AMC 10 · 2009 · #5

학년 5 number-theory

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitiondigit-sumperfect-squares easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

$\text 111111111$ 의 제곱의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 18$

(B)

$\ 27$

(C)

$\ 45$

(D)

$\ 63$

(E)

$\ 81$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$이 아홉 번 이어진 수 $111111111$을 제곱한 뒤, 그 결과의 모든 자릿수를 더하여라. 그 자릿수의 합을 구하는 문제이다.

주어진 것: 밑이 되는 수는 $111111111$로, $1$이 아홉 번 반복된 수이다; 이 수를 제곱해야 한다: $111111111^2$; 그런 다음 그 제곱수의 모든 자릿수를 더한다; 선택지: (A) $18$, (B) $27$, (C) $45$, (D) $63$, (E) $81$

구하는 것: $111111111^2$의 자릿수의 합

이해

문제 재정리: $1$이 아홉 번 이어진 수 $111111111$을 제곱한 뒤, 그 결과의 모든 자릿수를 더하여라. 그 자릿수의 합을 구하는 문제이다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

$111111111$을 곧바로 제곱하기는 부담스러우므로, 먼저 문제를 줄인다(도구 #9). 계산이 쉬운 작은 레퓨닛 $11$, $111$, $1111$을 제곱해 본다. 그 작은 제곱수들이 깔끔한 모양 — 올라갔다 다시 내려오며 세는 모양 — 을 드러내는데, 이것이 바로 도구 #5(패턴 찾기)가 필요한 지점이다. 패턴으로 전체 제곱수를 얻고 나면, 그 자릿수를 더하는 일이 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7). $1$부터 $9$까지 올라갔다 다시 내려오는 이 배열은 완전제곱수로 더해진다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.B.5 단계 1

작은 레퓨닛 제곱하기

모양은 같지만 더 짧은 쉬운 수부터 시작한다.
$11$, 이어서 $111$, 그다음 $1111$을 보통 곱셈으로 제곱한다.
각 답은 회문수(palindrome)로, 앞뒤로 읽어도 똑같다.

$$11^2=121,\quad 111^2=12321,\quad 1111^2=1234321$$

💡 수를 줄이면 같은 구조를 유지하면서 곱셈을 손으로 할 만큼 작게 만들 수 있다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

올라갔다 내려오며 세는 패턴 찾기

결과를 나란히 놓자.
$1^2=1$, $11^2=121$, $111^2=12321$, $1111^2=1234321$이다.
$1$이 $n$개인 레퓨닛을 제곱하면 자릿수가 $1,2,3,\dots$으로 $n$까지 올라갔다가 다시 $\dots,3,2,1$로 내려온다.
$1$의 개수가 한가운데의 꼭대기 숫자가 된다.
이 규칙은 $n\le 9$인 동안 깔끔하게 성립한다.
어떤 자리도 $10$에 이르지 않아 받아올림이 생기지 않기 때문이다.

$$1,\;121,\;12321,\;1234321,\;\dots \;\Rightarrow\; 1\!\to\! n \text{ 까지 올라갔다 } 1 \text{ 로 내려옴}$$

💡 $1$이 하나 늘 때마다 꼭대기까지 올라갔다 대칭으로 내려오는 계단에 한 칸이 더 붙는다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

아홉 개의 1에 패턴 적용하기

여기서는 $n=9$로, 받아올림이 시작되기 직전의 마지막 경우이다.
그래서 꼭대기 숫자는 $9$이고, 제곱수는 $1$부터 $9$까지 올라갔다가 다시 $1$로 내려온다.

$$111111111^2 = 12345678987654321$$

💡 $1$이 아홉 개면 한가운데 숫자가 $9$이므로 계단이 한 자리로 오를 수 있는 가장 높은 꼭대기에 닿는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

자릿수 더하기

이제 $12345678987654321$의 자릿수를 더한다.
$9$까지 올라가는 부분과 다시 내려오는 부분으로 묶자: $(1+2+\cdots+8) + 9 + (8+\cdots+2+1)$.
이는 $36 + 9 + 36 = 81$이다.
더 빠르게 보면, 전체 $1+2+\cdots+9+\cdots+2+1$은 $9^2=81$과 같다.
따라서 자릿수의 합은 $81$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$1+2+\cdots+9+\cdots+2+1 = 9^2 = 81 \;\textbf{(E)}$$

💡 자릿수가 꼭대기를 중심으로 대칭이므로 $9$까지 올라갔다 내려오는 셈이 깔끔한 제곱 $9^2$으로 접힌다.

[1] #9 5.NBT.B.5 모양은 같지만 더 짧은 쉬운 수부터 시작한다. $11$, 이어서 $111$, 그다음 $1111$을 보통 곱셈으로 제곱한다. 각 답은 회문수(pa

[2] #5 4.OA.C.5 결과를 나란히 놓자. $1^2=1$, $11^2=121$, $111^2=12321$, $1111^2=1234321$이다. $1$이 $n$개인 레

[3] #5 4.OA.C.5 여기서는 $n=9$로, 받아올림이 시작되기 직전의 마지막 경우이다. 그래서 꼭대기 숫자는 $9$이고, 제곱수는 $1$부터 $9$까지 올라갔다가

[4] #7 3.NBT.A.2 이제 $12345678987654321$의 자릿수를 더한다. $9$까지 올라가는 부분과 다시 내려오는 부분으로 묶자: $(1+2+\cdots+8

검토

합리성 확인: 답 $81$은 선택지 중 하나이고, $9^2$ — 곧 $1$의 개수의 제곱 — 과 같아 기억하기 쉬운 깔끔한 결과이다. 규모를 점검하면, 제곱수 $12345678987654321$은 $17$자리이고 평균 자릿수를 $5$쯤으로 잡으면 합이 약 $85$로 예상되는데 $81$이 바로 그 근처에 있다. 작은 경우들도 규칙을 확인해 준다. $111^2=12321$의 자릿수 합은 $9=3^2$이고, $1111^2=1234321$의 자릿수 합은 $16=4^2$이므로, $1$이 아홉 개일 때 $9^2=81$이 나오는 것은 이 계열에 정확히 들어맞는다.

대안 접근: 패턴 대신, $9$로 나눈 나머지(구거법)를 생각할 수도 있다. $111111111$은 $1$이 아홉 개라 자릿수 합이 $9$이므로 $9$로 나누어떨어지고, 그 제곱은 $81$로 나누어떨어져 자릿수 합이 $9$의 배수가 된다. 선택지 $18,27,45,63,81$은 모두 $9$의 배수라 이것만으로는 좁혀지지 않지만, 규모 추정($17$자리, 합 약 $80$)과 합치면 $81$을 가리킨다. 패턴 방법이 더 깔끔하고 정확하다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (작은 레퓨닛 $11$, $111$, $1111$을 제곱해 첫 자료점을 만드는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (올라갔다 내려오는 회문 규칙을 알아내고 $1$이 아홉 개인 경우 $12345678987654321$로 확장하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 (자릿수 $1+2+\cdots+9+\cdots+2+1$을 더해 $81$을 얻는 데 사용.)

⭐ $1$이 이어진 수를 제곱하면 자릿수가 올라갔다 내려오며 세어지므로, $1$이 아홉 개면 $12345678987654321$이 되고 그 자릿수 합은 $9^2=81$이다.