AMC 10 · 2009 · #20

학년 8 geometry-2d

angle-bisector-theorempythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 $ABC$ 는 $B$ 에서 직각을 이루고, $AB=1$ , $BC=2$ 이다. $\angle BAC$ 의 이등분선이 $\overline{BC}$ 와 점 $D$ 에서 만난다. $BD$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt3 - 1}{2}$

(B)

$\frac {\sqrt5 - 1}{2}$

(C)

$\frac {\sqrt5 + 1}{2}$

(D)

$\frac {\sqrt6 + \sqrt2}{2}$

(E)

$2\sqrt 3 - 1$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$에서 직각은 $B$에 있고 $AB=1$, $BC=2$이다. $\angle BAC$을 똑같은 두 각으로 나누는 $A$에서 나온 반직선이 변 $\overline{BC}$와 점 $D$에서 만난다. 길이 $BD$를 구하여라.

주어진 것: 삼각형 $ABC$는 $B$에서 직각을 이룬다.; 두 직각변은 $AB=1$, $BC=2$이다.; $AD$는 $\angle BAC$을 똑같은 두 각으로 나누는 이등분선이다.; $D$는 이 이등분선이 변 $\overline{BC}$와 만나는 점이다.; 보기: (A) $\frac{\sqrt3-1}{2}$, (B) $\frac{\sqrt5-1}{2}$, (C) $\frac{\sqrt5+1}{2}$, (D) $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$, (E) $2\sqrt3-1$.

구하는 것: $\overline{BC}$에서 $B$부터 $D$까지의 길이 $BD$.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

각의 이등분선 정리에 따르면 $A$에서 나온 이등분선은 마주 보는 변 $BC$를, 그 각을 이루는 두 변의 비와 같은 비로 나눈다: $BD/DC=AB/AC$. 이를 쓰려면 먼저 빗변 $AC$가 필요하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 피타고라스 계산이라는 작은 문제를 먼저 떼어낸다. 그림(도구 #1)은 직각과 이등분선을 보여 주어 어떤 변이 비를 이루는지 확인해 준다. 그런 다음 도구 #4(변수 도입하기)로 $BD=x$라 두면 그 비가 풀 수 있는 하나의 깔끔한 식이 된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1

빗변 AC 구하기

이등분선 규칙을 쓰기 전에 세 변이 모두 필요하다.
직각이 $B$에 있으므로 $AC$가 빗변이고 두 직각변은 $AB=1$, $BC=2$이다.
피타고라스 정리로 $AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$, 따라서 $AC=\sqrt5$이다.

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$$

💡 직각은 $a^2+b^2=c^2$을 바로 내주므로 빠진 빗변을 가장 빠르게 구할 수 있다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 2

이등분선 비 세우기

각의 이등분선 정리에 따르면 $A$에서 나온 이등분선은 마주 보는 변 $BC$를, 각 $A$에 붙은 두 변의 비를 유지하는 두 조각으로 나눈다: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt5}$.
$BD=x$라 두자.
$BD+DC=2$이므로 다른 조각은 $DC=2-x$이다.
그러면 비가 $x$에 대한 하나의 식이 된다.

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \frac{x}{2-x}=\frac{1}{\sqrt5}$$

💡 이등분선은 마주 보는 변을 두 이웃 변의 비 그대로 나누므로 비 하나면 충분하다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

x 풀기

비례식을 교차로 곱하면 $\sqrt5\,x=2-x$이다.
$x$ 항을 한쪽으로 모으면 $\sqrt5\,x+x=2$, 즉 $x(\sqrt5+1)=2$이다.
나누면 $x=\frac{2}{\sqrt5+1}$을 얻는다.

$$\sqrt5\,x=2-x\;\Rightarrow\;x(\sqrt5+1)=2\;\Rightarrow\;x=\frac{2}{\sqrt5+1}$$

💡 분수를 없애면 $\sqrt5$가 상수로 붙어 있어도 평범한 일차방정식만 남는다.

