AMC 10 · 2009 · #14

학년 6 arithmetic

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

월요일에 밀리는 $25\%$ 가 기장인 씨앗 1쿼트를 새 모이통에 넣는다. 그 다음 날부터 매일 밀리는 남아 있는 씨앗을 치우지 않고 같은 배합의 씨앗을 1쿼트씩 더 넣는다. 매일 새들은 모이통에 있는 기장의 $25\%$ 만 먹고 나머지 씨앗은 모두 먹는다. 밀리가 씨앗을 넣은 직후에 모이통에 있는 씨앗의 절반보다 많은 양이 기장이 되는 날은 무슨 요일인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Tuesday

(B)

Wednesday

(C)

Thursday

(D)

Friday

(E)

Saturday

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 밀리는 월요일부터 매일, 밀렛(기장)이 $\tfrac14$이고 다른 씨앗이 $\tfrac34$인 씨앗 혼합물을 1쿼트씩 모이통에 넣는다. 새 씨앗을 넣기 전에 새들은 이미 있던 밀렛의 $25\%$와 다른 씨앗 전부를 먹는다. 씨앗을 막 넣은 직후, 모이통 안 씨앗의 절반보다 많은 양이 밀렛이 되는 첫 번째 날을 구하라.

주어진 것: 매일 넣는 1쿼트는 밀렛 $25\%$($\tfrac14$쿼트)와 다른 씨앗 $75\%$($\tfrac34$쿼트)로 이루어진다; 월요일부터 매일 1쿼트씩 넣는다; 매일 새들은 밀렛의 $75\%$를 남기고 다른 씨앗은 모두 먹는다; 새 씨앗을 막 넣은 직후의 모이통 상태를 본다

구하는 것: 밀렛이 전체 씨앗의 절반보다 많아지는 첫 번째 날

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기

다른 씨앗은 쉬운 쪽이다. 새들이 매일 전부 먹어치우므로, 씨앗을 넣은 직후에는 언제나 정확히 $\tfrac34$쿼트의 다른 씨앗만 남는다. 그러면 문제 전체가 움직이는 양 하나, 즉 밀렛에 관한 문제로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 $n$일차 밀렛을 $m_n$으로 놓으면 매일의 규칙 $m_{n+1}=\tfrac34 m_n+\tfrac14$이 잡힌다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 이 규칙을 하루씩 돌려 보고, 도구 #5(패턴 찾기)로 깔끔한 닫힌 식 $m_n = 1-\left(\tfrac34\right)^n$을 발견하면 이기는 조건이 한눈에 보인다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

다른 씨앗은 항상 3/4로 고정

1쿼트는 밀렛 $\tfrac14$과 다른 씨앗 $\tfrac34$로 이루어진다.
새들은 매일 밀렛이 아닌 씨앗을 전부 먹으므로, 어제 있던 다른 씨앗은 모두 사라진다.
밀리가 새 1쿼트를 막 넣은 직후에 존재하는 다른 씨앗은 방금 부은 $\tfrac34$쿼트뿐이다.
그래서 다른 씨앗의 양은 항상 $\tfrac34$이다.
따라서 "절반보다 많은 양이 밀렛"이라는 것은 밀렛이 이 고정된 $\tfrac34$쿼트를 넘어야 한다는 뜻이다.

$$\text{다른 씨앗} = \tfrac34 \text{ (항상)} \quad\Rightarrow\quad \text{밀렛} > \tfrac34 \text{ 필요}$$

💡 다른 씨앗이 매일 사라졌다가 같은 양으로 다시 채워진다면, 그것은 밀렛이 넘어야 할 고정된 결승선이 된다.

