AMC 10 · 2009 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

겹겹이 쌓인 (연)분수 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1))의 값을 구하세요. 여기서 분수 막대는 그 아래에 적힌 것을 모두 묶습니다. 그 값을 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {5}{4}$

(B)

$\frac {3}{2}$

(C)

$\frac {5}{3}$

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이렇게 쌓인 분수는 위에서부터 공략할 수 없어요. 맨 위의 1/…은 분모가 먼저 끝나야 하기 때문이죠. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 탑을 층별로 나눠서 가장 안쪽의 작은 문제부터 풀라고 말합니다. 여기서 가장 안쪽 문제는 그냥 1 + 1 이에요. 그것이 수가 되면 그 위 분수를 계산할 수 있고, 그렇게 바깥으로 올라갑니다. 이 안쪽부터 바깥으로 가는 순서는 도구 #11(거꾸로 풀기)이기도 해요 — 가장 깊은 층이 사실 출발점이니까요. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 확인용입니다: 바깥의 "1 + (0과 1 사이의 값)" 구조 때문에 답은 반드시 1과 2 사이에 있어야 합니다.

1STEP 1

가장 안쪽 층 벗기기

분수 막대는 숨은 괄호라서 맨 아래부터 계산합니다. 가장 깊은 분모 1 + 1은 그냥 2입니다.

1 + 1 = 2 → 1 + 1/(1 + 1/2)

2STEP 2

한 층 올라가기

다음 층은 1 + 1/2입니다. 1을 2/2로 써서 분모를 맞추면 합은 3/2입니다.

1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2

3STEP 3

가운데 분수 뒤집기

이제 식은 1 + 1 ÷ 3/2입니다. 분수로 나누면 뒤집어 곱하므로 1 ÷ 3/2은 2/3입니다.

1/3/2 = 1 ÷ 3/2 = 1 · 2/3 = 2/3 → 1 + 2/3

4STEP 4

가장 바깥의 1 더하기

맨 위 층은 1 + 2/3 = 3/3 + 2/3 = 5/3이고, 이는 보기 (C)입니다.

1 + 2/3 = 3/3 + 2/3 = 5/3 → (C)

정답

5/3

바깥 부분은 1 + (0과 1 사이의 값)인데, 안쪽 분수 2/3이 진분수이기 때문입니다. 따라서 답은 반드시 1과 2 사이에 있어야 하고, 이것만으로 (D) 2와 (E) 3이 바로 제거됩니다. 남은 5/4=1.25, 3/2=1.5, 5/3≈1.67 중 1 + 2/3과 같은 것은 5/3뿐이므로 (C)가 확인됩니다.

💡핵심 정리

쌓인 분수는 탑이에요 — 맨 아래에서 시작해, 나누기 전에 각 분모를 먼저 끝내고, 한 층씩 올라가면 5/3에 도달합니다.

가장 안쪽 층 벗기기
한 층 올라가기
가운데 분수 뒤집기
가장 바깥의 1 더하기

가장 안쪽 층 벗기기

한 층 올라가기

가운데 분수 뒤집기

가장 바깥의 1 더하기

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