AMC 10 · 2009 · #20

학년 8 geometry-2d

angle-bisector-theorempythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직각삼각형 ABC에서 직각은 B에 있고 AB=1, BC=2이다. ∠ BAC을 똑같은 두 각으로 나누는 A에서 나온 반직선이 변 BC와 점 D에서 만난다. 길이 BD를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt3 - 1}{2}$

(B)

$\frac {\sqrt5 - 1}{2}$

(C)

$\frac {\sqrt5 + 1}{2}$

(D)

$\frac {\sqrt6 + \sqrt2}{2}$

(E)

$2\sqrt 3 - 1$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

각의 이등분선 정리에 따르면 A에서 나온 이등분선은 마주 보는 변 BC를, 그 각을 이루는 두 변의 비와 같은 비로 나눈다: BD/DC=AB/AC. 이를 쓰려면 먼저 빗변 AC가 필요하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 피타고라스 계산이라는 작은 문제를 먼저 떼어낸다. 그림(도구 #1)은 직각과 이등분선을 보여 주어 어떤 변이 비를 이루는지 확인해 준다. 그런 다음 도구 #4(변수 도입하기)로 BD=x라 두면 그 비가 풀 수 있는 하나의 깔끔한 식이 된다.

1STEP 1

빗변 AC 구하기

직각이 B에 있으므로 AC가 빗변이고, AC²=1²+2²=5에서 AC=√5이다.

AC=√(AB²+BC²)=√(1²+2²)=√5

2STEP 2

이등분선 비 세우기

각의 이등분선 정리로 BD/DC=AB/AC=1/√5이다. BD=x로 두면 DC=2-x이므로 x/(2-x)=1/√5이 된다.

BD/DC=AB/AC=1/√5, x/(2-x)=1/√5

3STEP 3

x 풀기

교차로 곱하면 √5 x=2-x이므로 x(√5+1)=2, 즉 x=2/(√5+1)이다.

√5 x=2-x → x(√5+1)=2 → x=2/(√5+1)

4STEP 4

유리화하여 보기와 맞추기

분자와 분모에 켤레 √5-1을 곱하면 분모가 4가 되어 BD=(√5-1)/2, 곧 보기 (B)이다.

x=2/(√5+1)·(√5-1)/(√5-1)=(2(√5-1))/4=(√5-1)/2 → (B)

정답

(√5 - 1)/2

수치로 보면 BD=(√5-1)/2≈(2.236-1)/2≈0.618이므로 DC≈1.382이다. 둘 다 양수이고 합이 2이며 BD ＜ DC인데, 이는 이등분선이 더 짧은 변 AB 쪽에 더 가깝게 만난다는 예측과 맞는다. 비를 확인하면 BD/DC≈0.618/1.382≈0.447=1/√5로 각의 이등분선 정리의 비와 정확히 일치한다.

💡핵심 정리

각의 이등분선은 마주 보는 변을 그 각을 이루는 두 변의 비 그대로 나누므로, 그 비를 찾아 원하는 조각을 x로 두고 풀면 된다.

빗변 AC 구하기
이등분선 비 세우기
x 풀기
유리화하여 보기와 맞추기

빗변 AC 구하기

이등분선 비 세우기

x 풀기

유리화하여 보기와 맞추기

비슷한 유형 더 풀어보기