AMC 10 · 2009 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

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📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 중 $1 + \frac {1}{1 + \frac {1}{1 + 1}}$ 과(와) 같은 것은 어느 것인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {5}{4}$

(B)

$\frac {3}{2}$

(C)

$\frac {5}{3}$

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 겹겹이 쌓인 (연)분수 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1}}$ 의 값을 구해 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.

주어진 것: 식 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1}}$; "$1 +$" 가 세 겹으로 쌓여 있고 맨 아래에 $1 + 1$ 이 있음; 보기: (A) $\frac{5}{4}$, (B) $\frac{3}{2}$, (C) $\frac{5}{3}$, (D) $2$, (E) $3$

구하는 것: 식 전체의 값 하나

이해

문제 재정리: 겹겹이 쌓인 (연)분수 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1}}$ 의 값을 구해 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

이렇게 쌓인 분수는 위에서부터 공략할 수 없어요. 맨 위의 $\frac{1}{\dots}$ 은 분모가 먼저 끝나야 하기 때문이죠. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 탑을 층별로 나눠서 가장 안쪽의 작은 문제부터 풀라고 말합니다. 여기서 가장 안쪽 문제는 그냥 $1 + 1$ 이에요. 그것이 수가 되면 그 위 분수를 계산할 수 있고, 그렇게 바깥으로 올라갑니다. 이 안쪽부터 바깥으로 가는 순서는 도구 #11(거꾸로 풀기)이기도 해요 — 가장 깊은 층이 사실 출발점이니까요. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 확인용입니다: 바깥의 "$1 +$ ($0$ 과 $1$ 사이의 값)" 구조 때문에 답은 반드시 $1$ 과 $2$ 사이에 있어야 합니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

가장 안쪽 층 벗기기

분수 막대는 숨은 괄호처럼 작동하므로 맨 아래부터 계산해야 합니다.
가장 깊은 분모는 $1 + 1$ 이고, 이는 그냥 $2$ 입니다.

$$1 + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$$

💡 분수 막대 아래에 있는 것은 사실 괄호 안에 있는 것과 같아서, 나누기 전에 먼저 끝내야 해요.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 2

한 층 올라가기

이제 다음 층 $1 + \frac{1}{2}$ 를 처리합니다.
$1$ 을 $\frac{2}{2}$ 로 써서 분모를 맞춘 뒤 더합니다.

$$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

💡 자연수에 분수를 더하려면 자연수를 같은 분모로 다시 써서 조각의 크기를 맞춰야 해요.

#11 거꾸로 풀기 6.NS.A.1 단계 3

가운데 분수 뒤집기

식은 이제 $1 + \frac{1}{\,3/2\,}$ 입니다.
$1$ 을 $\frac{3}{2}$ 로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같으므로 $\frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$ 입니다.

$$\frac{1}{\tfrac{3}{2}} = 1 \div \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad 1 + \frac{2}{3}$$

💡 분수로 나누는 것은 그 분수를 뒤집어 곱하는 것과 같아서, $\frac{3}{2}$ 분의 $1$ 은 그냥 $\frac{2}{3}$ 가 돼요.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

가장 바깥의 1 더하기

맨 위 층 $1 + \frac{2}{3}$ 를 마무리합니다.
$1$ 을 $\frac{3}{3}$ 으로 다시 써서 더하면 최종 값이 나오고, 이는 보기 (C)와 일치합니다.

$$1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad \textbf{(C)}$$

💡 같은 분모로 한 번 더 더하면 등반이 끝나요: $\frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

[1] #7 5.OA.A.1 분수 막대는 숨은 괄호처럼 작동하므로 맨 아래부터 계산해야 합니다. 가장 깊은 분모는 $1 + 1$ 이고, 이는 그냥 $2$ 입니다.

[2] #7 5.NF.A.1 이제 다음 층 $1 + \frac{1}{2}$ 를 처리합니다. $1$ 을 $\frac{2}{2}$ 로 써서 분모를 맞춘 뒤 더합니다.

[3] #11 6.NS.A.1 식은 이제 $1 + \frac{1}{\,3/2\,}$ 입니다. $1$ 을 $\frac{3}{2}$ 로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같으므

[4] #7 5.NF.A.1 맨 위 층 $1 + \frac{2}{3}$ 를 마무리합니다. $1$ 을 $\frac{3}{3}$ 으로 다시 써서 더하면 최종 값이 나오고, 이는

검토

합리성 확인: 바깥 부분은 $1 + ($0$ 과 $1$ 사이의 값$)$ 인데, 안쪽 분수 $\frac{2}{3}$ 이 진분수이기 때문입니다. 따라서 답은 반드시 $1$ 과 $2$ 사이에 있어야 하고, 이것만으로 (D) $2$ 와 (E) $3$ 이 바로 제거됩니다. 남은 $\frac{5}{4}=1.25$, $\frac{3}{2}=1.5$, $\frac{5}{3}\approx1.67$ 중 $1 + \frac{2}{3}$ 과 같은 것은 $\frac{5}{3}$ 뿐이므로 $\textbf{(C)}$ 가 확인됩니다.

대안 접근: 안쪽부터 소수로 바꿔도 됩니다: $1+1=2$, $1/2 = 0.5$, $1+0.5 = 1.5$, $1/1.5 = 0.6\overline{6}$, 마지막으로 $1 + 0.6\overline{6} = 1.6\overline{6} = \frac{5}{3}$. 답은 같지만 순환소수는 분수만큼 정확하지 않아서, 분수로 계산하는 편이 더 깔끔합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 수식에서 괄호를 사용하고 그 식을 계산하기 (각 분수 막대를 숨은 괄호로 읽고, 위층보다 먼저 가장 안쪽 분모 $1 + 1$ 을 계산하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (자연수를 공통분모로 다시 써서 $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 과 마지막 $1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ 을 계산하는 데 사용.)
6.NS.A.1 분수의 나눗셈을 해석하고 계산하기 (역수를 곱해 $1$ 을 $\frac{3}{2}$ 로 나누어 $\frac{2}{3}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 쌓인 분수는 탑이에요 — 맨 아래에서 시작해, 나누기 전에 각 분모를 먼저 끝내고, 한 층씩 올라가면 $\frac{5}{3}$ 에 도달합니다.