AMC 10 · 2009 · #16

학년 8 geometry-2d

equilateral-trianglethirty-sixty-ninety-trianglesymmetry-argument physical-representation ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 $A$ 와 $C$ 는 중심이 $O$ 인 원 위에 있고, $\overline{BA}$ 와 $\overline{BC}$ 는 각각 이 원에 접하며, $\triangle ABC$ 는 정삼각형이다. 이 원은 $\overline{BO}$ 와 점 $D$ 에서 만난다. $\frac{BD}{BO}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt2}{3}$

(B)

$\frac {1}{2}$

(C)

$\frac {\sqrt3}{3}$

(D)

$\frac {\sqrt2}{2}$

(E)

$\frac {\sqrt3}{2}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 밖의 점 $B$에서 그은 두 선분이 중심이 $O$인 원에 각각 $A$, $C$에서 접하고, 삼각형 $ABC$는 정삼각형이다. $B$에서 중심 $O$로 이은 선분이 원과 $D$에서 만난다. 이때 $\frac{BD}{BO}$의 값을 구하라.

주어진 것: $A$와 $C$는 중심이 $O$인 원 위의 점이므로 $OA$, $OC$는 반지름이다.; $\overline{BA}$와 $\overline{BC}$는 원에 접한다.; 삼각형 $ABC$는 정삼각형이므로 세 각이 모두 $60^\circ$이다.; $D$는 선분 $\overline{BO}$가 원과 만나는 점이다.

구하는 것: 비 $\frac{BD}{BO}$의 값.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

정확한 그림을 그리면 문장이 두 개의 직각과 하나의 대칭축으로 바뀐다. 반지름을 $r$로 이름 붙이는 순간 문제 전체가 각을 아는 직각삼각형 하나로 줄어들고, 원하는 비는 그 삼각형에서 바로 나온다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

그림을 그리고 직각 표시하기

중심이 $O$인 원, 두 접선 $BA$와 $BC$, 그리고 정삼각형 $ABC$를 그린다.
접선은 접점에서 반지름과 직각을 이루므로 $\angle OAB = 90^\circ$, $\angle OCB = 90^\circ$이다.
반지름을 $r$라 하면 $OA = OC = r$이다.

$$\angle OAB = 90^\circ,\quad \angle OCB = 90^\circ,\quad OA = OC = r$$

💡 접선이 원에 닿는 곳에서는 반지름과 직각으로 만난다.

#1 그림 그리기 8.G.A.1 단계 2

대칭으로 B에서의 각 구하기

$B$에서 그은 두 접선의 길이가 같으므로, 직선 $BO$에 대해 그림을 접으면 $A$와 $C$가 서로 바뀐다.
따라서 $BO$는 정삼각형의 꼭짓점 $B$에 있는 $60^\circ$ 각을 똑같이 반으로 나누고, $\angle ABO = 30^\circ$이다.

$$\angle ABC = 60^\circ \;\Rightarrow\; \angle ABO = \tfrac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ$$

💡 꼭짓점을 지나는 대칭축은 그 꼭짓점의 각을 반으로 자른다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형에서 BO 구하기

직각삼각형 $OAB$를 보면 $A$에서의 각이 $90^\circ$, $B$에서의 각이 $30^\circ$이므로 30-60-90 삼각형이다.
이런 삼각형에서 $30^\circ$ 각의 맞은편 변은 빗변의 정확히 절반이다.
여기서 $OA = r$가 $30^\circ$ 각의 맞은편 변이고 $BO$가 빗변이므로 $BO = 2r$이다.

OA = r \;(30^\circ \text{의 맞은편}),\quad BO = 2\,OA = 2r

💡 30-60-90 삼각형에서 가장 짧은 변은 가장 긴 변의 절반이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 4

D의 위치와 비 구하기

$D$는 $\overline{BO}$가 원과 만나는 점이므로 $OD$는 반지름이다.
즉 $OD = r$이다.
$D$는 $B$와 $O$ 사이에 있으므로 $BD = BO - OD = 2r - r = r$이다.
따라서 $\frac{BD}{BO} = \frac{r}{2r} = \frac12$이고, 이는 보기 $\textbf{(B)}$이다.

$$OD = r,\quad BD = BO - OD = 2r - r = r,\quad \frac{BD}{BO} = \frac{r}{2r} = \frac12$$

💡 $BO$ 전체는 반지름 두 개이고, $BD$는 그중 딱 하나이다.

[1] #1 8.G.A.5 중심이 $O$인 원, 두 접선 $BA$와 $BC$, 그리고 정삼각형 $ABC$를 그린다. 접선은 접점에서 반지름과 직각을 이루므로 $\angle

[2] #1 8.G.A.1 $B$에서 그은 두 접선의 길이가 같으므로, 직선 $BO$에 대해 그림을 접으면 $A$와 $C$가 서로 바뀐다. 따라서 $BO$는 정삼각형의 꼭

[3] #4 8.G.B.7 직각삼각형 $OAB$를 보면 $A$에서의 각이 $90^\circ$, $B$에서의 각이 $30^\circ$이므로 30-60-90 삼각형이다. 이런

[4] #7 6.RP.A.1 $D$는 $\overline{BO}$가 원과 만나는 점이므로 $OD$는 반지름이다. 즉 $OD = r$이다. $D$는 $B$와 $O$ 사이에 있

검토

합리성 확인: $r = 1$로 두면 $BO = 2$, $OD = 1$이므로 $D$는 $BO$의 중점이고 $BD = 1$이다. 비 $\frac{BD}{BO} = \frac12$은 $0$과 $1$ 사이의 깔끔한 분수로, $B$와 $O$ 사이에 있는 점이라면 마땅히 나와야 할 값이다. 보기 (B)와 일치한다.

대안 접근: $O$를 원점에 두고 $B$를 양의 $x$축 위에 놓자. $BO^2 = OA^2 + AB^2$에서 접선 길이 $AB = r\sqrt3$이고, $\angle ABO = 30^\circ$를 이용하면 $BO = OA/\sin 30^\circ = r/\tfrac12 = 2r$이다. 그러면 $BD = BO - r = r$이고 비는 다시 $\frac12$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (접선과 반지름이 이루는 직각을 파악하고 삼각형의 각을 다루는 데 사용.)
8.G.A.1 Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (직선 BO에 대한 대칭을 이용해 B의 60도 각을 반으로 나누는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (30-60-90 직각삼각형의 변 관계를 이용해 BO = 2r를 얻는 데 사용.)
6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (비 BD/BO를 세우고 간단히 하는 데 사용.)

⭐ 접선은 반지름과 직각을 이루고, 그 직각과 그림의 대칭 덕분에 BO는 반지름 두 개 길이가 되며 BD는 그중 하나일 뿐이다.