#4 변수 도입하기 8.NS.A.1 단계 4

유리화하여 보기와 맞추기

보기에는 분모에 근호가 없으므로 분자와 분모에 켤레 $\sqrt5-1$을 곱한다.
분모는 $(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4$가 되어 $x=\frac{2(\sqrt5-1)}{4}=\frac{\sqrt5-1}{2}$이다.
따라서 $BD=\frac{\sqrt5-1}{2}$이고, 이는 보기 (B)이다.

$$x=\frac{2}{\sqrt5+1}\cdot\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5-1}=\frac{2(\sqrt5-1)}{4}=\frac{\sqrt5-1}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 켤레를 곱하면 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$을 이용해 분모의 근호를 없앨 수 있다.

[1] #7 8.G.B.7 이등분선 규칙을 쓰기 전에 세 변이 모두 필요하다. 직각이 $B$에 있으므로 $AC$가 빗변이고 두 직각변은 $AB=1$, $BC=2$이다. 피

[2] #4 7.RP.A.2 각의 이등분선 정리에 따르면 $A$에서 나온 이등분선은 마주 보는 변 $BC$를, 각 $A$에 붙은 두 변의 비를 유지하는 두 조각으로 나눈다:

[3] #4 8.EE.C.7 비례식을 교차로 곱하면 $\sqrt5\,x=2-x$이다. $x$ 항을 한쪽으로 모으면 $\sqrt5\,x+x=2$, 즉 $x(\sqrt5+1)=

[4] #4 8.NS.A.1 보기에는 분모에 근호가 없으므로 분자와 분모에 켤레 $\sqrt5-1$을 곱한다. 분모는 $(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=5-1=4$가

검토

합리성 확인: 수치로 보면 $BD=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}\approx0.618$이므로 $DC\approx1.382$이다. 둘 다 양수이고 합이 $2$이며 $BD<DC$인데, 이는 이등분선이 더 짧은 변 $AB$ 쪽에 더 가깝게 만난다는 예측과 맞는다. 비를 확인하면 $BD/DC\approx0.618/1.382\approx0.447=1/\sqrt5$로 각의 이등분선 정리의 비와 정확히 일치한다.

대안 접근: 반각을 이용할 수도 있다. 직각삼각형 $ABC$에서 $\tan(\angle BAC)=BC/AB=2$이다. 이등분선은 $\angle BAD=\tfrac12\angle BAC$을 만들고, 직각삼각형 $ABD$(직각은 $B$)에서 $BD=AB\tan(\angle BAD)=\tan(\tfrac12\angle BAC)$이다. $t=\tan(\tfrac12\angle BAC)$라 하면 배각 공식 $\frac{2t}{1-t^2}=2$에서 $t^2+t-1=0$, 따라서 $t=\frac{-1+\sqrt5}{2}$가 되어 $BD=\frac{\sqrt5-1}{2}$와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용하여 미지의 변의 길이 구하기 (두 직각변으로부터 빗변 $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$를 계산하는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 나타내기 (각의 이등분선 정리를 $BD=x$에 대한 비례식 $\frac{x}{2-x}=\frac{1}{\sqrt5}$로 바꾸는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (교차 곱셈 후 $x(\sqrt5+1)=2$를 풀어 $x=\frac{2}{\sqrt5+1}$을 얻는 데 사용.)
8.NS.A.1 유리수가 아닌 수를 무리수라고 부른다는 것을 알기 (켤레로 $\frac{2}{\sqrt5+1}$을 유리화하여 간단한 꼴 $\frac{\sqrt5-1}{2}$에 이르는 데 사용.)

⭐ 각의 이등분선은 마주 보는 변을 그 각을 이루는 두 변의 비 그대로 나누므로, 그 비를 찾아 원하는 조각을 $x$로 두고 풀면 된다.