AMC 8 · 2025 · #20

학년 6 rate-ratioalgebra
유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share
sequences-geometricratio-proportionfraction-multiplicationpattern-recognition easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
사리카, 데브, 라지브가 이 순서를 반복하며 차례로 "지금 남아 있는 치즈의 절반" 을 먹습니다. 사리카 → 데브 → 라지브 → 사리카 → ... 순서가 끝없이 이어지고, 치즈가 너무 작아져서 보이지 않을 때까지 계속됩니다. 사리카가 모든 차례를 합쳐 먹는 양은 원래 치즈 덩어리의 몇 분의 몇인지 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{4}{7}$
(B)
$\frac{3}{5}$
(C)
$\frac{2}{3}$
(D)
$\frac{3}{4}$
(E)
$\frac{7}{8}$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

12\frac{1}{2} + 116\frac{1}{16} + 1128\frac{1}{128} + … 같은 무한급수를 직접 더하는 방법은 고등학교 수준입니다. 그 대신 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 사리카-데브-라지브 한 주기(cycle) 만 통덩어리에 대해 직접 계산해 봅니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 로 "한 주기 안에서 세 사람이 먹는 양이 언제나 4 : 2 : 1 의 일정한 비율을 이룬다" 는 사실이 보입니다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 "사리카의 끝없는 조각들을 무한히 더한다" 가 아니라 "세 사람이 합쳐 덩어리 전체를 먹으니, 전체를 4 : 2 : 1 비율로 나눈다" 라는 관점으로 바꿉니다. 이렇게 하면 무한급수 없이 초등학교 수준의 비례 추론만으로 답이 나옵니다.

1STEP 1

크기 1 인 통덩어리로 한 주기를 돌립니다. 사리카 12\frac{1}{2}, 데브 14\frac{1}{4}, 라지브 18\frac{1}{8} 를 먹고 18\frac{1}{8} 이 남습니다.

사리카 = 12\frac{1}{2}, 데브 = 14\frac{1}{4}, 라지브 = 18\frac{1}{8} → 남은 양 = 18\frac{1}{8}
2STEP 2

세 조각에 8 을 곱하면 사리카 4, 데브 2, 라지브 1, 남는 1 칸. 즉 한 주기는 4 : 2 : 1 로 나뉩니다.

12\frac{1}{2} : 14\frac{1}{4} : 18\frac{1}{8} = 4 : 2 : 1
3STEP 3

이 4 : 2 : 1 분배는 매 주기 그대로 반복됩니다. 뒤 주기는 크기만 줄어든 같은 모양이죠. 그래서 전체 합도 같은 비율입니다.

k 번째 주기: 사리카:데브:라지브 = 4:2:1 (항상)
4STEP 4

관점을 바꿔, 조각을 더하는 대신 덩어리 전체를 4 : 2 : 1 로 나눕니다. 합이 4 + 2 + 1 = 7 이니 한 칸은 17\frac{1}{7} 입니다.

4 + 2 + 1 = 7 → 1 부분 = 17\frac{1}{7} 의 덩어리
5STEP 5

사리카는 7 칸 중 4 칸의 주인이니 덩어리의 47\frac{4}{7} 을 먹습니다 — 선택지 (A).

사리카의 총량 = 44+2+1\frac{4}{4+2+1} = 47\frac{4}{7} → (A)
정답
47\frac{4}{7}
사리카는 매번 가장 먼저 "지금 남은 것의 절반" 을 가져가므로 셋 중 가장 많이 먹어야 합니다. 다만 다른 두 사람도 매 주기마다 함께 먹으므로 23\frac{2}{3} 이상이 되기는 어렵습니다. 47\frac{4}{7} ≈ 0.571 은 13\frac{1}{3} 과 23\frac{2}{3} 사이에 자연스럽게 자리 잡는 반면, 선택지 (C) 23\frac{2}{3} 나 (D) 34\frac{3}{4} 은 데브와 라지브의 몫을 너무 좁힙니다. 부분합으로도 확인됩니다: 12\frac{1}{2} + 116\frac{1}{16} = 916\frac{9}{16} = 0.5625, 한 항 더 더하면 73128\frac{73}{128} ≈ 0.5703 — 정확히 47\frac{4}{7} ≈ 0.5714 로 수렴합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "4 : 2 : 1 비율로 전체를 나누는" 비례 추론만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.