AMC 10 · 2009 · #21

학년 4 number-theory
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue
modular-arithmeticexponentspattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
3⁰부터 3²⁰⁰⁹까지 3의 거듭제곱을 모두 더한 뒤, 그 커다란 합을 8로 나눈다. 나머지를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 0$
(B)
$\ 1$
(C)
$\ 2$
(D)
$\ 4$
(E)
$\ 6$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

합이 너무 커서 그대로 더할 수 없으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 크기를 줄인다. 합을 8로 나눈 나머지는 각 항의 나머지에만 좌우되므로, 각 거듭제곱 3^k을 작은 나머지로 바꾼다. 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 엔진이다. 3⁰,3¹,3²,…의 나머지는 커지지 않고 짧은 주기로 반복되므로, 거대한 수를 건드릴 필요가 없다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "나머지 2010개 더하기"를 둘씩 짝짓는 쉬운 작은 문제로 바꾸고, 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 나머지를 보기 다섯 개 중 하나에 맞춘다.

1STEP 1

나머지 주기 찾기

3의 거듭제곱을 8로 나눈 나머지는 1,3,1,3,…으로 주기가 2다. 짝수 지수는 1을, 홀수 지수는 3을 남긴다.

3⁰,3¹,3²,3³,… ≡ 1,3,1,3,… (mod 8)
2STEP 2

각 거듭제곱을 나머지로 바꾸기

합의 나머지는 각 항의 나머지로만 정해지므로, 거대한 거듭제곱 대신 1+3+1+3+…을 항 2010개만큼 더한다.

(3⁰+…+3²⁰⁰⁹) mod 8 = (1+3+1+3+…₂₀₁₀개 항) mod 8
3STEP 3

짝지어 합산하기

둘씩 묶으면 항 2010개는 (1+3) 짝 1005개이고 짝마다 4이므로, 나머지 합은 1005×4 = 4020이다.

1005×(1+3)=1005 × 4 = 4020
4STEP 4

나누고 보기와 맞추기

깔끔해진 합을 나누면 4020 = 8×502 + 4이므로, 원래의 거대한 합도 나머지 4를 남긴다. 보기 (D)이다.

4020 ÷ 8 = 502 나머지 4 → (D) 4
정답
4
나머지 4는 8로 나눈 나머지가 반드시 그래야 하듯 0과 7 사이에 있고, 보기와도 일치한다. 짧은 경우로 점검하면 3⁰+3¹+3²+3³ = 1+3+9+27 = 40 = 8 × 5로 나머지 0인데, 짝짓기(각 4짜리 짝 두 개면 8, 나머지 0)와 맞는다. 여기에 3⁴+3⁵를 더하면 나머지 1+3=4가 더해지는데, 이는 마지막에 4짜리 짝 하나가 남는 2010개 항 계산과 일치한다.
💡핵심 정리

3의 거듭제곱은 8로 나누면 나머지가 1,3,1,3으로 반복된다. 둘씩 짝지으면 4짜리 짝이 1005개, 그 나머지는 4 — 보기 (D)이다.

  • 나머지 주기 찾기
  • 각 거듭제곱을 나머지로 바꾸기
  • 짝지어 합산하기
  • 나누고 보기와 맞추기

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