AMC 10 · 2009 · #18

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=8$ , $BC=6$ 이다. 점 $M$ 은 대각선 $\overline{AC}$ 의 중점이고, 점 $E$ 는 $\overline{ME}\perp\overline{AC}$ 가 되도록 $AB$ 위에 있다. $\triangle AME$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{65}{8}$

(B)

$\frac{25}{3}$

(C)

(D)

$\frac{75}{8}$

(E)

$\frac{85}{8}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$에서 $AB=8$, $BC=6$이다. 점 $M$은 대각선 $\overline{AC}$의 중점이다. 점 $E$는 변 $AB$ 위에 있고, 선분 $\overline{ME}$가 대각선과 직각으로 만난다. 삼각형 $AME$의 넓이를 구하라.

주어진 것: $ABCD$는 $AB=8$, $BC=6$인 직사각형이다; $M$은 대각선 $\overline{AC}$의 중점이다; $E$는 변 $AB$ 위에 있다; $\overline{ME}\perp\overline{AC}$; 선택지: (A) $\frac{65}{8}$, (B) $\frac{25}{3}$, (C) $9$, (D) $\frac{75}{8}$, (E) $\frac{85}{8}$

구하는 것: 삼각형 $AME$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

직사각형의 꼭짓점은 모두 직각이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 도형을 좌표평면 위에 올리고 꼭짓점 $A$를 원점에 두면, 변 $AB$ 위의 미지의 점을 $E=(e,0)$으로 이름 붙일 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)은 $M$과 $E$의 위치를 정해 $M$에서의 직각이 잘 보이게 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 조각으로 나눈다: 먼저 대각선에서 길이 $AM$을, 다음에 직각에서 길이 $AE$를, 마지막에 두 길이로 넓이를 구한다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

직사각형을 좌표에 올리기

$A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(8,6)$, $D=(0,6)$으로 두면 $AB=8$, $BC=6$ 조건이 맞는다.
대각선 $\overline{AC}$는 $(0,0)$에서 $(8,6)$까지 이어지고, 그 중점은 양 끝점의 평균이므로 $M=(4,3)$이다.
$E$는 $x$축을 따라 놓인 변 $AB$ 위에 있으므로 미지수 $e$로 $E=(e,0)$이라 쓴다.

$$A=(0,0),\ B=(8,0),\ C=(8,6),\ D=(0,6),\ M=(4,3),\ E=(e,0)$$

💡 좌표를 쓰면 길이, 중점, 직각이 모두 계산 가능한 숫자로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

대각선에서 AM 구하기

대각선 $\overline{AC}$는 직각삼각형 $ABC$의 빗변이고, 두 변은 $AB=8$, $BC=6$이다.
피타고라스 정리로 $AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$이다.
$M$이 $\overline{AC}$의 중점이므로 $AM$은 그 절반인 $AM=5$이다.

$$AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,\qquad AM=\tfrac12 AC=5$$

💡 직사각형의 대각선은 그것이 자르는 8-6-10 직각삼각형의 빗변일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 3

직각에서 AE 구하기

$\overline{ME}\perp\overline{AC}$이므로 삼각형 $AME$는 $M$에서 직각을 갖는다.
이 삼각형은 $B$에서 직각을 갖는 큰 직각삼각형 $ABC$와 꼭짓점 $A$의 각을 공유한다.
두 각이 같으므로 두 삼각형은 닮음($AME\sim ABC$)이고, 대응하는 변은 비례한다: $\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
풀면 $AE=AC\cdot\frac{AM}{AB}=10\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{4}$이므로 $e=\frac{25}{4}$이다.

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}\ \Rightarrow\ AE=10\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{4}$$

💡 같은 꼭짓점 각에 각 삼각형의 직각이 더해지면 모양이 같아지고, 변의 길이도 함께 비례한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

삼각형 AME의 넓이 구하기

$AE$를 삼각형 $AME$의 밑변으로 잡는다.
이 밑변은 $x$축을 따라 평평하게 놓여 있으므로, 높이는 $M$이 그 축 위로 얼마나 높이 있는지, 즉 $y$좌표 $3$이다.
넓이는 $\tfrac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}=\tfrac12\cdot\frac{25}{4}\cdot3=\frac{75}{8}$이다.
이는 선택지 (D)와 일치한다.

$$[\triangle AME]=\tfrac12\cdot AE\cdot 3=\tfrac12\cdot\frac{25}{4}\cdot3=\frac{75}{8}\ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 밑변이 축 위에 있으면 높이는 곧 꼭짓점이 축에서 떨어진 거리이다.

[1] #1 6.G.A.3 $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(8,6)$, $D=(0,6)$으로 두면 $AB=8$, $BC=6$ 조건이 맞는다. 대각선 $\ov

[2] #7 8.G.B.7 대각선 $\overline{AC}$는 직각삼각형 $ABC$의 빗변이고, 두 변은 $AB=8$, $BC=6$이다. 피타고라스 정리로 $AC=\sq

[3] #4 8.G.A.5 $\overline{ME}\perp\overline{AC}$이므로 삼각형 $AME$는 $M$에서 직각을 갖는다. 이 삼각형은 $B$에서 직각을

[4] #7 6.G.A.1 $AE$를 삼각형 $AME$의 밑변으로 잡는다. 이 밑변은 $x$축을 따라 평평하게 놓여 있으므로, 높이는 $M$이 그 축 위로 얼마나 높이 있

검토

합리성 확인: 넓이 $\frac{75}{8}=9.375$는 선택지 (C) $9$보다 살짝 크며, 기준값 $9$보다 조금 더 큰 삼각형에 알맞다. 모양을 확인해 보면, 삼각형 $AME$는 비 $\frac{AM}{AB}=\frac{5}{8}$로 $ABC$와 닮았으므로 그 넓이는 $[\triangle ABC]=\tfrac12\cdot8\cdot6=24$의 $\left(\frac{5}{8}\right)^2$배여야 한다. 계산하면 $\frac{25}{64}\cdot24=\frac{75}{8}$로 같은 값이 나오므로 두 방법이 일치한다.

대안 접근: 좌표 없이 직각을 바로 쓴다. 직각삼각형 $AME$에서 $A$의 각은 삼각형 $ABC$로부터 $\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$를 만족한다. 이 각에 이웃한 변이 $AM=5$이므로 $AE=\frac{AM}{\cos A}=\frac{5}{4/5}=\frac{25}{4}$이고, 다른 변은 $ME=AM\tan A=5\cdot\frac{6}{8}=\frac{15}{4}$이다. 그러면 $[\triangle AME]=\tfrac12\cdot AM\cdot ME=\tfrac12\cdot5\cdot\frac{15}{4}=\frac{75}{8}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때 좌표평면에 다각형 그리기 (직사각형의 꼭짓점, 중점 $M$, 미지의 점 $E=(e,0)$을 좌표평면에 배치하기.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용하기 (대각선 $AC=10$을 구하고 그로부터 $AM=5$를 얻기.)
8.G.A.5 삼각형의 닮음에 대한 각-각 판정을 비형식적 논증으로 세우기 (공유하는 각과 직각으로부터 $AME\sim ABC$를 보이고 $AE$에 대한 비례식 세우기.)
6.G.A.1 도형을 합치거나 나누어 삼각형의 넓이 구하기 (밑변 $AE$와 높이 $3$으로부터 $[\triangle AME]$ 계산하기.)

⭐ 대각선의 절반은 $5$이고, 작은 직각삼각형은 큰 삼각형을 축소한 모양이므로 비 $\frac{5}{8}$로 $AE=\frac{25}{4}$, 넓이 $\frac{75}{8}$이 된다.