AMC 10 · 2009 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 중 $\dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$ 와 같은 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 14$

(B)

$\frac 13$

(C)

$\frac 12$

(D)

$\frac 23$

(E)

$\frac 34$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 위쪽과 아래쪽이 각각 두 분수의 뺄셈인 복합분수 $\dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$의 값을 하나의 수로 구하세요.

주어진 것: 분자는 $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$; 분모는 $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$; 가운데의 긴 분수선은 분자를 분모로 나누라는 뜻; 보기: (A) $\frac{1}{4}$, (B) $\frac{1}{3}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $\frac{2}{3}$, (E) $\frac{3}{4}$

구하는 것: 이 복합분수 전체가 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 위쪽과 아래쪽이 각각 두 분수의 뺄셈인 복합분수 $\dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$의 값을 하나의 수로 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 식은 사실 세 가지 일이 겹쳐 있다: 위를 정리하고, 아래를 정리한 뒤, 하나를 다른 하나로 나눈다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 번에 하나씩 처리하면 공통분모 과정을 빠뜨리지 않는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검이다: 위($\frac{1}{12}$)는 아래($\frac{1}{6}$)보다 작지만 아주 작지는 않으므로, 그 비는 $\frac{1}{2}$ 근처의 적당한 분수여야 하고, 이로써 극단적으로 보이는 보기들을 한눈에 걸러낼 수 있다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 1

위쪽 정리하기

먼저 분자 $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$만 계산한다.
분모 $3$과 $4$가 다르므로 최소공통분모 $12$로 고쳐 쓴다: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.
빼면 $\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$.

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$$

💡 분수는 조각의 크기가 같아야 뺄 수 있으니, 먼저 공통분모로 맞춘다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 2

아래쪽 정리하기

이제 분모 $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$.
$2$와 $3$의 최소공통분모는 $6$이므로 $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
빼면 $\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$.

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$$

💡 같은 방법이다: 분모를 맞추면 분자끼리 그냥 빼진다.

#3 가능성 지우기 6.NS.A.1 단계 3

위를 아래로 나누기

이제 긴 분수선은 $\frac{1}{12}$을 $\frac{1}{6}$로 나누라는 뜻이다.
분수로 나누는 것은 뒤집어 곱하는 것이므로 $\frac{1}{12}\div\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\times\frac{6}{1}=\frac{6}{12}$.
위아래가 공약수 $6$을 가지므로 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
이것이 보기 (C)이다.
정확히 $\frac{1}{2}$이므로 더 작은 (A), (B)와 더 큰 (D), (E)는 모두 제외된다.

$$\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}=\frac{1}{12}\times\frac{6}{1}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 $\frac{1}{6}$로 나누는 것은 위에 $\frac{1}{6}$이 몇 개 들어가는지를 묻는 것이고, 뒤집어 곱하면 한 번에 답이 나온다.

[1] #7 5.NF.A.1 먼저 분자 $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$만 계산한다. 분모 $3$과 $4$가 다르므로 최소공통분모 $12$로 고쳐 쓴다: $\f

[2] #7 5.NF.A.1 이제 분모 $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$. $2$와 $3$의 최소공통분모는 $6$이므로 $\frac{1}{2}=\frac{3}{

[3] #3 6.NS.A.1 이제 긴 분수선은 $\frac{1}{12}$을 $\frac{1}{6}$로 나누라는 뜻이다. 분수로 나누는 것은 뒤집어 곱하는 것이므로 $\fra

검토

합리성 확인: 크기로 빠르게 확인된다: 위 $\frac{1}{12}$은 아래 $\frac{1}{6}$의 정확히 절반이다($\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$이므로). 따라서 그 비는 반드시 $\frac{1}{2}$이다. 위아래 크기가 비슷하고 위가 더 작으므로, 답은 $1$보다 조금 작은 분수여야지 $\frac{1}{4}$처럼 아주 작거나 $\frac{3}{4}$에 가깝지는 않다 — $\frac{1}{2}$이 딱 맞다.

대안 접근: 나눗셈을 건너뛰고 작은 분수들을 한 번에 없앨 수도 있다: 복합분수의 위와 아래에 각각 $12$를 곱한다. 위는 $12(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=4-3=1$, 아래는 $12(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=6-4=2$가 되어 곧바로 $\frac{1}{2}$, 같은 보기 (C)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators ($\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$을 분모 $12$로, $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$을 분모 $6$으로 고쳐 $\frac{1}{12}$과 $\frac{1}{6}$을 구하기.)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems (위를 아래로 나누기: $\frac{1}{12}\div\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\times\frac{6}{1}=\frac{1}{2}$.)

⭐ 위와 아래를 먼저 각각 하나의 분수로 정리하면, 큰 분수선은 결국 나눗셈일 뿐이고 — 분수로 나누기는 뒤집어 곱하기이다.