AMC 10 · 2009 · #14

학년 6 algebra
유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share
sequences-geometricfraction-arithmeticpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-geometric
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
밀리는 월요일부터 매일, 밀렛(기장)이 1/4이고 다른 씨앗이 3/4인 씨앗 혼합물을 1쿼트씩, 이미 들어 있는 씨앗을 치우지 않고 모이통에 넣는다. 새 씨앗을 넣기 전에 새들은 이미 있던 밀렛의 25%와 다른 씨앗 전부를 먹는다. 씨앗을 막 넣은 직후 기준으로, 모이통 안 씨앗의 절반보다 많은 양이 밀렛이 되는 첫 번째 날을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
Tuesday
(B)
Wednesday
(C)
Thursday
(D)
Friday
(E)
Saturday

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

다른 씨앗은 쉬운 쪽이다. 새들이 매일 전부 먹어치우므로, 씨앗을 넣은 직후에는 언제나 정확히 3/4쿼트의 다른 씨앗만 남는다. 그러면 문제 전체가 움직이는 양 하나, 즉 밀렛에 관한 문제로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)로 n일차 밀렛을 m_n으로 놓으면 매일의 규칙 m_n+1=3/4 m_n+1/4이 잡힌다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 이 규칙을 하루씩 돌려 보고, 도구 #5(패턴 찾기)로 깔끔한 닫힌 식 m_n = 1-(3/4)ⁿ을 발견하면 이기는 조건이 한눈에 보인다.

1STEP 1

다른 씨앗은 항상 3/4로 고정

어제의 다른 씨앗은 다 먹히므로 넣은 직후 남는 것은 갓 부은 3/4쿼트뿐이다. 밀렛은 이 3/4을 넘어야 한다.

다른 씨앗 = 3/4 (항상) → 밀렛 ＞ 3/4 필요
2STEP 2

매일의 밀렛 규칙 세우기

m_n을 n일차에 넣은 직후 밀렛 양이라 하자. m₁=1/4이고, 3/4이 살아남은 뒤 1/4이 더해지므로 m_n+1=3/4 m_n+1/4이다.

m₁=1/4, m_n+1=3/4 m_n+1/4
3STEP 3

하루씩 직접 돌려 보기

0.75와 견주며 돌리면 m₂=7/16, m₃=37/64, m₄=175/256≈0.684로 부족하고 m₅=781/1024≈0.763은 넘는다.

m₁=1/4, m₂=7/16, m₃=37/64, m₄=175/256 ＜ 3/4, m₅=781/1024 ＞ 3/4
4STEP 4

숫자 뒤의 패턴 보기

1/4=1-3/4, 7/16=1-9/16처럼 1 빼기 꼴로 쓰면 m_n=1-(3/4)ⁿ이다. 밀렛 ＞ 3/4은 (3/4)ⁿ ＜ 1/4이 된다.

m_n=1-(3/4)ⁿ → m_n ＞ 3/4 ⇔ (3/4)ⁿ ＜ 1/4
5STEP 5

이기는 첫 번째 날 찾기

(3/4)⁴≈0.316은 1/4보다 크지만 (3/4)⁵≈0.237은 작다. 그래서 n=5, 월요일부터 5일차는 금요일 (D)이다.

(3/4)⁴≈0.316 ＞ 1/4, (3/4)⁵≈0.237 ＜ 1/4 → n=5=금요일 → (D)
정답
금요일
4일차에 밀렛은 175/256≈0.684쿼트로 다른 씨앗 0.75쿼트에 아직 뒤진다. 그래서 목요일은 너무 이르고, (C)와 그 이전 선택지는 모두 배제된다. 5일차에 밀렛은 781/1024≈0.763으로 0.75를 근소하지만 확실하게 앞선다. 그래서 금요일이 바로 처음 넘어서는 날이다. 차이가 작지만 양수라는 점은 토요일(E)까지 지나치지 않았다는 좋은 신호다. 모든 것이 (D)와 일치한다.
💡핵심 정리

한 부분이 매일 사라졌다가 같은 크기로 다시 채워지면, 그것은 다른 부분이 그저 넘어서기만 하면 되는 고정된 목표가 된다.

  • 다른 씨앗은 항상 3/4로 고정
  • 매일의 밀렛 규칙 세우기
  • 하루씩 직접 돌려 보기
  • 숫자 뒤의 패턴 보기
  • 이기는 첫 번째 날 찾기

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