#4 변수 도입하기 5.NF.B.4 단계 2

매일의 밀렛 규칙 세우기

$m_n$을 $n$일차에 씨앗을 넣은 직후의 밀렛 양(쿼트)이라 하자.
1일차(월요일)에는 갓 넣은 $\tfrac14$쿼트뿐이므로 $m_1=\tfrac14$이다.
다음 날을 구하려면, 새들이 밀렛의 $75\%$인 $\tfrac34 m_n$을 남기고, 밀리가 다시 밀렛 $\tfrac14$쿼트를 넣는다.
그래서 $m_{n+1}=\tfrac34 m_n+\tfrac14$이다.

$$m_1=\tfrac14,\qquad m_{n+1}=\tfrac34 m_n+\tfrac14$$

💡 살아남은 것의 4분의 3을 남기고 다시 4분의 1을 더한다 — 똑같은 두 동작이 매일 반복된다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.A.1 단계 3

하루씩 직접 돌려 보기

규칙을 적용하며 각 결과를 $\tfrac34$이라는 결승선과 비교한다.
$m_1=\tfrac14$.
$m_2=\tfrac34\cdot\tfrac14+\tfrac14=\tfrac{7}{16}$.
$m_3=\tfrac34\cdot\tfrac{7}{16}+\tfrac14=\tfrac{37}{64}\approx0.578$.
$m_4=\tfrac34\cdot\tfrac{37}{64}+\tfrac14=\tfrac{175}{256}\approx0.684$로 아직 $0.75$보다 작다.
$m_5=\tfrac34\cdot\tfrac{175}{256}+\tfrac14=\tfrac{781}{1024}\approx0.763$으로 $0.75$보다 크다.

$$m_1=\tfrac14,\; m_2=\tfrac{7}{16},\; m_3=\tfrac{37}{64},\; m_4=\tfrac{175}{256}<\tfrac34,\; m_5=\tfrac{781}{1024}>\tfrac34$$

💡 밀렛은 매일 조금씩 올라가므로, 고정된 4분의 3 지점을 처음 넘을 때까지 앞으로 나아가기만 하면 된다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 4

숫자 뒤의 패턴 보기

$\tfrac14,\tfrac{7}{16},\tfrac{37}{64},\tfrac{175}{256}$이라는 분수는 지저분해 보이지만, 각각을 "$1$ 빼기 무언가"로 쓰면 정체가 드러난다.
$\tfrac14=1-\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{7}{16}=1-\tfrac{9}{16}$, $\tfrac{37}{64}=1-\tfrac{27}{64}$.
빼는 부분이 $\tfrac34$의 거듭제곱이므로 $m_n=1-\left(\tfrac34\right)^n$이다.
그러면 "밀렛 $>\tfrac34$"은 $1-\left(\tfrac34\right)^n>\tfrac34$, 즉 $\left(\tfrac34\right)^n<\tfrac14$이 된다.

$$m_n=1-\left(\tfrac34\right)^n \quad\Rightarrow\quad m_n>\tfrac34 \iff \left(\tfrac34\right)^n<\tfrac14$$

💡 "아직 밀렛이 아닌" 몫이 매일 4분의 3으로 줄어들므로, 꽉 찬 1쿼트까지의 간격은 정확히 $\tfrac34$의 거듭제곱이다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.7 단계 5

이기는 첫 번째 날 찾기

$\tfrac34$의 거듭제곱을 확인하자.
$\left(\tfrac34\right)^4=\tfrac{81}{256}\approx0.316$으로 아직 $\tfrac14=0.25$보다 크고, $\left(\tfrac34\right)^5=\tfrac{243}{1024}\approx0.237$로 드디어 $\tfrac14$보다 작다.
그래서 조건은 $n=5$에서 처음 성립한다.
월요일을 1일차로 세면 5일차는 금요일이다.
정답은 $\textbf{(D)}$이다.

$$\left(\tfrac34\right)^4\approx0.316>\tfrac14,\quad \left(\tfrac34\right)^5\approx0.237<\tfrac14 \;\Rightarrow\; n=5=\text{금요일} \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 전환점은 $\left(\tfrac34\right)^n$을 4분의 1 아래로 끌어내리는 첫 지수다 — 그 날을 골라 월요일부터 세면 된다.

