AMC 10 · 2021 · #8

학년 5 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Coordinate Spiral Position

pattern-recognitionperfect-squaresspatial-visualizationsystematic-enumeration pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: perfect-squarespattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

Zhou 선생님이 15 × 15 격자의 한가운데 칸(8 행 8 열)에 1 을 쓰고, 2, 3, …, 225 를 시계 방향 나선으로 바깥으로 한 칸씩 채웁니다. 위에서 두 번째 줄에 나타나는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~367

(B)

~368

(C)

~369

(D)

~379

(E)

~380

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제로): 주어진 7 × 7 부분 그림이 이미 작은 버전 — 이로부터 나선 규칙을 배우고 15 × 15 로 확장. 도구 #5(패턴 찾기): k 링의 오른쪽 위 모서리는 홀수 제곱 (2k-1)², 각 링은 8k 칸 (동1+남(2k-1)+서2k+북2k+동2k). 도구 #1(그림 그리기): 바깥 두 링(7 링, 8 링)만 스케치해 2 행 위치 파악. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 2 행을 '8 링에 속하는 양 끝 두 칸' 과 '7 링 윗변에 속하는 가운데 13 칸' 으로 분리해 각각 최대/최소를 찾음.

1STEP 1

나선 오른쪽 위 모서리는 홀수 제곱 1, 9, 25, … — k 링 모서리 값은 (2k-1)² (8 링 끝 15²=225).

k번째 링 오른쪽 위 = (2k-1)²

2STEP 2

7×7 그림으로 모서리→모서리 이동: 동1, 남, 서, 북, 동 — 새 링마다 8k 칸 추가.

(2k+1)² - (2k-1)² = 8k ✓

3STEP 3

7 링 모서리 13²=169 는 2 행 14 열; 그 앞 동쪽 이동이 2 행 3~14 열에 158…169 채움.

2행 3열~14열 → 158, 159, …, 169

4STEP 4

7 링 왼쪽 변을 오르는 북쪽 이동이 2 행 2 열에서 157 로 끝 — 2 행은 157…169.

2행 2열 = 157; 2행 2~14열 → 157, 158, …, 169

5STEP 5

8 링은 170 부터 — 2 행 15 열에 170, 2 행 1 열에 210 (1 행 끝 211 직전).

2행 15열 = 170; 2행 1열 = 210

6STEP 6

2 행: 210, 157, …, 169, 170 — 최댓값 210, 최솟값 157, 합 210+157=367, 답 (A).

max + min = 210 + 157 = 367 → (A)

정답

~367

합리성: 2 행 모든 값은 {157, 158, …, 170} ∪ {210} 안 — 모두 1~~225 범위. 극값 min = 157, max = 210, 합 367 은 300~~450 의 합리적 구간. 선택지 중 오직 (A) 367 만 '중간 띠 값 + 외곽 링 값' 의 깔끔한 정수 분해와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 수 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 나선 모서리는 홀수 제곱 (2k-1)² 라서 7 링이 2 행 14 열의 169 에서 끝나고, 윗변은 157 부터 169 까지, 바깥 8 링이 1 열에 210, 15 열에 170 을 둠. 최댓값+최솟값 = 210 + 157 = 367, 답 (A).

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