-basic complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정육면체의 꼭짓점 중 서로 다른 3개를 무작위로 고른다. 세 꼭짓점은 항상 하나의 평면을 정확히 결정한다. 이 평면이 겉면만 스치지 않고 정육면체 내부를 지나갈 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{4}$

(B)

$\ \frac{3}{8}$

(C)

$\ \frac{4}{7}$

(D)

$\ \frac{5}{7}$

(E)

$\ \frac{3}{4}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

내부를 지나는 세 꼭짓점 조합을 직접 세는 것은 번거롭지만, 그 반대는 아주 적고 깔끔하다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심이다. 내부를 지나지 '않는' 조합을 세고 빼면 된다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 그림을 준다. 평면이 내부를 비껴가는 경우는 세 꼭짓점이 한 면 위에 있을 때뿐이라는 것이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 실제 세기를 맡아, 전체는 C(8, 3), 겉면만 스치는 경우는 6×C(4, 3)로 계산한다.

1STEP 1

모든 꼭짓점 조합 세기

정육면체 꼭짓점 8개에서 3개를 고르는 방법은 $C(8,3)$ =56이고, 이것이 확률의 분모입니다.

C(8, 3)=(8 · 7 · 6)/(3 · 2 · 1)=56

2STEP 2

스치는 평면 알아보기

세 꼭짓점이 한 면 위에 다 있으면 평면은 그 면 자체라 겉만 스치고, 아니면 상자를 가로질러 내부를 지납니다.

3STEP 3

스치는 조합 세기

정사각형 면마다 $C(4,3)=4$ 개씩이고 면이 6개이므로, 스치는 조합은 24개입니다.

6×C(4, 3)=6 × 4=24

4STEP 4

여집합 취하기

스칠 확률은 $\frac{24}{56}$ , 곧 $\frac{3}{7}$ 입니다. 평면은 스치거나 관통하므로 1에서 빼면 됩니다.

P(스침)=24/56=3/7, P(관통)=1-3/7

5STEP 5

확률 마무리

빼면 $\frac{4}{7}$ 이고, 직접 세어도 $56-24=32$ 로 $\frac{32}{56}$ 와 같아 보기 (C)입니다.

P(관통)=1-3/7=4/7=32/56 → (C)

정답

4/7

유리한 경우의 수는 56-24=32이고 32/56=4/7≈ 0.57로, 0과 1 사이의 올바른 확률이다. 답이 절반보다 큰 것도 자연스럽다. 무작위로 고른 세 꼭짓점이 한 면에 모두 놓이는 일은 드물어서 대부분의 평면은 내부를 지나고, 4/7은 실제로 1/2보다 조금 크다. 보기 (C)가 4/7로 일치한다.

💡핵심 정리

정육면체의 세 꼭짓점은 모두 한 평평한 면 위에 있을 때만 내부를 비껴가는데, 그런 운 좋은 배열은 드물어서 대부분의 평면은 내부를 관통한다.

모든 꼭짓점 조합 세기
스치는 평면 알아보기
스치는 조합 세기
여집합 취하기
확률 마무리

모든 꼭짓점 조합 세기

스치는 평면 알아보기

스치는 조합 세기

여집합 취하기

확률 마무리

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