AMC 10 · 2009 · #9

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

sequences-geometricprime-factorizationperfect-squares convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수 $a$ , $b$ , $2009$ 가 $a<b<2009$ 이면서 공비가 정수인 등비수열을 이룬다. $a$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 7$

(B)

$\ 41$

(C)

$\ 49$

(D)

$\ 289$

(E)

$\ 2009$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 양의 정수 $a$, $b$, $2009$가 이 순서대로 등비수열을 이루고 $a<b<2009$이다. 공비는 정수이다. $a$의 값을 구하라.

주어진 것: $a$, $b$, $2009$는 이 순서로 등비수열을 이루는 양의 정수이다; 이웃한 항 사이의 공비는 정수이다; $a<b<2009$; 선택지: (A) $7$, (B) $41$, (C) $49$, (D) $289$, (E) $2009$

구하는 것: 첫째 항 $a$의 값

이해

문제 재정리: 세 양의 정수 $a$, $b$, $2009$가 이 순서대로 등비수열을 이루고 $a<b<2009$이다. 공비는 정수이다. $a$의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

수열에는 숨은 수인 공비가 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 $r$이라 이름 붙여 세 항을 $a$, $ar$, $ar^2$로 바꾼다. 그러면 문제 전체가 하나의 식 $a\cdot r^2=2009$로 압축된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 둘로 나눈다. 먼저 $2009$를 소인수분해하고, 그다음 어떤 정수 공비가 들어맞는지 정한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 인수분해로 하나만 남기고 나머지 공비를 모두 지우며, 도구 #6(추측하고 확인하기)은 그 공비를 다시 넣어 수열이 실제로 성립함을 확인한다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.RP.A.1 단계 1

공비에 이름 붙이기

공비를 $r$이라 하자.
등비수열에서는 각 항이 바로 앞 항에 $r$을 곱한 값이다.
그래서 $a$에서 시작하면 다음 항은 $b=a\cdot r$, 그다음 항은 $2009=b\cdot r$이다.
모두 $a$로 표현하면 세 항은 $a$, $a\cdot r$, $a\cdot r^2$이 된다.

$$b=a\cdot r,\qquad 2009=b\cdot r=a\cdot r^2$$

💡 등비수열은 매 단계 같은 수를 곱하므로, 그 수에 이름을 붙이면 규칙 전체를 잡을 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.1 단계 2

a와 r의 한 식

셋째 항이 $2009$이므로 $a\cdot r^2=2009$이다.
$a$에 대해 풀면 $a=\dfrac{2009}{r^2}$이다.
$a$는 양의 정수여야 하므로 $r^2$은 $2009$를 나누어떨어지게 해야 한다.
이제 문제는 이것이다.
어떤 정수 공비 $r$이 $2009$를 $r^2$으로 딱 나누어지게 하는가?

$$a\cdot r^2=2009\ \Rightarrow\ a=\dfrac{2009}{r^2}$$

💡 $a$가 정수로 나와야 한다면 $r^2$은 반드시 $2009$의 약수여야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

2009 소인수분해

$2009$를 소인수로 쪼갠다.
짝수가 아니고 $3$이나 $5$의 배수도 아니다.
$7$로 나누면 $2009=7\times287$이고, $287=7\times41$이며 $41$은 소수이다.
따라서 $2009=7\times7\times41=7^2\times41$이다.

$$2009=7\times287=7\times7\times41=7^2\times41$$

💡 소인수를 보면 $2009$ 안에 숨을 수 있는 모든 제곱수가 드러난다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 4

맞는 공비는 하나뿐

$r^2$이 $2009=7^2\times41$의 약수여야 하고 $r$은 $1$보다 큰 정수여야 한다.
이 소수들로 만든 완전제곱수는 같은 소수의 쌍만 쓸 수 있다.
$7^2=49$의 쌍은 있지만 $41$은 한 번만 나오므로 제곱을 이룰 수 없고, $r=2009$ 같은 값은 $r^2$이 지나치게 크다.
$2009$를 나누면서 $1$보다 큰 완전제곱수는 $49$ 하나뿐이므로 $r^2=49$, 즉 $r=7$이다.

