AMC 10 · 2009 · #18

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 ABCD에서 AB=8, BC=6이다. 점 M은 대각선 AC의 중점이다. 점 E는 변 AB 위에 있고, 선분 ME가 대각선과 직각으로 만난다. 삼각형 AME의 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{65}{8}$

(B)

$\frac{25}{3}$

(C)

(D)

$\frac{75}{8}$

(E)

$\frac{85}{8}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

직사각형의 꼭짓점은 모두 직각이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 도형을 좌표평면 위에 올리고 꼭짓점 A를 원점에 두면, 변 AB 위의 미지의 점을 E=(e,0)으로 이름 붙일 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)은 M과 E의 위치를 정해 M에서의 직각이 잘 보이게 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 조각으로 나눈다: 먼저 대각선에서 길이 AM을, 다음에 직각에서 길이 AE를, 마지막에 두 길이로 넓이를 구한다.

1STEP 1

직사각형을 좌표에 올리기

A=(0,0), B=(8,0), C=(8,6), D=(0,6)으로 두면 AC의 중점은 M=(4,3), AB 위의 E는 (e,0)이다.

A=(0,0), B=(8,0), C=(8,6), D=(0,6), M=(4,3), E=(e,0)

2STEP 2

대각선에서 AM 구하기

직각삼각형 ABC의 두 변 8과 6에서 $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$ 이고, 중점이 반으로 잘라 AM=5이다.

AC=√(8²+6²)=10, AM=1/2 AC=5

3STEP 3

직각에서 AE 구하기

AME와 ABC는 A의 각을 공유하고 각각 직각을 가지므로 닮음이다. $\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}$ 에서 $AE=\frac{25}{4}$ 이다.

AM/AB=AE/AC → AE=10·5/8=25/4

4STEP 4

삼각형 AME의 넓이 구하기

밑변 AE가 x축 위에 놓이니 높이는 M의 y좌표 3이고, 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{4}\cdot 3$ = $\frac{75}{8}$ , 곧 보기 (D)이다.

[△ AME]=1/2 · AE · 3=1/2·25/4·3=75/8 → (D)

정답

75/8

넓이 75/8=9.375는 선택지 (C) 9보다 살짝 크며, 기준값 9보다 조금 더 큰 삼각형에 알맞다. 모양을 확인해 보면, 삼각형 AME는 비 AM/AB=5/8로 ABC와 닮았으므로 그 넓이는 [△ ABC]=1/2·8·6=24의 (5/8)²배여야 한다. 계산하면 25/64·24=75/8로 같은 값이 나오므로 두 방법이 일치한다.

💡핵심 정리

대각선의 절반은 5이고, 작은 직각삼각형은 큰 삼각형을 축소한 모양이므로 비 5/8로 AE=25/4, 넓이 75/8이 된다.

직사각형을 좌표에 올리기
대각선에서 AM 구하기
직각에서 AE 구하기
삼각형 AME의 넓이 구하기

직사각형을 좌표에 올리기

대각선에서 AM 구하기

직각에서 AE 구하기

삼각형 AME의 넓이 구하기

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