AMC 10 · 2009 · #5

학년 5 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitiondigit-sumperfect-squares easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

111111111은 1이 아홉 개 이어진 수이다. 이 수를 제곱하여 나온 결과의 모든 자릿수를 더한다. 그 자릿수의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 18$

(B)

$\ 27$

(C)

$\ 45$

(D)

$\ 63$

(E)

$\ 81$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

111111111을 곧바로 제곱하기는 부담스러우므로, 먼저 문제를 줄인다(도구 #9). 계산이 쉬운 작은 레퓨닛 11, 111, 1111을 제곱해 본다. 그 작은 제곱수들이 깔끔한 모양 — 올라갔다 다시 내려오며 세는 모양 — 을 드러내는데, 이것이 바로 도구 #5(패턴 찾기)가 필요한 지점이다. 패턴으로 전체 제곱수를 얻고 나면, 그 자릿수를 더하는 일이 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7). 1부터 9까지 올라갔다 다시 내려오는 이 배열은 완전제곱수로 더해진다.

1STEP 1

작은 레퓨닛 제곱하기

문제를 줄여 11, 111, 1111을 손으로 제곱해 보자. 각 결과는 앞뒤로 읽어도 같다.

11²=121, 111²=12321, 1111²=1234321

2STEP 2

올라갔다 내려오며 세는 패턴 찾기

결과를 나란히 놓으면 1, 121, 12321, 1234321이다. n이 9 이하면 1부터 n까지 올랐다 내려온다.

1, 121, 12321, 1234321, … → 1 → n 까지 올라갔다 1로 내려옴

3STEP 3

아홉 개의 1에 패턴 적용하기

여기서 n=9는 받아올림 직전의 마지막 경우이므로 제곱수는 12345678987654321이다.

111111111² = 12345678987654321

4STEP 4

자릿수 더하기

자릿수를 모두 더하면 1+2+…+9+…+2+1 = 36+9+36 = 81로 선택지 (E)이다.

1+2+…+9+…+2+1 = 9² = 81 (E)

정답

답 81은 선택지 중 하나이고, 9² — 곧 1의 개수의 제곱 — 과 같아 기억하기 쉬운 깔끔한 결과이다. 규모를 점검하면, 제곱수 12345678987654321은 17자리이고 평균 자릿수를 5쯤으로 잡으면 합이 약 85로 예상되는데 81이 바로 그 근처에 있다. 작은 경우들도 규칙을 확인해 준다. 111²=12321의 자릿수 합은 9=3²이고, 1111²=1234321의 자릿수 합은 16=4²이므로, 1이 아홉 개일 때 9²=81이 나오는 것은 이 계열에 정확히 들어맞는다.

💡핵심 정리

1이 이어진 수를 제곱하면 자릿수가 올라갔다 내려오며 세어지므로, 1이 아홉 개면 12345678987654321이 되고 그 자릿수 합은 9²=81이다.

작은 레퓨닛 제곱하기
올라갔다 내려오며 세는 패턴 찾기
아홉 개의 1에 패턴 적용하기
자릿수 더하기

작은 레퓨닛 제곱하기

올라갔다 내려오며 세는 패턴 찾기

아홉 개의 1에 패턴 적용하기

자릿수 더하기

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