$$r^2\mid 7^2\times41,\ r>1\ \Rightarrow\ r^2=49\ \Rightarrow\ r=7$$

💡 완전제곱 약수는 소수들이 짝을 이뤄야 하는데, 짝이 맞는 것은 두 개의 $7$뿐이다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 5

a를 구하고 확인하기

$r=7$이면 $a=\dfrac{2009}{49}=41$이다.
그러면 $b=a\cdot r=41\times7=287$이고, 셋째 항은 $287\times7=2009$이다.
세 항 $41$, $287$, $2009$는 양의 정수이며 $41<287<2009$로 조건을 정확히 만족한다.
따라서 $a=41$, 즉 (B)이다.

$$a=\dfrac{2009}{49}=41,\quad 41,\ 287,\ 2009\ \ (41<287<2009)\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 공비를 다시 넣어 수열을 재구성하면 답이 앞뒤가 맞음을 확인할 수 있다.

[1] #4 6.RP.A.1 공비를 $r$이라 하자. 등비수열에서는 각 항이 바로 앞 항에 $r$을 곱한 값이다. 그래서 $a$에서 시작하면 다음 항은 $b=a\cdot r

[2] #4 6.EE.A.1 셋째 항이 $2009$이므로 $a\cdot r^2=2009$이다. $a$에 대해 풀면 $a=\dfrac{2009}{r^2}$이다. $a$는 양의

[3] #7 4.OA.B.4 $2009$를 소인수로 쪼갠다. 짝수가 아니고 $3$이나 $5$의 배수도 아니다. $7$로 나누면 $2009=7\times287$이고, $287

[4] #3 6.NS.B.4 $r^2$이 $2009=7^2\times41$의 약수여야 하고 $r$은 $1$보다 큰 정수여야 한다. 이 소수들로 만든 완전제곱수는 같은 소수의

[5] #6 6.RP.A.3 $r=7$이면 $a=\dfrac{2009}{49}=41$이다. 그러면 $b=a\cdot r=41\times7=287$이고, 셋째 항은 $287\

검토

합리성 확인: 수열 $41,\ 287,\ 2009$는 매 단계 $7$을 곱한다. $41\times7=287$, $287\times7=2009$이고 $41<287<2009$도 성립한다. 다른 선택지를 $a$로 넣으면 실패한다. $a=7$이면 $r^2=287$, $a=49$이면 $r^2=41$, $a=289$이면 $r^2=2009/289$, $a=2009$이면 $r^2=1$($a<2009$을 깨뜨림)이라 어느 것도 $1$보다 큰 정수 공비를 주지 못한다. $a=41$만 성립하므로 (B)가 확인된다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 선택지를 직접 활용한다(도구 #3). 각 후보 $a$에 대해 $2009\div a$를 계산해 그 값이 완전제곱수인지($r^2$과 같아야 함) 확인한다. 선택지 중 $2009/41=49=7^2$만이 깔끔한 완전제곱수이므로 $a=41$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (등비수열을 일정한 공비 $r$로 읽어 $b=ar$, $2009=ar^2$로 나타내는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (셋째 항을 $a\cdot r^2$으로 쓰고 $a=2009/r^2$이 정수여야 함을 이끄는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($2009$를 $7^2\times41$로 소인수분해하여 제곱 약수를 드러내는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (소인수분해를 이용해 $1$보다 큰 유일한 완전제곱 약수가 $49$임을 밝혀 $r=7$을 정하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($a=2009/49=41$을 계산하고 수열 $41,287,2009$을 재구성해 크기 순서를 확인하는 데 사용.)

⭐ $r$씩 곱해 나가는 등비수열에서 마지막 항은 $a\times r^2$이므로, $r^2$은 $2009=7^2\times41$을 나누는 제곱수여야 하고 맞는 것은 $49$뿐이라 $a=41$이다.