AMC 10 · 2009 · #16

학년 8 geometry-2d

equilateral-trianglethirty-sixty-ninety-trianglesymmetry-argument physical-representation ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 A와 C는 중심이 O인 원 위에 있고, 선분 BA와 BC는 이 원에 접하며, 삼각형 ABC는 정삼각형이다. 선분 BO는 이 원과 점 D에서 만난다. 비 BD/BO의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt2}{3}$

(B)

$\frac {1}{2}$

(C)

$\frac {\sqrt3}{3}$

(D)

$\frac {\sqrt2}{2}$

(E)

$\frac {\sqrt3}{2}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

정확한 그림을 그리면 문장이 두 개의 직각과 하나의 대칭축으로 바뀐다. 반지름을 r로 이름 붙이는 순간 문제 전체가 각을 아는 직각삼각형 하나로 줄어들고, 원하는 비는 그 삼각형에서 바로 나온다.

1STEP 1

그림을 그리면 접선은 접점에서 반지름과 직각이므로 ∠OAB = ∠OCB = 90°이고, OA = OC = r이다.

∠ OAB = 90°, ∠ OCB = 90°, OA = OC = r

2STEP 2

B에서 그은 두 접선의 길이가 같아 BO로 접으면 A와 C가 바뀌므로, 60°가 반으로 갈려 ∠ABO = 30°이다.

∠ ABC = 60° → ∠ ABO = 1/2 · 60° = 30°

3STEP 3

직각삼각형 OAB는 A가 90°, B가 30°인 30-60-90 삼각형이고, 30° 맞은편 변은 빗변의 절반이므로 BO = 2r이다.

OA = r (30° 의 맞은편), BO = 2 OA = 2r

4STEP 4

D는 원 위에 있어 OD = r이고, D가 B와 O 사이이므로 BD = r이다. 따라서 BD/BO = 1/2이다.

OD = r, BD = BO - OD = 2r - r = r, BD/BO = r/2r = 1/2

정답

1/2

r = 1로 두면 BO = 2, OD = 1이므로 D는 BO의 중점이고 BD = 1이다. 비 BD/BO = 1/2은 0과 1 사이의 깔끔한 분수로, B와 O 사이에 있는 점이라면 마땅히 나와야 할 값이다. 보기 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

접선은 반지름과 직각을 이루고, 그 직각과 그림의 대칭 덕분에 BO는 반지름 두 개 길이가 되며 BD는 그중 하나일 뿐이다.