[1] #4 6.RP.A.3 1쿼트는 밀렛 $\tfrac14$과 다른 씨앗 $\tfrac34$로 이루어진다. 새들은 매일 밀렛이 아닌 씨앗을 전부 먹으므로, 어제 있던 다른

[2] #4 5.NF.B.4 $m_n$을 $n$일차에 씨앗을 넣은 직후의 밀렛 양(쿼트)이라 하자. 1일차(월요일)에는 갓 넣은 $\tfrac14$쿼트뿐이므로 $m_1=\t

[3] #6 6.NS.A.1 규칙을 적용하며 각 결과를 $\tfrac34$이라는 결승선과 비교한다. $m_1=\tfrac14$. $m_2=\tfrac34\cdot\tfrac

[4] #5 6.EE.A.1 $\tfrac14,\tfrac{7}{16},\tfrac{37}{64},\tfrac{175}{256}$이라는 분수는 지저분해 보이지만, 각각을 "

[5] #6 6.NS.C.7 $\tfrac34$의 거듭제곱을 확인하자. $\left(\tfrac34\right)^4=\tfrac{81}{256}\approx0.316$으로

검토

합리성 확인: 4일차에 밀렛은 $\tfrac{175}{256}\approx0.684$쿼트로 다른 씨앗 $0.75$쿼트에 아직 뒤진다. 그래서 목요일은 너무 이르고, (C)와 그 이전 선택지는 모두 배제된다. 5일차에 밀렛은 $\tfrac{781}{1024}\approx0.763$으로 $0.75$을 근소하지만 확실하게 앞선다. 그래서 금요일이 바로 처음 넘어서는 날이다. 차이가 작지만 양수라는 점은 토요일(E)까지 지나치지 않았다는 좋은 신호다. 모든 것이 (D)와 일치한다.

대안 접근: 분수를 건너뛰고 부족한 양을 직접 생각해 보자. 매일 직후 모이통의 밀렛은 1쿼트에서 아직 쌓이지 않은 부분을 뺀 값이고, 그 빠진 부분은 $\tfrac34$에서 시작해 매일 $\tfrac34$이 곱해진다. 이 빠진 부분이 $\tfrac14$ 아래로 떨어지는 순간 밀렛이 고정된 다른 씨앗 $\tfrac34$을 이긴다. $\tfrac34,\tfrac{9}{16},\tfrac{27}{64},\tfrac{81}{256},\tfrac{243}{1024}$ — 다섯 번째 항이 $\tfrac14$ 아래로 내려가는 첫 항이므로 다시 금요일이 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용해 실생활 및 수학 문제 해결하기 (밀렛 $25\%$를 $\tfrac14$쿼트로 읽고, "절반보다 많은 양이 밀렛"이 밀렛이 고정된 $\tfrac34$쿼트의 다른 씨앗을 넘어야 한다는 뜻임을 인식하기.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장해 분수끼리 곱하기 (매일 살아남은 밀렛의 $\tfrac34$을 취해 점화식 $m_{n+1}=\tfrac34 m_n+\tfrac14$을 세우기.)
6.NS.A.1 분수의 나눗셈 몫을 해석하고 계산하며 문장제 해결하기 (하루씩 밀렛 양 $\tfrac14,\tfrac{7}{16},\tfrac{37}{64},\tfrac{175}{256},\tfrac{781}{1024}$을 분수 계산으로 구하기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 (닫힌 식 $m_n = 1-\left(\tfrac34\right)^n$과 거듭제곱 $\left(\tfrac34\right)^n$을 발견하고 계산하기.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 (각 $\left(\tfrac34\right)^n$을 $\tfrac14$과 비교해 밀렛 비율이 절반을 넘는 첫 번째 날 찾기.)

⭐ 한 부분이 매일 사라졌다가 같은 크기로 다시 채워지면, 그것은 다른 부분이 그저 넘어서기만 하면 되는 고정된 목표가 된다.