AMC 10 · 2009 · #9
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AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
수열에는 숨은 수인 공비가 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 r이라 이름 붙여 세 항을 a, ar, ar²로 바꾼다. 그러면 문제 전체가 하나의 식 a · r²=2009로 압축된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 둘로 나눈다. 먼저 2009를 소인수분해하고, 그다음 어떤 정수 공비가 들어맞는지 정한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 인수분해로 하나만 남기고 나머지 공비를 모두 지우며, 도구 #6(추측하고 확인하기)은 그 공비를 다시 넣어 수열이 실제로 성립함을 확인한다.
공비에 이름 붙이기
공비를 r이라 하자. 각 항은 앞 항에 r을 곱한 값이므로 세 항은 a, a·r, a·r²이다.
등비수열은 매 단계 같은 수를 곱하므로, 그 수에 이름을 붙이면 규칙 전체를 잡을 수 있다.
6.RP.A.1Introduce A Variablea와 r의 한 식
셋째 항이 2009이므로 a·r²=2009이다. a가 양의 정수이려면 r²이 2009를 나누어떨어지게 해야 한다.
a가 정수로 나와야 한다면 r²은 반드시 2009의 약수여야 한다.
첫 항이 정수여야 한다면, 공비의 제곱은 주어진 항의 약수일 수밖에 없다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 공비를 곱한 것이므로, 셋째 항은 첫 항에 그 제곱을 곱한 것이다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 어떤 제곱이 그 안에 숨을 수 있는지가 미리 정해진다.
2009 소인수분해
2009는 2, 3, 5로 나누어지지 않지만 2009=7×287, 287=7×41이고 41은 소수이므로 2009=7²×41이다.
소인수를 보면 2009 안에 숨을 수 있는 모든 제곱수가 드러난다.
4.OA.B.4Identify Subproblems맞는 공비는 하나뿐
완전제곱 약수는 소수가 짝을 이뤄야 하는데 짝이 맞는 것은 7 두 개뿐이라 r²=49, 즉 r=7이다.
완전제곱 약수는 소수들이 짝을 이뤄야 하는데, 짝이 맞는 것은 두 개의 7뿐이다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilitiesa를 구하고 확인하기
r=7이면 a=2009÷49=41이고, 41, 287, 2009는 41 ＜ 287 ＜ 2009를 만족한다. 따라서 (B)이다.
공비를 다시 넣어 수열을 재구성하면 답이 앞뒤가 맞음을 확인할 수 있다.
6.RP.A.3Guess And Checkr씩 곱해 나가는 등비수열에서 마지막 항은 a × r²이므로, r²은 2009=7²×41을 나누는 제곱수여야 하고 맞는 것은 49뿐이라 a=41이다.
- 공비에 이름 붙이기
- a와 r의 한 식
- 2009 소인수분해
- 맞는 공비는 하나뿐
- a를 구하고 확인하기